2026版高数下册（主册）新版

B站：高数大头圆大头圆一对一保分班加V:Sdameili666考点32多元微分学中的五大概念 1考点33求偏导数或全微分 考点34偏微分方程问题 3考点35多元极值与最值 考点36二重积分的定义与性质 考点37换序与换系 考点38二重积分计算 考点39微分方程的预备知识 考点40一阶微分方程求解 考点41二阶微分方程求解 考点42其他类型微分方程求解 考点43已知解，反求微分方程问题 考点44微分方程综合应用题 考点32多元微分学中的五大概念第一部分考点分析多元微分学中的五大概念合计数一数二数三【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次，2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷.3.考频：11/117;4/30.“多元微分学中的五大概念”这一考点主要考个选择题.说是有5个概念，但一般独立出成考题的概念只有“偏导数定义”与“可微定义”,而“偏导数定义”与“可微定义”表面上是定义，好像要考概念题，其实本质上是考计算.这也是高数下册的特色，轻概念，重计算，计算为王，第二部分思维导图1.定义(与一元函数极限类似)1.定义(与一元函数极限类似)等价无穷小、夹逼、极限四则运算(肯定极限存在)一、二元极限1)常用方法{取特殊路径(否定极限存在)(2)秒杀结论(上乘下加，各找各妈)二、二元函数连续(极限值等于函数值)(1)偏导数定义(类似于一元函数导数定义)(2)偏导数存在性判定(用偏导数定义)1.一阶偏导数{(3)求偏导数(偏导数定义、先代点再导、先求导函数再代点)(4)偏导函数(偏导数形成的函数)(5)偏导数的几何意义(对字母的变化率)2.高阶偏导数(二阶偏导连续则不考虑求导次序)1.定义(用线性增量替代全增量)极坐标换元(f(x,y)中有x²+y²)第三部分考点精讲一、二元极限一、二元极限【注】一元函数极限存在只需“左右极限存在且相等”,而二重极限存在要求(x,y)以任何位于定义域D内的方向趋于(x₀,y₀)时，f(x,y)趋于同一个数.除洛必达法则外，求一元极限的等价无穷小替换、换元、夹逼准则、极限四则运算等各种计算方法和运算性质皆可用于求二元极限.其次，取特殊路径(如y=x⁴)说明极限不唯一也是常用的说明极限不存在的方法.再者，极坐标换元用于处理二元极限计算也是方法.最后，圆哥赠送了一个秒杀结论供大家使用.(1)常用方法①等价无穷小替换、夹逼准则、极限四则运算等.②令y=cx⁴,y=kx+o(x)等(一般用于说明极限不存在).③极坐标换元.4,其中θ∈[0,2π].I若k>0,g(θ)有界，则II若k≤0,则不存在.II若k>0,g(θ)无界，则无法判定存在与否，极坐标换元法失效.【注例】计算下列二元极限：(2)秒杀结论②,I不存在，二二、二元函数连续在点(x₀,y₀)处连续.6(1)偏导数定义(2)偏导数存在性判定【例4.32.1】(1)[1997,一]二元函在点(0,0)处()7 (2)[2008,三]已知f(x,y)=e,,则()C.f'(0,0)存在，f'(0,0)不存在D.f'(0,0),f,'(0,(3)[2020,二]关于函数,给出下列结论：""其中正确的个数为()A.4(4)[2023,三]已知函数f(x,y)=In(y+|rsiny|),则()AC))8(3)求偏导数得f(x₀,y₀).(3)偏导函数9(4)偏导数的几何意义若f(x,y)>0,则z为x的增函数；若f(x,y)<0,则z为x的减函数.若f(x,y)>0,【例4.32.2】(1)[2012,二]设函数f(x,y)可微，且对任意x,y则使得f(x,y)<f(x₂,y₂)成立的一个充分条件是()A.x₁>x₂,y₁<y₂B.x>x₂,y₁>Y₂C.x<X₂,y<y₂(2)[2017,二]设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)A.f(0,0)>f(1,1)B.f(0,0)<f(1,1)C.f(0,1)>f(1,0)D.f(0,2.高阶偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.二阶及二阶以上偏导数称为高阶偏导数.【注】若函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在定义域内连续，则1.定义设函数z=f(x,y)在点(x₀,y。)的某领域内有定义，若函数在点(x₀,y。)的全增量Az=f(x₀+△x,y+△y)-f(x₀和△y而仅与x₀、y。有关，则称z=f(x,y)在点(x₀,y。)处可微.【注】z=f(x,y)在点(x₀,y【例4.32.3】(1)[2007,二]二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是().B(2)[2012,一]如果f(x,y)在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是()D.若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限存在⇔f(x,y)在点(x₀,y。)处连续.→⇔f'(x,y)在点(x₀,y。)处连续.【注】1.若f(x,y)在(x₀,y。)处关于x和关于y的偏导数均连续，则称f(x,y)在(x₀,y₀)处偏导数连续.2.f(x,y)在(x₀,y。)处偏导数连续→f(x,y)在(x₀,y₀)处可微.