直角三角形（2）直角三角形全等的判定度下册

北师大版八年级上册1.3直角三角形（2）第2课时

直角三角形全等的判定学习目标1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）课前小测

1.

如图，在四边形ABCD中，AB//CD,E是边BC上的一点，且∠BAE=25°,∠CDE=65°,AE=2,DE=3,求

AD

的长。

2.

一个直角三角形屋架如图所示，其中

BC⊥AC,∠A

=30°,AB=10m,CB₁

⊥AB,B₁C⊥AC,

垂

足

分

别

为B₁,C₁,

那么

BC

的

长

是

多

少

?

B₁C₁

呢

?

复习导入

如图，在Rt△ABC

和

Rt△DEF中，∠C=∠F=90

°.请根据全等三角形的判定方法完成下列问题。(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF

的依据是

;(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌

Rt△DEF

的依据是

;(3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌

Rt△DEF的依据是

;(4)若

AC=DF,CB=FE,

则Rt

△ABC≌

Rt△DEF的依据是

.AASASAAASSAS问题：若

AC=DF,AB=DE,Rt

△ABC与Rt△DEF

全等吗？操作活动：已知斜边和一条直角边，作直角三角形

问题1：假设满足上面条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗？问题2：你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。操作活动：已知斜边和一条直角边，作直角三角形请按照给出的作法作出相应的图形：

作法图形1.作射线CN。2.过点C作射线CN的垂线CM。3.在射线CM上截取CB=。4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A。5.连接AB△ABC就是所要作的直角三角形。

（1）先画∠MC′

N=90°ABCM

C′N（2）在射线C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′MC′ABCNB′A′（4）连接A′B′MC′ABCNB′A′把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较，它们一定全等吗？可以发现:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。请你尝试证明这一结论。证明活动：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等证明：在△ABC

中，∵

∠C=90°,∴

BC²=AB²-AC²(勾股定理)。同理，

B'C'²=A'B'²-A'C'²。∵

AB=A'B',AC=A'C',∴

BC=B'C'。∴

△ABC≌△A'B'C'(SSS)。

已知：如图,在△ABC和

△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'

求证：△ABC≌

△A'B'C'。ABCA'B'C'定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.知识要点几何语言：

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′,BC=B′C′,ABCA′B′C′问题解决

如图，在Rt△ABC

和

Rt△DEF中，∠C=∠F=90

°.请根据全等三角形的判定方法完成下列问题。问题：若

AC=DF,AB=DE,Rt

△ABC与Rt△DEF

全等吗？全等例1如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

.在Rt△ABC

和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.变式1：HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.变式2：HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．例2如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.即时检测：1.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等．（）HL×SASAASAAS即时检测：AFCEDB如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,

AF=CE,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.AFCEDBG变式训练1

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?变式训练2C

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF拓展提升：如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．课堂小结：直角三角形全等的判定判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（HL）前提条件：在直角三角形中使用方法：只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）课后作业：基础必做题

1.(2025沈阳期中)如图，点E,F

在线段

AC

上

，AE=CF,AD⊥FD于

点

D,CB⊥EB于点B,要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE,

则还需添加的一个条件是(

)A.AD=CB

B.∠A=∠CC.BE//DF

D.AD//BC2.

已知在

Rt△ABC

中，∠C=90°,∠B=30°,AB=4,

则下列图中的直角三角

形与Rt△ABC全等的是（

）

ABD课后作业：基础必做题

3.如图,用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是

4.如图,在△ABC中，∠C=90°,E

是

AC

上一点,连接

BE,

过点E作ED⊥AB,垂足D,BD=BC.若AC=6cm,则AE+ED的值为(

)

A.4cm

B.5cm

C.6cm

D.7cm

课后作业：基础必做题

6.(2025梅州期中)如图，∠A=∠B=90°,E

是AB

上的一点，且AE

=BC,

∠1=∠2,求证：Rt△ADE≌Rt△BEC.5.

特色(学科)多解法「2025山东青岛期中，★」数学兴趣小组在解答一道数学题：如图AC⊥BC,BD⊥AD,AD=BC.

求证：BD=AC.小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理

AAS

证明两个三角形全等，进而推得

BD=AC.

”小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理HL

证明两个三角形全等，从而得到

BD

=AC.

”小雨说:“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC.”你认为他们的方法可行吗?并试着选择一种方法给出证明.课后作业：基础必做题7.如图,C是路段AB的中点，小明和小红两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D,E两地.若

DA⊥AB于点A,EB⊥AB于点

B,则

D,E与路段AB的距离相等吗?为什么?课后作业：提升选做题

()

8.「2025广东湛江寸金培才学校期中」勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠.被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在下图的基础上，运用“出入相补”原理完成的，即把一个几何图形分割成若干部分后，面积的总和保持不变.在△ABC

中，∠ACB=90°,四边形

ABDE、四边形

ACFG、四边形

BCHI均为正方形，HI与AE

相交于点J,

点D

在直线H