1.有理数-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页有理数——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．如图，检测4个足球，超过标准质量的克数记为正数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（）A． B． C． D．2．4的相反数是A．4 B．﹣4 C．14 D．3．下表记录了某城市一天四个时刻的气温．10时12时14时16时−03−在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温在（）A．10时 B．12时 C．14时 D．16时4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（）A．a+b>0 B．a−b>0 C．ab>0 D．a5．若x=4，y=6，且x+y>0，那么A．−2或−10 B．2或−2 C．10或−10 D．2或106．－2的相反数是（）A．12 B．2 C．−17．比较大小：−21（填“>，<或=”符号）8．计算：（1）16+（2）−9．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护．某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下：+14，−6，+9，−13，−9，+15，−5，−10．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶．（1）B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？（2）如果这天汽车共耗油5.10．已知a，b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值为2，求2024a+b二、能力题11．若|k|=−k(k≠0)A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限12．下列有理数计算正确的是（）A．(−5)+(+3)=(−8) B．−3÷(−C．−(−1)3=313．计算结果等于2的是（）A．|−2| B．−|2| C．2−1 D．14．如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（）A．9 B．−19 C．1915．在平面直角坐标系中，将二次函数y=x−2023x−2024+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则16．如果80m表示向右走80m，那么表示向左走60m.17．计算：（1）−（2）−18．计算：（1）2a+1（2）−119．计算：−2三、拓展题20．根据所学数轴知识，解答下面的问题：（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示.①A点表示的数是；AB之间的距离是；②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是；（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合.①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为cm？②图中点A所表示的数是，点B所表示的数是；（3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为-37，根据琪琪的想法，完成一下问题：①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为▲，②求奶奶现在多少岁了.21．先阅读两则材料，然后解决问题：材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：1+100+令S=1+2+3+⋅⋅⋅+100①，则S=100+99+⋅⋅⋅+3+2+1②，①+②得：即S=100×材料二：对有理数a，b，定义Ga,b的计算方式为：当a≤b时，Ga,b=a−b；当a>b时，Ga,b=a+b【解决问题】（1）填空：G−1,3=______；（2）已知x+y=20，且x>10，求G6,x（3）设代数式M=G1,a+b+G2,a+2b+G3,a+3b22．“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论．（1）【探究】

数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对1+2+3+4+…+n的结果进行探究．具体操作如图：分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下：直观发现：小正方形的数量和依次为1×2，2×3，3×4，4×5，…因此空白部分的小正方形的数量和依次为1×22,请你归纳总结：1+2+3+4+5+…+n=；（2）【迁移】

数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图：

①连续奇数的和

请你归纳总结：1+3+5+7+…+(2n-1)=▲；

②连续偶数的和

请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：2+4+6+8+…+2n=▲；（3）【应用】

利用以上结论，计算(101+103+105+…+199)+(202+204+206+…+300)的值．23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a−b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t>0【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB=，线段AB的中点C表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为；（2）求当t为何值时，PQ=1（3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：|-3.4|=3.4，|+2.2|=2.2，|-0.6|=0.6，|+0.8|=0.8，而0.6<0.8<2.2<3.4，故-0.6g最接近标准质量.故答案为：C.

【分析】分别求出各选项的数，比较大小即知-0.6g最接近准备质量.2．【答案】B【解析】【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0.因此4的相反数是﹣4.故选B.3．【答案】A【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|-1|=1，而2＞1，

∴-2＜-1＜0＜3，

∴在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温为10时的-2℃.故答案为：A.【分析】根据“正数大于零，0大于负数，两个负数，绝对值大的比较小”比较出当天4个时刻气温的大小即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：由数轴可知：−2<a<−1,0<b<1A：a+b<0，故A错误；B：a−b<0，故B错误；C：ab<0，故C错误；D：1<a<2,0<b<1故选：D【分析】根据数轴上点的位置关系可得−2<a<−1,0<b<1，再逐项进行判断即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵x=4，∴x=±4，y=±6，∵x+y>0，∴x=−4,y=6或x=4,y=6∴当x=−4，y=6时，x−y=−4−6=−10，当x=4，y=6时，x−y=4−6=−2，综上，x−y的值为−10或−2．故选：A．【分析】根据绝对值得定义求出x，y的可能得值，结合x+y>0确定x，y的具体取值，分情况计算出x-y的值即可.6．【答案】B【解析】-（-2)=2所以-2的相反数为2故答案选B7．【答案】<【解析】【解答】-2<1，

故答案为：<.