【例4.32.4】[2024,二]已知函,则在点(0,0)处(A)连续，f(x,y)可微(C)不连续，f(x,y)可微连续，f(x,y)不可微(D)不连续，f(x,y)不可微多元微分学中有五大基本概念需要折腾，即二元极限、连续性、偏导数、可微性、偏导数连续性，并且，以上五大基础概念有如下关系：z=f(x,y)在(x₀,y。)处偏导数连续偏导数存在连续【例4.32.5】(1)[1994,一]二元函数f(x,y)在点(x₀,y₀)处两个偏导数f'(x₀,y₀),f'(x₀,y%)存在是f(x,y)在该点连续的().A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件(2)[2002,一]考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：③f(x,y)在点(x,y₀)第一部分考点分析显函数的偏导数或全微分隐函数的偏导数或全微分合计总合计数一数二数三【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次.2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷.3.考频：87/117;28/30.“求各类函数的导数或微分”这个考点还记得不?当时导晕了不?过了几个晚上才缓过来?好嘛，这个“求偏导数与全微分”就是带你重拾求导的恐惧感.而且，咱就是说，多元的求导只会比一元求导更烦，更恶心，简单不了一点，唉，耐住性子吧，好好的导一导.B站：高数大头圆大头圆一对一保分班加V:Sdameili666第二部分思维导图(2)求全微分(dz=f'dx+f'dy)(1)求偏导数(链式求导法则)2.抽象函数(2)求全微分(dz=f'dx+f'dy)2.方程组的情形(对俩方程求导、克拉默法则求解)第三部分考点精讲第三部分考点精讲一一、显函数的偏导数或全微分(1)求偏导数等设有函数u=f(x,y,z),欲求,则将【例4.33.1】(1)[1994,一]在点点处的值为(3)[2008,二]设(4)[2009,三]设z=(x+e"),则(5)[2011,一]设函A.f"-f'=0B.f+f,'=0C.f-f'=fD.f+f'=f(7)[2020,一]设函数f(x,y)=Jj”e"dr,J(2)求全微分【例4.33.2】(1)[1987,三],求dz.(2)[1991,三]设z=e,则dz=__·(3)[1998,三]设,求dz与·(4)[2005,三]设二元函数z=xe+(x+1)ln(1+y),则dz|(.)=__.(5)[2011,三]设函数,则d|0.3)=(6)[2012,三]设连续函数z=f(x,y)满足则(7)[2020,二/三]设z=arctan[xy+sin(x+y)],则dz|(0x)=2.抽象函数设函数z=f(u,v,w),则有【例4.33.3】(1)[1987,一]设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy),求(2)[1987,一]设z=f(u,x,y),u=xe,其中f具有二阶连续偏导数，求(3)[1988,一],其中f,g具有二阶连续导数，求(4)[1989,一]设z=f(2x-y)+g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有(5)[1989,三]已知z=f(u,v),u=x+y,v=xy,且f(u,v)的二阶偏导数都连续，(6)[1990,一]设z=f(2x-y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求(8)[1992,三],求其中φ(u,v)有二阶偏导数.(9)[1993,一]具有连续二阶偏导数，求及(10)[1995,一]设u=f(x,y,z),φ(x²,e",z)=0,y=sinx,其中f、φ都具有一阶连续偏导数，(11)[1995,三]设(12)[1998,一],f,φ具有二阶连续导数，则(13)[2000,一]设：,其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求,(15)[2001,一]设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微，且,qx)=f(x,f(x,x)).(16)[2003,三]设f(u,v)具有二阶连续偏导数，」(17)[2004,二]设z=f(x²-y²,e"),其中f具有连续二阶偏导数，求(18)[2004,三]函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0,(20)[2007,一]设f(u,v)为二元可微函数，z=f(x,y),则(21)[2007,二/三]设f(u,v)是二元可微函数，,则(26)[2012,二]设,其中函数f(u)可微，则(27)[2013,二]设其中函数f可微，则A.2yf'(xy)(28)[2015,二]设函数f(u,v),(29)[2017,一/二]设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y=f(e*,cosx),求(30)[2019,一]设函数f(u)可导，z=f(siny-sinx)+xy,则(31)[2019,二]设函数f(u)可导，g(x,y)=xy-f(x+y,x-y),(33)[2022,一]设函数其中f(u)可导，(34)[2024,一]设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且dfl=3du+4dv,令【例4.33.4】(2)[2021,一/二/三]设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e⁵)=x(x+1),f(x,x²)=2x²lnx,A.dx+dyB.dx-dyC.dyD.