1.4 线段的垂直平分线 第一课时 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.4线段的垂直平分线第一章三角形的证明及其应用第1课时:垂直平分线的性质与判定学习目标1.重点:理解并运用线段垂直平分线的性质.2.难点:探索并证明线段垂直平分线的判定定理.观察:已知,点A与点A'关于直线l对称,如果将线段AA'沿直线l对折,则∠1=∠2=90°,点A与点A'重合,AD=A'D,即直线l既垂直于线段AA',又平分线段AA'.●●lAA'D21由上可知:线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴.定义回顾什么叫做线段的垂直平分线?我们把垂直且平分某条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝新课导入如图,直线l垂直平分线段AB.P1,P2,P3,…是直线l上的点,请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长,你能发现什么?试猜想:点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的关系．ABP1P2P3l猜想:线段垂直平分线上的点,到线段两端的距离相等.已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.求证:PA=PB.性质证明PABMCN证明:∵MN⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°,又AC=CB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.性质学习线段垂直平分线(中垂线)的性质:线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.应用格式:PABMCN∵MN⊥AB,AC=BC,∴PA=PB.1.如图①所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,点P为直线CD上的一点,且PA=5,则线段PB的长为()A.6B.5C.4D.32.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长是

.B10cmPABCD图①ABCDE图②小试牛刀3.如图,在△ABC中,AB＝AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于D，若△DBC的周长为35cm,则BC的长为()A.5cmB.10cmC.15cmD.17.5cmC小试牛刀线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.逆命题尝试·思考你能写出中垂线性质定理的逆命题吗?它是真命题吗?请证明你的结论.PAB定理证明C证明:过点P作PC⊥AB,则∠PCA=∠PCB=90°,∵PA=PB,∴∠A=∠B,∴△PCA≌△PCB(AAS),∴AC=BC,∴点P在线段AB的垂直平分线上.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.如图,已知PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.定理学习线段垂直平分线(中垂线)的判定:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.应用格式:∵PA=PB,DA=DB,∴P,D都在AB的垂直平分线上,∴PD是AB的垂直平分线.CPABD例题讲解证明:∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上,∵OB=OC,∴点O在线段BC的垂直平分线上,∴直线AO是线段BC的垂直平分线.(两点确定一条直线)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.求证:直线AO垂直平分线段BC.ABCO4.如图所示,AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACBＡＢＣＤA小试牛刀5.如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE,AB+BC=16cm,则△BCE的周长是

cm.ABCDE166.判断下列说法的正误：①若点P,E是线段AB垂直平分线上的两点,则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则经过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的有

（填序号）.①②③小试牛刀④错误,两点才能确定一条直线随堂练习证明:∵AB是线段CD的垂直平分线,ABEFCD∴CE=DE,CF=DF,又∵EF=EF,∴△CEF≌△DEF(SSS),∴∠ECF=∠EDF.2.已知:如图,AB是线段CD的垂直平分线,E,F是AB上的两点.求证:∠ECF=∠EDF.习题1.4ABCDE解:∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,又∵C△ABC=BC+BE+CE=50,∴BC+AE+CE=50,即BC+AC=50,又∵AC=27,∴BC=50-27=23.5.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.加餐训练证明:1.已知:如图,点C,D是线段AB外的两点,且AC=BC,AD=BD,AB与CD相交于点O.求证:AO=BO.∵AC=BC,AD=BD,∴点C和点D都在线段AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线,∴AO=BO.BCAEF解:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵EF是AB的垂直平分线,∴AF=BF,∴∠BAF=∠B=30