2021新版大学初等数论考试押题卷+历年真题附完整答案

2021新版大学初等数论考试押题卷+历年真题附完整答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.设a,b为整数，b>0，则带余除法a=bq+r中r的取值范围是（）A.0≤r<bB.1≤r≤bC.0<r≤bD.-b<r≤02.若gcd(a,b)=d，则gcd(a/d,b/d)=（）A.dB.1C.a/dD.b/d3.同余式3x≡6mod9的解的个数为（）A.1B.2C.3D.04.欧拉函数φ(100)的值为（）A.40B.50C.60D.805.模11的原根存在的个数为（）A.1B.2C.4D.106.勒让德符号(15|17)的值为（）A.1B.-1C.0D.27.不定方程x²+y²=3的整数解个数为（）A.0B.2C.4D.88.2模17的阶为（）A.4B.8C.16D.179.设a,b为正整数，若a≡bmodφ(m)且gcd(a,m)=1，则（）A.a≡bmodmB.a^k≡b^kmodmC.a^φ(m)≡1modbD.以上都不对10.以下数论函数中不是积性函数的是（）A.欧拉函数φ(n)B.莫比乌斯函数μ(n)C.除数函数d(n)D.阶乘函数n!二、填空题（总共10题，每题2分）1.gcd(123,456)=______。2.lcm(18,24)=______。3.同余式2x≡5mod7的解为______。4.φ(100)=______。5.模11的原根个数为______。6.模7的二次剩余个数为______。7.不定方程x²+y²=1的整数解个数为______。8.2模17的阶为______。9.μ(12)=______（μ为莫比乌斯函数）。10.v5(100!)=______（v5表示5在100!中的指数）。三、判断题（总共10题，每题2分）1.带余除法中余数r是唯一的。（）2.若d|a且d|b，则d|(a+b)且d|(a-b)。（）3.同余式ax≡bmodm有解的充要条件是gcd(a,m)|b。（）4.若n为合数，则φ(n)<n-1。（）5.模9存在原根。（）6.二次剩余的乘积仍为二次剩余。（）7.不定方程x²-2y²=1有无穷多组整数解。（）8.若a模m的阶为d，则a^k模m的阶为d/gcd(k,d)。（）9.莫比乌斯函数μ(n)是完全积性函数。（）10.素数p满足p≡1mod4当且仅当-1是模p的二次剩余。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述欧几里得算法的基本步骤及其在数论中的作用。2.陈述中国剩余定理的条件与结论。3.说明费马小定理的内容，并举例说明其应用。4.陈述二次互反律的主要结论（用勒让德符号表示）。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.证明：n为素数当且仅当φ(n)=n-1。2.讨论不定方程x²-2y²=1的解结构（指出是否存在解，若存在说明解的生成方式）。3.分析模p（p为奇素数）的原根个数及存在性，并举例说明。4.证明勒让德符号的积性性质：(ab|p)=(a|p)(b|p)（p为奇素数，p不整除ab）。---答案一、单项选择题1.A2.B3.C4.A5.C6.B7.A8.C9.B10.D二、填空题1.32.723.x≡6mod74.405.46.37.48.89.010.24三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.欧几里得算法步骤：对整数a≥b>0，反复用带余除法得a=bq₁+r₁（0≤r₁<b），b=r₁q₂+r₂（0≤r₂<r₁），…，直到rₙ=0，最后非零余数rₙ₋₁即为gcd(a,b)。作用：用于计算最大公约数，推导贝祖定理，求解线性同余方程等。2.条件：设m₁,m₂,…,mₖ两两互素，b₁,b₂,…,bₖ为任意整数。结论：同余方程组x≡bᵢmodmᵢ（i=1,…,k）在模M=m₁m₂…mₖ下有唯一解，即存在唯一x∈{0,1,…,M-1}满足所有同余式。3.费马小定理：若p为素数，a为整数且p不整除a，则a^(p-1)≡1modp。应用举例：计算2^100mod7，因7是素数，2^6≡1mod7，100=6×16+4，故2^100≡(2^6)^16×2^4≡1^16×16≡2mod7。4.二次互反律：设p,q为奇素数且p≠q，则(p|q)(q|p)=(-1)^[(p-1)(q-1)/4]，即(p|q)=(q|p)当p≡q≡3mod4时符号相反，否则相同。五、讨论题1.必要性：若n为素数p，则1到p-1均与p互素，故φ(p)=p-1。充分性：若φ(n)=n-1，说明1到n-1均与n互素，即n无真因子（除1和自身外无其他因子），故n为素数。2.该方程为佩尔方程，存在无穷多组正整数解。最小正解为(x,y)=(3,2)，所有解可由(3+2√2)^k（k∈N⁺）展开得到，即x+y√2=(3+2√2)^k，对应解为(xₖ,yₖ)，满足递推关系xₖ₊₁=3xₖ+4yₖ，yₖ₊₁=2xₖ+3yₖ。3.模p（奇素数）的原根存在，且原根个数为φ(p-1)。例如模7，p=7，p-1=6，φ(6)=2，故模7有2个原根（如3和5）。原根存在性由有限域乘法群的循环性保证，即模p的既约剩余系构成乘法循环群，其生成元即为原根。4.由欧拉判别法，(a|p)≡a^((p-1)/2