-dy【例4.33.5】(1)[1988,三]已知u+e"=xy,求(2)[1996,三]设函数z=f(u),确定u是x,y的函数，其(4)[2004,二]设函数z=z(x,y)由方程z=e²-3+2y确定，则：(5)[2005,一]设有三元方程xy-zlny+e=1,根据隐函数存在定理，存在点(6)[2010,一/二]设函数z=z(x,y),由方程.(7)[2013,三]设函数z=z(x,y)(8)[2018,二]设函数z=z(x,y)(9)[2021,二]设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan(2xy)=1确定，则(10)[2023,二]设函数z=z(x,y)由e²+xz=2x-y确定，(11)[2024,三]设函数z=z(x,y)由方程z+eˣ-yln(1+z²)=0确定，求(12)[2025,二]设函数z=z(x,y)由确定，!由【例4.33.6】(1)[1991,一]由方程xyz+√x²+y²+z²=√2所确定的函数z=z(x,y)在点(3)[1997,三]设u=f(x,y,z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程(4)[2002,三]设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且z=z(x,y)由方程(5)[2008,三]设z=z(x,y)是由方程x²+y²-z=φ(x+y+z)所确定的函数，其中(I)求dz;(6)[2014,二]设z=z(x,y)是由方程确定的函数，则(7)[2015,一]若函数z=z(x,y)由方程e²+xyz+x+cosx=2确定，则(8)[2015,二]若函数z=z(x,y)由方程e+2++xyz=1确定，则dzl1.)=(9)[2015,三]若函数z=z(x,y)由方程e+2+3+xyz=1确定，则dz|(0,9)=(10)[2016,一/三]设函数f(u,v)可微，z=z(x,y)由方程2.方程组的情形其中u=u(x,y),v=v(x,y),【例4.33.7】[1999,一]设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0第一部分考点分析一、考频分析变量代换下方程的化简程为常微分方程，再解常微分方程已知偏导数或全微分，反求多元函数合计总合计数一数二数三【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次.2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷.3.考频：12/117:7/30.二二、难度指数：难三、备考建议注意看，我给“偏微分方程问题”这一考点的难度指数给的是“难”.这种类型的题，是120分的分水岭.好好学，好好练，人人都能120+.第二部分思维导图三、已知偏导数或全微分，反求多元函数(解偏积分)第三部分考点精讲【例4.34.1】具有二阶连续偏导数，且满足等式(3)[2019,二]已知函数u(x,y)满求a,b的值【例4.34.2】(1)[1997,一]设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(e*siny)满足方程(2)[2006,一/二]设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数，且z=f(√x²+y²)满足(3)[2014,一/二]设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(e*cosy)满足(4)[2014,三]设函数f(u)具有连续导数，且z=f(ecosy)满足【例4.34.3】(1)[2017,二/三]设函数f(x,y)具有一阶连续的偏导数，且df(x,y)=ye'dx+x(1+y)e'dy,f(0,0)=0,则f(x,y)=(2)[2023,三]已知函数f(x,y),则f(√3,3)=.**第一部分考点分析总合计数一数二【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次，2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷.3.考频：38/117;16/30.“多元极值与最值”这一考点是考啥的?考体力、耐力与意志力，主打的就一个字，算.哎，就是算，玩命儿的算，算它个天昏地暗，海枯石烂，最后魂飞魄散.考试前记得吃饱饭.B站：高数大头圆大头圆一对一保分班加V:Sdameili666第二部分思维导图多元极值与最值(2)用定义法否定极值二元函数的条件极值(二元转一元)第三部分考点精讲一、无条件极值1.定义若3(x₀,y。)的某个去心领域内，使得对于该领域内任一异于(x₀,y₀)的点(x,y(1)用定义法肯定极值某些特殊的函数，给出某个或某些点，可以用定义法去判定在这些点处是否取极值.(2)用定义法否定极值【例4.35.1】[2003,一]已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点C.点(0,0)是f(x,y)的极小值点D.根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点2.取极值的必要条件f(x₀,y₀)=f'(x₀,y₀)=0.【例4.35.2】[2003,三]设可微函数f(x,y)在点(x₀,y。)取得极小值，则下列结论正确在y=y。