第二十一章四边形章末复习课件人教版数学八年级下册

第二十一章

四边形章末复习

1．你能概述一下四边形的概念吗？

2．四边形的内角和定理和外角和定理分别是什么？

3．你能概述一下多边形和正多边形的概念吗？

4．多边形的内角和公式是什么？

5．多边形的外角和等于多少度？

请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！

6．你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？

7．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？

8．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗？

9．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理．你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？

请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！考点一四边形的内角和

例1

在四边形ABCD中，∠B=80°，∠A，∠C，∠D的度数比为2∶3∶5，求∠A，∠C，∠D的度数．

解：设∠A=2x,则∠C=3x,∠D=5x.

在四边形ABCD中,根据四边形内角和定理可得2x+3x+5x+80°=360°,

解得x=28°.

则∠A=56°,∠C=84°,∠D=140°.

已知四边形内角比例关系或角度之间的关系求四边形的其他角，关键是利用“四边形的内角和等于360°”列式求解.在解决内角比例问题时，有时需要设未知数列方程．考点一四边形的内角和考点二四边形的外角和

例2

一个四边形的四个外角的度数比为1∶2∶3∶4，求这个四边形四个内角的度数.

解：设四个外角的度数分别为x,2x,3x,4x.

因为四边形的外角和为360°,

所以x+2x+3x+4x=360°,

解得x=36°,所以四个外角的度数分别为36°,72°,108°,144°,

所以四个内角的度数分别为180°－36°=144°,180°－72°=108°,180°－108°=72°，180°-144°=36°,即这个四边形四个内角的度数分别为144°,108°,72°,36°.

(1)已知四边形外角的比例关系，可设未知数,根据“四边形的外角和等于360°”列方程求解.(2)求内角度数可先求其相邻外角的度数，反之亦然,利用邻补角的关系转化求解.考点二四边形的外角和考点三多边形的内角和

例3

小刚在进行多边形内角和的计算时,求得一个多边形的内角和为1125°.(1)小芳看到他的计算结果后,马上就说小刚的计算有误,请你写出小芳的判断理由.(2)小刚重新检查后,发现自己真的少加了一个内角,请问这个内角的度数是多少?这个多边形有多少条边呢?考点三多边形的内角和解：（1）因为1125不能被180整除，所以小刚的计算有误.(2)设多边形有n条边，则有1125°＜（n－2）×180°＜1125°＋180°，解得

＜n＜.因为n为整数，所以n=9，所以（9－2）×180°－1125°=1260°－1125°=135°，所以少加的这个内角的度数是135°，这个多边形有9条边.

(1)已知多边形的内角和，根据多边形内角和公式列方程,并解方程.(2)已知多边形的部分内角和，则可以结合隐含条件列方程(或方程组)或列不等式(或不等式组)求解.考点三多边形的内角和已知多边形的内角和求边数的方法考点四多边形的外角和

例4若一个正多边形的内角和比外角和多720°.(1)求这个多边形的边数.(2)求这个多边形每个内角的度数.解:(1)设这个多边形的边数是n.由题意,得(n-2)×180°=360°+720°，解得n=8,所以这个多边形的边数为8.(2)因为这个正多边形为正八边形,所以这个正八边形每个内角的度数为(8一2)×180°÷8=135°.

考点四多边形的外角和考点五三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线

例5如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．考点五三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线

（1）证明：∵∠ABC＝90°，点M为AC的中点，∴BM＝AC．在△ACD中，∵点M，N分别是AC，CD的中点，

∴MN∥AD，且MN＝

AD．

又∵AC＝AD，

∴BM＝AC＝AD＝MN，

即BM＝MN．考点五三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线

（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝30°．

∴∠BCA＝90°－∠BAC＝60°，

由（1）知，BM＝

AC＝MC，

∴△BMC

为等边三角形，∴∠BMC＝60°．∵MN∥AD，∴∠CMN＝∠CAD＝30°，∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°．考点五三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线

∵AC＝2，∴BM＝MN＝AC＝1，

∴．考点六特殊平行四边形中的图形变换问题

例6把正方形ABCD

绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG

与BC

交于点

H（如图）．试问：线段HG

与线段HB

相等吗？请先观察猜想，再证明你的猜想．

解：猜想：HG＝HB．证明如下：方法1：如图，连接GB．考点六特殊平行四边形中的图形变换问题

∵四边形ABCD，AEFG

是旋转前后的两个正方形，∴∠ABC＝∠AGF＝90°，AB＝AG，∴∠AGB＝∠ABG，∴∠HGB＝∠HBG，∴HG＝HB．

方法2：如图，连接AH，考点六特殊平行四边形中的图形变换问题

∵四边形ABCD，AEFG

都是正方形，∴∠B＝∠G＝90°，AG＝AB，又∵AH＝AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH．∴HG＝HB．抓住“不变”解图形变换问题

图形的平移、折叠、旋转不改变图形的形状、大小，仅改变位置．在此类题目中，要抓住图形变换过程中的对应边（或角），进而利用不变性解决问题．考点六特殊平行四边形中的图形变换问题考点七在动态中探究特殊的平行四边形

例7如图，P，Q，R，S

四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D

同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA

的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A．（1）求证：不管滚动多长时间，连接四个小球所得到的四边形PQRS

总是正方形．（2）这个四边形在什么时候面积最大？在什么时候为原正方形面积的一半，请说明理由．

（1）证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA．∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS．∴PS＝QP＝QR＝SR，∠ASP＝∠BPQ．∴在任何运动时刻，四边形PQRS

都是菱形．考点七在动态中探究特殊的平行四边形

又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°．∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝90°．∴在任何运动时刻，菱形PQRS

都是正方形．考点七在动态中探究特殊的平行四边形

（2）解：当P，Q，R，S

在出发点时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD

的面积．当P，Q，R，S

四点运动到四边中点时，这个四边形的面积是原正方形ABCD

的面积的一半．理由：设原正方形ABCD

的边长为a．

当PS2＝

a2时，在Rt△APS

中，AS＝a－SD＝a－AP．考点七在动态中探究特殊的平行四边形

∴

AS2＋AP2＝PS2，即(a－AP)2＋AP2＝a2．

整理，得AP2－a·AP＋a2＝0，

即，故

AP＝

a．

由（1），得BQ＝CR＝DS