四川成都实验外国语学校2026届高三3月联考数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川成都实验外国语学校2026届高三3月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z满足z=i1−i，则zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M=−2,−1,0,1A．0,1,2,3 B．1,23．一座7层塔，塔的顶层共有3盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔共挂了多少盏灯？（

）A．380 B．381 C．384 D．3864．已知数据3,0,1,a,8的80%分位数是7，则实数a=（

A．4 B．5 C．6 D．75．已知向量a,b满足a=cosθ,sinθ，b=1，且a与A．7 B．21 C．7 D．216．椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，AF2A．2 B．22 C．3 D．7．已知α∈π2,π，且sinβcosA．34 B．−34 C．48．已知定义域为R的函数fx满足fx+3=f−1−x，且A．f0=0 B．f2=0 C．二、多选题9．已知直线l：kx−y−2k+1=0与圆M：A．直线l恒过定点（2，1）B．圆M的半径为2C．存在实数k，使得直线l与圆M相切D．若k=−1，则直线l被圆M截得的弦长为210．已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3,BC=BB1=2，点M为A1D1的中点，A．球O的表面积为17B．动点P的轨迹长度为10C．异面直线CC1与APD．三棱锥A1−AMB111．已知函数fx=ex，A．函数y=fxB．∃x∈0,+∞C．若P，Q分别是曲线y=fx和y=gx上的动点，则|PQD．若fax−gx≥1−ax三、填空题12．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答）13．已知x>0,y>0，且x+2y=4，则(1+x)(1+2y)的最大值为_________；14．若函数fx的定义域内存在x1，x2x1≠x2，使得fx1+fx2四、解答题15．已知fx=x−lnx+ax，(1)求实数a的值；(2)求fx在区间1,16．如图，在三棱柱ABC−A1B1C(1)证明：直线A1B⊥平面(2)设P是棱CC1的中点，求AC与平面17．已知a,b,c分别是锐角△ABC的角A,B,C的对边，bsin(1)求证：A=2B；(2)求ca18．2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：3.5,4.5，4.5,5.5，5.5,6.5，6.5,7.5，7.5,8.5，8.5,9.5．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布Nμ,σ2，并把质量指标值不小于8的产品称为(1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为1.25，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布Nμ,σ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.6827，(2)（ⅰ）从样本的质量指标值在3.5,4.5和8.5,9.5的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在8.5,9.5的部件件数为η，求η的分布列和数学期望；（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是x(20<x<49)元，一件B等品部件的利润是ln50−x元，根据（1）的计算结果，试求x19．已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，O为坐标原点.过F作直线与C交于点A，B．当AB垂直于y轴时，AB=4．点P12,1．按照如下方法依次构造点Pnn=2,3,4,⋯：过点Pn−1作斜率为−1的直线与(1)求数列xn(2)求△P(3)将△OAB绕x轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川成都实验外国语学校2026届高三3月联考数学试题》参考答案题号12345678910答案BCBCABDCABABD题号11答案ACD1．B【详解】因为z=i所以复数z在复平面内对应的点为−12．C【分析】先解一元二次不等式可得集合S，再由交集的定义可得.【详解】因为x2−x−6≤0，解得所以S=x∈N|所以M∩S=0,1,23．B【分析】根据题意构造等比数列，由等比数列的求和公式计算即得.【详解】设这座塔的顶层的灯数为a1=3，从顶层开始向下每层的灯数依次构成公比为q=2的等比数列因塔共有7层，故该塔共挂的灯有a14．