处的导数等于零.处的导数大于零.处的导数不存在.3.取极值的充分条件(△判别法)(1)求出极值可疑点。驻点.(2)求驻点处所对应的二阶、二阶混合偏导数值.【注】【例4.35.3】(1)[2009,一/三]求二元函数f(x,y)=x²(2+y²)+ylny的极值.(2)[2009,二]设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy,则点(0,0)().A.不是f(x,y)的连续点B.不是C.是f(x,y)的极大值点(3)[2011,一/二]设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数，满足且f(0)=g(0)=0,则函数z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()A.f(0)<0,g(0)>0B.f"(0)<0,g"(0)<0C.f(0)>0,g"(0)>0D.f"(0)>0,(4)[2012,一/二]的极值.(5)[2013,一]求函数的极值，(6)[2015,二]已知函数f(x,y)满足f"(x,y)=2(y+1)e,f(x,0)=(x+1)e,f(0,y)=y²+2y,求f(x,y)的极值.(7)[2017,三]二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是()(8)[2020,一/二/三]求函数f(x,y)=x³+8y³-xy的极值.(9)[2021,三]的极值.(10)[2022,二]已知可微函数f(u,v)(11)[2023,一]求函数f(x,y)=(y-x²)(y-x³)的极值.(12)[2023,二]求函数的极值.(13)[2024,二/三]函数f(x,y(14)[2025,二]设函数f(x,y)可微，且满足df(x,y)=-2xe⁻"dx+e⁻(x²-y-1)dy,f(0,0)=2,求f(x,y),并求f(x,y)的极值.【例4.35.4】(1)[2004,一]设z=z(x,y)是由x²-6xy+10y²-2yz-z²+18=0确定的函数，(2)[2016,二]已知函数z=z(x,y)由方程(x²+y²)z+Inz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x,y)的极值.Step2将y=y(x)或x=x(y)代入z=f(x,y),得z=f(x,y(x))或z=f(x(y),y).(1)求函数z=xy在条件x+y=1下的极值.(2)求函数z=x²y+2在条件下的极值.Step2将z=z(x,y)代入u=f(x,y,z),得u=f(x,y,z(x,y))(1)代入消元法(2)拉格朗日乘数法【例4.35.5】[2006,一/二/三]设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数，且φ'已则f'(x₀,y₀)=0则f'(x₀,y₀)=0令F(x,y,z,2,μ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μg(x,y,z).【注】值.【例4.35.6】(1)[1994,一]在椭圆x²+4y²=4上求一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短.(2)[2008,一]已知曲线,求曲线C距离XOY面最远的点和最(3)[2008,二]求函数u=x²+y²+z²在约束条件z=x²+y²和x+y+z=4下的最大(4)[2010,三]求函数u=xy+2yz在约束条件x²+y²+z²=10下的最大值和最小值.(5)[2021,一]已知曲线C;值.上的最值.【例4.35.7】(1)[2005,二]已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且求(2)[2007,一]求函数f(x,y)=x²+2y²-x²y²,在区域(3)[2013,二]求曲线x³-xy+y³=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.(4)[2014,二]设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导A.u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上B.u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部C.u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上D.u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上(5)[2018,一/二/三]将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值.(6)[2022,一]当x≥0,y≥0时，x²+y²≤ke⁺恒成立，则k的取值范围是第一部分考点分析二重积分的定义二重积分的性质合计总合计数一数二数三【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次.2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷.3.考频：10/117;2/30.二二、难度指数：中等三、备考建议二重积分的定义统考以来就考过一次，俺后期会补充几道题讲解，以防再考.