周期变化课件-高一下学期数学北师大版-1

第一章三角函数1周期变化课程标准1.了解现实生活中的周期现象,能初步判断简单的实际问题中的周期.2.理解周期函数的概念及最小正周期的意义.3.能判断一个函数是否为周期函数,能利用函数的周期求值或范围.基础落实·必备知识一遍过知识点一

周期函数的概念1.周期函数一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D,且满足

,那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.

2.最小正周期如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个

的正数,那么这个

就称作函数y=f(x)的最小正周期.

不是所有的周期函数都存在最小正周期f(x+T)=f(x)最小

最小正数

名师点睛周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x来说的,如果只有个别的x满足f(x+T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期.思考辨析常数函数是周期函数吗?存在最小正周期吗?提示

根据周期函数的定义知,常数函数是周期函数,但不存在最小正周期.自主诊断1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)钟表的分针每小时转一圈,它的运行是周期现象.(

)(2)函数f(x)=5x2满足f(-3+6)=f(-3),那么函数y=f(x)的周期为6.(

)2.如果钟摆每经过2s就回到竖直状态,那么每经过多少秒可以再回到最左边位置呢?√×解

回到竖直状态的时间间隔为2

s,即半个周期,而再回到最左边的间隔时间,也就是一个周期,所以是4

s.知识点二

函数周期性的常用结论对于函数y=f(x)定义域内任一自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);f(x)≠0名师点睛函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且周期T=2(b-a)(不一定是最小正周期,下同).(2)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a<b),那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=2(b-a).(3)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(a≠b),那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=4|b-a|.思考辨析1.对于定义在R上的函数f(x),若f(x+a)=,能说f(x)为周期函数吗?

2.已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数,且f(1)=2024,你能通过f(1)得出f(11)的值吗?提示

不能,需要限制a≠0.提示

f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2

024.自主诊断1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若函数f(x)满足f(0)=f(5)=f(10),则它的周期T=5.(

)(2)若函数f(x)的周期T=5,则f(-5)=f(0)=f(5).(

)(3)若函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2022)=0.(

)×√√2.如果今天是星期五,则72天后的那一天是

.

解析

每隔7天循环一次,72=7×10+2,故72天后为星期日.星期日重难探究·能力素养速提升探究点一求函数的周期【例1】

若对任意的x∈R,函数f(x)满足f(x+2024)=-f(x+2025),则函数f(x)的周期为

.

2解析

由f(x+2

024)=-f(x+2

025),得f(x+2

024)=-f(x+2

024+1),令x+2

024=t,即f(t+1)=-f(t),所以f(t+2)=f(t),即函数f(x)的周期是2.规律方法

函数周期的求解方法求解函数的周期问题,要紧扣函数周期的定义,牢记函数周期的常用结论,熟练掌握函数的对称性与周期性的关系.变式训练1已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=,则函数f(x)的周期为

.

4所以f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.探究点二周期函数的判定【例2】

设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为偶函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)为周期函数.证明

由图象关于x=a对称得f(2a-x)=f(x),即f(2a+x)=f(-x).因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),从而f(2a+x)=f(x),所以f(x)是以2a为周期的函数.规律方法

紧扣定义——判断一个函数为周期函数应用定义判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发,充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转化.变式训练2设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为奇函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)是以4a为周期的周期函数.证明

若f(x)为奇函数,则图象关于原点对称,且f(-x)=-f(x),由题意得f(2a+x)=f(-x),所以f(2a+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4a+x)=f(x),故f(x)是以4a为周期的函数.探究点三利用函数的周期性求值或范围【例3】

定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当x∈[-3,3)时,

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)+f(2025)=

.

339解析

f(x+6)=f(x),故函数f(x)是周期函数,周期为6.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

024)+f(2

025)=337×1+1+2-1=339.规律方法

函数周期性的应用根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意最小正周期与周期的区别.变式训练3已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=则实数a的取值范围为

.

(-1,4)解析

因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,所以f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),探究点四周期性在实际中的应用【例4】

一个地区不同日期里白昼的时长是不同的,下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1h):日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日日期序号昼时间y/h5.610.212.415.917.3日期6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期序号x172225263298355白昼时间y/h19.415.912.48.55.4(1)以日期序号x为横坐标,白昼时间y为纵坐标,在如图所示给定的坐标系中画出这些数据的散点图,并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9h;(2)若该地白昼时间的变化具有周期现象,估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少.解

(1)散点图如图所示,由图可知从4月28日至8月12日的白昼时间均大于15.9

h,所以该地区一年白昼时间大于15.9

h的天数大约为224-118+1=107.(2)估计该地区来年6月21日的白昼时间为19.4

h.规律方法

应用周期性解决实际问题的两个要点

变式训练4受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫作潮汐.已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:t/时03691215182124y/米1.51.00.51.01.51.00.51.01.5根据规定,当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放,判断一天内对冲浪爱好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候?有多长时间?解

由题中表可知,一天内能开放三次,时间最长的一次是上午9时至下午3时,共6个小时.本节要点归纳1.知识清单:(1)周期现象;(2)周期函数的定义;(3)函数的周期、最小正周期的定义;(4)函数周期的简单应用.2.方法归纳:数学抽象、数形结合、转化法.3.常见误区:容易忽视周期函数定义和常用结论中的常数T,a均不为0.学以致用·随堂检测促达标123451.(2025广西钦州高一月考)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是(

)D解析

周期函数的图象体现为“循环往复”的形式,选项D中的图象不满足这一性质,故选D.123452.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3x-1(0≤x

<3),f(x-1)=f(x+2),则f(2024)=(

)A. B.1 C.3 D.9B解析

由f(x-1)=f(x+2),可得f(x)=f(x+3),函数是以3为周期的函数,即f(2

024)=f(2)=32-1=3.故选C.123453.(2025吉林白山高二期末)已知f(x+1)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(2-x),当x∈(1,3]时,f(x)=ex-2x,则f(2025)+f(2026)=

.

e2-4解析

由f(x+1)是定义在R上的奇函数,得f(-x+1)=-f(x+1),即f(2-x)=-f(x),又因为f(x+4)=f(2-x),则f(x+4)=-f(x),f(x+8)=-f(x+4)=f(x),因此函数f(