C【分析】根据百分位数的定义求解.【详解】数据个数为5，分位数位置5×80%数据3,0,1,a,8的80%分位数是7，则排序后第4项和第5项的平均数为7所以8是数据的最大数，排序后的第5项，则排序后的第4项为6，即0,1,3,6,8，6+82所以a=6.选项C正确.5．A【详解】由向量a=cosθ因为b=1，且a与b夹角为60∘，所以则a+2b26．B【分析】作出几何图形，结合图形，利用勾股定理列式求解.【详解】直线BF2：y=−2x+2交x轴于F2(1,0)，交y轴于B(0,2)，而则|AF2|=2,|故选：B7．D【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出sinα【详解】因为sinβ化简得sinβ即sinα=45，又α∈所以1−cos8．C【分析】根据题意，利用对称性和奇偶性，求得fx+2=f−x，f−x=−fx−2，且【详解】由函数fx满足fx+3=f−1−x，可得fx因为函数f2x−1为奇函数，可得f即f−x−1+f(x−1)=0，可得f−x令x=1，可得f−1=−f−1又因为fx+2=f−x所以fx+4=−fx，可得f因为fx+4=−fx，可得f对于f09．AB【分析】对于选项A，将直线方程变形为点斜式可判断；对于选项B，将圆的方程化为标准式可判断；对于选项C，通过判断直线所过定点与圆的关系可判断；对于选项D，k=−1时，直线过圆心，可判断直线l被圆M截得的弦长.【详解】对于选项A，由直线l：kx−y−2k+1=0，得y−1=kx−2，故直线l对于选项B，由x2+y2−2x−4y+1=0，得x−1对于选项C，将点2,1代入圆的方程，得22所以（2，1）在圆x2所以直线与圆相交，故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，故C选项错误；对于选项D，若k=−1，直线方程为l：x+y−3=0，圆心（1，2）在直线l：x+y−3=0上，故直线故选：AB10．ABD【分析】利用长方体的性质结合球的表面积公式判断A，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示并结合题意得到轨迹方程，进而求解轨迹长度判断B，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系判断C，利用球的方程求出E的坐标，进而得到OE的长度判断D即可.【详解】对于A，设长方体的外接球半径为R，由长方体性质得R=2由球的表面积公式得球O的表面积为4π对于B，如图，在长方体ABCD−A以D为原点建立空间直角坐标系，连接BD由题意得A(2,0,0)，B1(2,3,2)，A1(2,0,2)，因为点M为A1D1则AB1=(0,3,2)，AM=(−1,0,2)，设面可得AB1⋅n=3b+2c=0AM⋅因为P为底面A1所以设P(x,y,2),x∈0,2,y∈0,3因为BP//平面AB1得到6(x−2)−2(y−3)+2×3=0，化简得3x−y=0，当x=2时，y=6，不符合题意，当y=3，x=1时，符合题意，则P的轨迹是点(0,0,2)与点(1,3,2)之间的线段，由两点间距离公式得轨迹长度为12对于C，因为3x−y=0，所以y=3x，此时变为P(x,3x,2),x∈0,1由题意得C(0,3,0)，C1(0,3,2)，则CC设异面直线CC1与AP所成角为可得cosθ=由同角三角函数的基本关系得sinθ=则tanθ=sinθ由二次函数性质得f(x)在0,25上单调递减，在而f(0)=4，f(1)=10，f(25)=即tanθ∈对于D，由题意得O是BD1的中点，则由中点坐标公式得且A(2,0,0)，B1(2,3,2)，A1(2,0,2)，M(1,0,2)，设则外接球的方程为(x−x将A(2,0,0)代入方程，得到(2−x将A1(2,0,2)代入方程，得到两式相减可得z02=将B1(2,3,2)代入方程，可得此时(2−x0)两式相减得(3−y0)将M(1,0,2)代入方程，可得(1−x此时(2−x0)两式相减可得(1−x0)则E(32,故选：ABD11．ACD【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设hx=fx−gx，求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲线y=ex与曲线y=lnx互为反函数，可先求点P到y=x【详解】对于A，y=fx−eg当0<x<1时，y′<0，当x>1时，所以y=ex−elnx所以y=fx对于B，设hx=fx因函数y=ex与y=−1x在0,+∞又h′1e=e即ex0=1x0，lnx0=−所以hx在0,x0所以h(x)min=hx0所以∀x∈0,+对于C，因为函数fx=ex与函数设点P到y=x的最小距离为d，设函数fx=ex上斜率为f′x=ex，由ex=1得x=0所以PQ的最小值为2d=2对于D，若fax−gx则eax+ax≥x+ln令Fx=x+ex，F(ax)≥F(lnx)，因F′即a≥lnxx，令u当0<x<e时，u′x>0，则函数ux在(0,e)上单调递增，当x>所以u(x)max=ue=lnee故选：ACD12．