大题也要记得用，可以大大的降低计算量，是偷懒的必备神器.B站：高数大头圆大头圆一对一保分班加V:Sdameili666第二部分思维导图二重积分的定义与性质(1)奇偶对称性(2)轮换对称性6.保号性第三部分考点精讲一、二重积分的定义一、二重积分的定义1.将D任意分成n个小闭区域△o,△o₂,…,△σ,(也表示它们的面积);3.记λ=max{△σ₁,△σ₂,…,△o}:记作【注】【例5.36.1】[2010,一/二]ACCD1.被积函数为1(2)求极限5.对称性(1)奇偶对称性【例5.36.2】[1991,一/二]设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角BA.BA.(2)轮换对称性②设平面区域D关于y=x对称(对调x,y后D不变),则有(1)积分区域相同，被积函数不同.【例5.36.3】(1)[2005,三]设其中A.I₃>I₂>I₁B.I₁>I₂>I₃C.I₂>I₁>I₃(2)[2019,二]已知平面区域,记则A.I₃<I₂<1₁B.I₂<1₁<1₃C.I₁<I₂<1₃【例5.36.4】(2)[2013,二/三]设D是圆域D={(x,y)|x²+y²≤1}在第k象限的部分，记A.I₁>0B.I₂>设【例5.36.5】[2016,三]D₂={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤√},D₃={(x,y|0≤A.J₁<J₂<J₃B.J₃<J<J₂C.J₂<J₃<J₁考点37换序与换系第一部分考点分析第一部分考点分析换序换系总合计数一数二【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次.2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷。3.考频：22/117:7/30.二二、难度指数：中等三三、备考建议“换序与换系”这一考点跟上一考点一样，值得一提的是，极坐标系下的换序还没考过，一考出来肯定难倒一片同学.我这里介绍了一个好方法，好好学，好好练，奥里给.第二部分思维导图2.极坐标系下换序(视作直角坐标系)第三部分考点精讲第三部分考点精讲一考点.1.直角坐标系下换序直角坐标系下换序题比较常规，画出积分区域D后用“穿线法”交换积分次序即可.【例5.37.1】(1)[1992,三]交换积分次(2)[2001,一]交换二次积分的积分次序：(3)[2002,三]交换积分次序：(4)[2007,二/三]设函数f(x,y)连续，则二次积分等于().CC(8)[2025,三]设函数f(x)连续，【例5.37.2】(1)[2004,一]设f(x)为连续函数，则F'(2)等于().A.2f(2)B.f(2)C.-f(2)2.极坐标系下换序【例5.37.3】则(1)[2004,二]设函数f(u)连续，区域D={(x,y)|x²+y²≤2y},则(2)[2014,一]设f(x)是连续函数，(3)[2015,一/二]设D是第一象限由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=√3x(4)[2015,三]设D={(x,y)|k²+y²≤2x,x²+y²≤2y},函数f(x,y)在D2.极坐标系化直角坐标系【例5.37.4】(1)[1996,三]累次积分(2)[2006,一/二]设f(x,y)为连续函数，(3)[2012,三]设函数f(1)连续，则二考点38二重积分的计算第一部分考点分析常规计算题分块积分题换序积分题合计总合计数一数二数三换系积分题换元积分特殊曲线下的积分合计数一数二数三【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次.2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷.3.考频：70/117:28/30.二、难度指数：中等二、难度指数：中等“二重积分计算”这一考点超级无敌宇宙亲妈螺旋式上升霹雳爆炸重要。数二数三每年必考一道大题，数一的三重积分、线面积分也以二重积分为基础，所以说二重积分是考研数学必考大题一点不过分.第二部分思维导图steplstep3画出积分区域D草图巧用性质与公式化简计算(对称性、形式坐标、积分区域割补)二、分块积分题(被积函数是分段函数)四、换系积分题(一般指的是将极坐标系化成直角坐标系)六、特殊曲线下的积分(6类曲线必背)第三部分考点精讲第三部分考点精讲一一、常规计算题二重积分大部分题是比较朴素的常规题，严格按以下步骤计算即可.stepl画出积分区域D草图.step2巧用性质与公式化简计算(如对称性、形心坐标公式、积分区域剖补等)以下情景是常见的：(1)奇偶对称性化简欲求二重积分形如,但其中当然，这是“奇零”的情况，“偶倍”的情况也勉强算化简，但不多，因此这里不啰嗦，小可爱们可自行补充总结，总结能力非常重要!(2)轮换对称性化简若积分区域D关于y=x对称，被积函数还“丑”,你必须虎躯一震了，此题十之八九可以偷懒.①简化被积函数②对冲被积函数,则根据轮换对称性有(3)形心坐标公式欲求二重积分形如且积分区域D的面积为S。,根据形心坐标公式可以得到(4)积分区域剖补化简欲求,但计算起来复杂.另一方面，D₁UD₂=D,且容易计算，那么可将对区域D₁的二重积分计算转化成对区域D与D₂的二step3选择合适的坐标系计算坐标系的选择对于二重积分的计算至关重要，从总原则上，我们遵循“能积优先，简便优先”,也即选择哪个坐标系易于计算就选择哪个坐标系.当然，这个总原则是句废话，我们一般凭借经验上来选取坐标系.从经验上来看，有以下情景优先考虑极坐标系：(1)若被积函数f(x,y)中含有x²+y²,优先考虑极坐标系.(2)若积分区域是圆或者部分圆，优先考虑极坐标系.(3)若积分区域的边界曲线难以用直角坐标系表示，优先考虑极坐标系.除了上述情景外，优先考虑直角坐标系.(1)[1987,三]计算二重积分(3)[1998,三]设(4)[2000,三]计算二重积,其中D是由曲线D=(x,y)x²+y²≤π}.(6)[2006,三]计算二重积分,其中D是由直线y=x,y=1,x=0(7)[2008,二/三]设函数f连续，,其中o为图中(8)[2011,二]设平面区域D由直线y=x,圆x+y²=2y及y轴围成，则二重积分(10)[2012,三]计算二重积分其中D为由曲线y=√x,(12)[2017,三](13)[2018,三]设平面区域D由曲线y=√3(1-x²)与直线y=√3x及y轴围成.计 (14)[2020,二]计算二重积分及x轴围成.(15)[2021,三]设有界区域D是圆x²+y²=1和直线y=x以及x轴在第一象限围成(16)[2022,一/二/三]已知平面区域D={(x,yly-2≤x≤√4-²,0sy≤2},计算(1)[2001,三]求二重积的值，其中D是由直线y=x,(2)[2006,二]设区域D={(x,y)|x²+y²≤1,x≥0),计算二重积分(3)[2008,三]设D={(x,y)|x²+y²≤1},(4)[2010,三]计算二重积分,其中D由曲线x=√1+y²与直线(5)[2012,二]设区域D由曲线y=sinx,,y=1,,围成，!(6)[2015,二/三]计算二重积分,其中(7)[2016,二]设D是由直线y=1,y=x,y=-x围成的有界区域，计算二重积分(8)[2016,三]设D={(x,y)||x≤y≤1,-1≤x≤1,(9)[2017,二]已知平面区域D={(x,y)|x²+y²≤2y),计算二重积分(10)[2018,二]CC【例5.38.3】轮换对称性化简(1)[1995,一]设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设,求(2)[2005,二]设区域D={(x,y)x²+y²≤4,x≥0,y≥0,f(x)A.abrB.c.(a+b)π(3)[2014,二/三]设平面区域D={(x,y)|1≤x²+y²≤4,x≥0.y≥0}.计算xy=3与直线xy=3与直线(5)[2025,二]已知平面有界区域(6)[2025,三]已知平面有界区域D={(x,y)y²≤x,x²≤y,计算二重积分(1)[1994,三]计算二重积分(2)[1999,三]计算二重积分,其中D是由直线x=-2,y=0,y=2以及曲 【例5.38.5】[2004,三]其中D是由圆x²+y²=4和(1)[1999,三]设f(x,y)连续，其中D是由y=0,y=x²,x=1所围成的区域，则f(x,y)等于()(2)[2020,三]设D=(x,y)x²+y²≤1,y≥0},连续函数f(x,y)满足(1)[2019,二]已知平面区域D={(x,y)x|≤y,(x²+y²³sy},计算【例5.38.8】(1)[1995,三](2)[2003,三]设a>0,,而D表示全平面，则(3)[2005,一]设D=(x,y)x²+y²s√2,x≥0,y≥0},1+x²+y²]表示不超过1+x²+y²的最大整数，计算二重积(4)[2005,二/三]计算二重积分,其中D=(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1).(5)[2007,二/三]设二元函数(6)[2008,二/三]计算,其中D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}·(7)[2022,三]已知(8)[2023,三]已知平面区域D={(x,y)(x-1)²+y²≤1}..计算二重积分若题中所给的积分顺序破坏了积分坐标系选取的总原则，即“能积优先，简便优先”,那么便会导致无法完成计算或计算起来繁琐，则可以考虑更换积分次序，再进行二重积分计算.【例5.38.9】(1)[1988,一]计算二次积(2)[1990,一]积分的值等于(3)[1992,一]计算(4)[2014,三]二次积(5)[2017,二](6)[2020,二]CACA有的题目故意错误引导你，给了一个2B积分坐标系，你要做的第一件事就是更换积分的坐标系，再进行计算.【例5.38.10】[2010,二]某些二重积分的积分区域若经过换元后能大大地减低运算量，则可使用二重积分换元法.设f(x,y)在积分区域D上连续，若变换将积分区域D变为D',并且满足,那么有的【例5.38.11】(1)[1991,三]计算二重积分,其中D是由x轴，y轴与曲线所围成的区城，其中a>0,b>0.(2)[2009,二/三]计算二重积分,其中D={(x,y)(x-1)²+(y-1²≤2,y≥x}.极坐标系直角坐标系双纽线/心形线//星形线/玫瑰线/1旋轮线/阿基米德螺线//【例5.38.12】轴围成.(2)[2016,一]已知平面区计算二重(3)[2018,二]设平面区域D由曲线(0≤i≤2π)与x轴围成，计算二重(4)[2021,二]曲线(x²+y²)=x²-y²(x≥0,y≥0)与x轴围成的区域为求考点39微分方程的预备知识第一部分考点分析微分方程预备知识合计总合计数一1次(0)0次(0)3次(0)数二0次(0)0次(0)数三2次(0)2次(0)【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次，2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷.3.考频：3/117;0/30.“微分方程的预备知识”这一考点主要是介绍啥叫微分方程，啥叫微分方程的解，以及这个解呢，它有啥性质.