18【分析】先确定百位数字，再从剩余3个数字中选2个分别作为十位和个位，最后用乘法计算总和即可.【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有C3而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有A3所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为3×6=18种选择.故答案为：18.13．9【分析】先观察条件等式和所求式子，由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式.【详解】由题意，1+x+1+2y=6，1+x>1,1+2y>1，所以1+x1+2y≤1+x+1+2y2故答案为：914．1,+【分析】根据三角恒等变换可知fx=sinωx，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为fx【详解】由fxfx=−3又fx=32sin∴存在x1,x即存在x1,x即sinωx1∴fx1=fx2x∈0,5sint=1的正根依次为：区间右端点需满足：5πω215．(1)2(2)[3−【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值；（2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域.【详解】（1）由fx=x−ln则fx在x=1处的切线的斜率为−a，因切线与x−2y=0故−a×12=−1（2）由（1）可得f′因x∈1,e，则当1<x<2时，f′(x)<0，当故函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,e又f(1)=3,f(2)=3−ln因3−(e−1+2故fx在区间1,e上的值域为16．(1)证明见解析；(2)6【分析】（1）在△ABA1中，由余弦定理可得A1B2（2）建立空间坐标系，求直线AC的方向向量和平面PA【详解】（1）由题意可知△ABC是边长为2的正三角形，在△ABA1=16+4−2×4×2×=12，所以AB所以△A1AB所以A1同理可得A1因为BC,AB⊂平面ABC，BC∩AB=B，所以直线A1B⊥平面（2）取AB中点D，连接CD，则CD⊥AB，又AB=AC=BC=2，所以CD=3由（1）可知直线A1B⊥平面ABC，以B为原点，分别以射线BA，BA1为x，则A(2,0,0),A1(0,2所以A1设平面PA1B则有n⋅令y=1，可得n=(0,1,1)又因为AC=(−1,0,所以，所以AC与平面PA1B17．(1)证明见解析；(2)(【分析】（1）利用正余弦定理，把混合等式转化为可化简的统一形式，利用锐角三角形的范围约束，结合余弦函数在(0,π)上单调递减的性质，证明（2）利用正弦定理将ca转化为角的正弦比值，再结合（1）中A=2B的结论，将表达式统一用角B表示，根据锐角三角形的三个内角都为锐角的条件，列出关于角B的不等式组，确定角B的取值范围，进而求出c【详解】（1）对已知等式bsin由正弦定理角化边得：b2整理得：b2再由余弦定理：b2对比得cosA=因为△ABC是锐角三角形，A,B∈(0,π2)因为余弦函数在(0,π)单调递减，所以（2）由A=2B，内角和A+B+C=π得C=因为△ABC是锐角三角形，所以：{A=2B<由正弦定理：c=sin令t=cosB,t∈(2因为函数f(t)=2t−12t在而f(22)=22故ca的取值范围为(18．(1)0.16(2)（ⅰ）分布列见解析，期望E(η)=2；（ⅱ）x=179【分析】（1）根据直方图先算出平均值x，进而得到正态分布X~N6.75,1.252（2）（ⅰ）求出指标值在3.5,4.5和8.5,9.5的总件数，在8.5,9.5的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算；（ⅱ）设设每箱产品的利润为Z，其中有Y件A等品，用Y表示出Z的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时x的取值.【详解】（1）根据直方图可得，x=4×0.05+5×0.1+6×0.25+7×0.35+8×0.15+9×0.1=6.75，由题知μ=x=6.75，σ=s=1.25，则X~N6.75,A等品的质量指标值不小于8，即P(X≥8)=P(X≥μ+σ)=（2）（ⅰ）指标值在3.5,4.5和8.5,9.5的总件数为100×(0.05+0.1)=15，指标值在8.5,9.5的件数是100×0.1=10，由题知，η可能的取值是0,1,2,3.P(η=0)=C53P(η=2)=C51分布列为：η0123P2204524E(η)=0×（ⅱ）设每箱产品的利润为Z，其中有Y件A等品，由题知，Z=Yx+(100−Y)ln由（1）知，A等品的概率为0.16，则Y~B(100,0.16