解的性质这一知识点还是挺重要的，选择题经常涉及.更重要的是，学完高数你得学线性代数对不对，线性方程组解的性质跟本考点线性方程组解的性质是一样一样的，学好这一考点买一送一，秦好啦。第二部分思维导图3.解的性质(5条)4.叠加定理(小特解之和是大特解)B站：高数大头圆大头圆一对一保分班加V:Sdameili666第三部分考点精讲第三部分考点精讲1.微分方程的定义2.常微分方程与偏微分方程未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.3.微分方程的阶微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.使微分方程恒成立的函数称为微分方程的解.1.通解其中C₁,C₂,…,C。是相互独立的常数，那么则称y=y(x,C₁,C₂,…,C.)是方程F(x,y,y,y",…,y)=0的通解.2.特解y"+a(x)yᵐ-¹)+a₂(x)y-2)…+a(x)y+a(x)y=【例6.39.1】(1)[1989,1]设线性无关的函数y,y₂,y₃(2)[2006,三]设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个不同的解(A)C[v(x)-v₂(x)].(B)y(x)+C[v(x)-(3)[2010,三]设y₁,y₂是一阶非齐次线性微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解，若y)+a₋(x)y"-¹+a₋₂(x)J-2)…+a(x)y+a(x)y=f第一部分考点分析一、考频分析可分离变量型齐次型一阶线性微分方程合计总合计数一数二数三【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次.2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷.3.考频：51/117;9/30.二二、难度指数：中等三、备考建议“一阶微分方程求解”这一考点说是不定积分计算这一考点的的赠品毫不夸张.学会套路之后，主要的工作就是解不定积分.所以一元积分学要解不定积分，二重积分要解不定积分，微分方程要解不定积分.从某种意义上而言，不定积分的题不用额外做太多题，真题就足够你练了.B站：高数大头圆大头圆一对一保分班加V:Sdameili666第二部分思维导图一阶微分方程求解2.换元型(换元化作基本型)2.换元型(换元化作基本型)基本型(套通解公式)基本型(套通解公式)换元型(换元化作基本型)第三部分考点精讲1.基本型【例6.40.1】(1)[1994,二]微分方程Jydx+(x²-4x)dy=0的通解为(2)[1995,二]设y=e是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y=0的特解.(3)[2005,三]微分方程xy+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_(4)[2006,一/二]微分方程的通解是(7)[2014,二]已知函数y=y(x)满足微分方程x²+y²y'=1-y',且求(8)[2019,一]微分方程2yy-y²-2=0满足条件y(0)=1的特解y=.2.换元型若有方,且a、b、c均不为0,那么此方程可通过换元化为可分离变量型方程，其一般性操作如下：stepl令u=ax+by+c,则有u=ax+by+c便可得原微分方程的解，【例6.40.2】[2024,一/二]微分方程满足条件y(1)=0的解为二、齐次型1.基本型若有方程那么称此方程为齐次型方程，其一般性解法如下：steplstep3【例6.40.3】(2)[1993,一]求微分方程x²y'+xy=y²满足初始条件y(1)=1的特解.(3)[1996,三]求的通解.(4)[1997,二]求微分方程(3x²+2xy-y²)dx+(x²-2xy)dy=0的通解.(5)[1999,二]求初值问题的解.(6)[2003,二]已知是微分方程的解，则的表达式为(7)[2007,三]微分方程满足=1的特解为y=(8)[2014,一]微分方程xy'+y(Inx-Iny)=0满足条件y(1)=e³的解为y=.(9)[2025,二]微分方程(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0满足条件y(1)=1的解为.三、一阶线性微分方程1.基本型若有方程y'+p(x)y=Q(x),那么称此方程为一阶线性微分方程，其通解公式为【注】(1)用公式求一阶线性微分方程通解时，若则绝对值可以省略不写，任意常数C可以省略不写，即除了解一阶线性微分方程外，在其他情况下，若解微分方程过程中出现除非已知u(x)>0,否则一律要加绝对值，绝对值不可省略不写.【例6.40.4】(1)[1987,二]求微分方程.满足条件yz(2)[1988,二]求微分方程的通解(一般解).(3)[1989,二]求微分方程xy'+(1-x)y=e²(0<x<+00)(4)[1990,一/二]求微分方程xlnxdy+(y-Inx)dx=0(5)[1990,三]求微分方程y'+ycosx=(Inx)esin的通解.(6)[1991,二]求微分方程xy'+y=xe满足y(1)=1的特解.(7)[1992,一]微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=(8)[1992,二]求微分方程(y-x³)dx-2xdy=0的通解.(9)[1993,二]求微分方程(x²-1)dy+(2xy-cosr)dx=0满足初始条件y(0)=1的特解.(10)[1999,三]设有微分方程y'-2y=φ(x),其中试求在(-∞,+∞)y(0)=0.(11)[2001,二]过的曲线方程为 ·(12)[2004,二]微分方程((y+x³)dx-2xdy=0满足的特解为_(13)[2003,三]设F(x)=f(x)g(x),其中f(x),g(x)在(-∞,+00)内满足以下条件：f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e,(14)[2005,一/二]微分方程xy'+2y=xlnx满足的解为(15)[2008,二]微分方程(y+x²e⁻*)dx-xdy=0的通解是y=(16)[2011,一/二]微分方程y+y=e⁻cosx满足条件y(0)=0的解为y=(17)[2012,二]微分方程ydx+(x-3y²)dy=0满足条件y,=1的解为y=_,(18)[2025,三]微分方程xy'-y+x²e=0满足条件y(1)=-e的解为y=【例6.40.5】(1)[1996,二]设f(x)为连续函数.(2)[2018,一]已知微分方程y'+y=f(x),其中f(x)是R上的连续函数.【例6.40.6】小?(2)[2002,二]求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线小.解.(4)[2021,二]设y=v(x)(x>0)满足微分方程xy-6y=-6,且满足y(√3)=10,(I)求y(x);(5)[2022,一/三]设函数y(x)是微分方程的满足条件y(1)=32.换元型若有方程,则可通过换元将其转换成基本型的一阶线性微分step2令1=g(y),可得,此即基本型的一阶线性微分方程.step3套通解公,再将t=g(y)回代即可得原方程通解.【注例】求微分方的通解.第一部分考点分析第一部分考点分析二阶可降阶型微分方程(数三不要求掌握)二阶常系数线性微分方程合计总合计数一数二数三【注】1.标红部分为近10年考察频次；总合计为数一、二、三合计考察频次.2.从1987～2025年统考，数一、二、三合计117份试卷.3.考频：39/117;8/30.“二阶微分方程求解”这一考点就俩题型.第一种是可降阶的，需要通过换元降阶降成一阶微分方程求解(这一类数三不要求掌握).第二种是二阶常系数微分方程，齐次的就好说，套套公式就完事儿.关键是一旦考到非齐次，那求特解如果用常规方法你得算到口吐白沫，好在咱有大招，微分算子法，谁用谁驴内climax.B站：高数大头圆大头圆一对一保分班加V:Sdameili666第二部分思维导图二阶微分方程求解第三部分考点精讲第三部分考点精讲分方程.step2设通解为P=φ(x,C₁),即得y'=φ(x,C₁).【例6.41.1】(1)[2000,一]微分方程xy"+3y'=0的通解为(II)证明当x≥0时，成立不等式：e⁻≤f(x)≤1.(3)[2007,二]求微分方程y"[x+(y')²]=y'满足初始条件y(1)=y'(1)=1的特解.(4)[2009,二]设非负函数y=y(x)(x≥0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴施转(5)[2010,二]设函数y=f(x)由参数方程(t>-1)所确定，其中ψ(1)具有(6)[2016,二]已知y(x)=e,y₂(x)=u(x)e是二阶微分方程(7)[2025,一]已知函数f(u)在区间(0,+∞o)内具有2阶导数，step2设通解为P=φ(y,C₁),即得y'=φ(y,C.)·解.【例6.41.2】(1)[2002,一/二]微分方程+(y)²=0满足初始条件y=1,的特解是(1)当p²-4q>0(2)当p²-4q=0y=e"(C₁cosβx+C₂sinβx).【例6.41.3】(1)[1996,二]微分方程y"+2y+5y=0(2)[2013,三]微分方程的通解为y=(4)[2017,一]微分方程y"+2y+3y=0的通解为y=(A)a<0,b>0.(B)a>0,b>0.(C)a=0,b>0.(D)a=0,b<0.(6)[2025,二]如果对微分方程y-2ay'+(a+2)y=0任一解y(x),反常积分【例6.41.4】(1)[1989,二]微分方程y"-y=eˣ+1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)(A)ae²+b.(C)ae'+bx.B站：高数大头圆大头圆一对一保分班加V:Sdameili666(2)[2004,二]微分方程y"+y=x²+1+sinx的特解形式可设为(A)y'=ax²+bx+c+x(Asinx+Bcosx).(B)y=x(ax²+bx+c+Asinx+Bcosx).(3)[2011,二]微分方程y"-z²y=e+e-A(a>0)的特解形式为(A)a(e+e-).(B)ax(e+e-).(C)x(ae+be⁻-).(D)x(4)[2017,二]微分方程y*-4y'+8y=e²ˣ(1+cos2x)的特解可设为y=(A)Ae²×+e²*(Bcos2x+Csin2x).(B)Axe²ˣ+e²*(Bcos2x+Csin2x).(C)Ae²×+xe²×(Bcos2x+Csin2x).(D)Axe²×+xe²×(Bcos2x+Csin2x).B站：高数大头圆大头圆一对一保分班加V:Sdameili666【例6.41.5】(1)[1987,二]求微分方程y"+2y'+y=xeˣ的通解.(2)[1988,一/二]设函数y=y(x)满足微分方程y-3y'+2y=2e',且其图形在点(3)[1989,三]求微分方程y"+5y+6y=2e*的通解.(4)[1990,一]求微分方程y"+4y'+4y=e-²×的通解(一般解).(5)[1990,二]求微分方程y"+4y'+4y=e"的通解，其中a为实数.