【分析】利用正数大于负数的有理数比较大小的方法分析求解即可.8．【答案】（1）解：16+=16+24+=40+=−20；​​​​​​​（2）解：−=−1×=−1×=7−4=3．【解析】【分析】（1）根据有理数的加减即可求出答案.

（2）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案.（1）16+=40+=−20；（2）−=−1×=7−4=3．9．【答案】（1）解：14+(答：B地在A地的南方，他们相距5千米；（2）解：设这辆汽车平均每千米耗油是x升，由题意得(14+|−6|+9+|−13|+|−9|+15+|−5|+|−10|)x=5.即81x=5.67，解方程得答：这辆汽车平均每千米耗油是0.07升．【解析】【分析】(1)要确定B地相对于A地的位置和距离，需要将当天汽车的行驶记录相加，根据结果的正负判断方向，绝对值表示距离；

(2)要计算平均每千米的耗油量，需要先求出汽车行驶的总路程，再用总耗油量除以总路程.10．【答案】解：∵a，b互为相反数，

∴a+b=0，

∵c和d互为倒数，

∴cd=1，

∵m的绝对值为2，

∴m=2，

∴m2=4，

∴2024a+b2【解析】【分析】先利用定义和性质得出a+b=0，cd=1，m=211．【答案】C【解析】【解答】解：∵|k|=−k(k≠0)

∴-k>0，即k<0

∴故答案为：C【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.12．【答案】B【解析】【解答】解：A、（-5）+（+3）=-2≠（-8），此选项不符合题意；

B、-3÷（−13）=3×3=9，此选项符合题意；

C、-（-1）3=-（-1）=1≠3，此选项不符合题意；

D、-（−56）+故答案为：B.【分析】A、根据有理数的加法法则“绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”计算即可求解；

B、根据除法的意义“除以一个数等于乘以这个数的倒数”可将除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则计算即可求解；

c、根据有理数的乘方法则计算即可求解；

D、根据有理数的加法法则"同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加"计算即可求解.13．【答案】A【解析】【解答】解：A、|-2|=2，故A符合题意；

B、-|2|=-2，故B不符合题意；

C、2−1=12，故C不符合题意；

D、（-2）0=1，故D不符合题意；14．【答案】D【解析】【解答】解：数轴上点A所表示的数为9，而9的相反数为-9.

故答案为：D.

【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点读出点A所表示的数，进而根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案.15．【答案】1【解析】【解答】解：将二次函数y=x−2023y=x−2023令y=x−2023x−2024=0∴x−2023=0或x−2024=0，解得：x=2023或2024，∴PQ=2024−2023=1，故答案为：1．

【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出抛物线的解析式，后令y=0，列求出x值解答即可．16．【答案】-60m【解析】【解答】解：∵80m表示向右走80m，

∴向左走60m可表示为：-60m.故答案为：-60m.【分析】根据相反意义的量的定义“在现实生活中存在着各种各样的量，其中有一种量，他们的属性相同，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作相反意义的量”并结合题意即可求解.17．【答案】（1）解：原式=-1+（-8）×（−12）-6

=-1+4-6（2）解：原式=（−12）×（-36）+34​​​​​​​×（-36）+（−56【解析】【分析】（1）先算有理数的乘方，绝对值，再算乘除，最后算加减即可；（2）根据乘法分配律进行计算即可.（1）解：−=−1−8×=−1+4−6=−3．（2）解：−=−=18−27+30=21．18．【答案】（1）解：2a+1=2a=2a（2）解：−1=1×4−=4+32+6=36+6=42．【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法（先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加）分析求解即可；

（2）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.（1）解：2a+1=2a=2a（2）解：−1=1×4−=4+32+6=36+6=42．19．【答案】解：原式=−8+4−1=−5．【解析】【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算法则，先计算乘方、再计算绝对值，最后进行加减运算，即可得到答案．20．【答案】（1）-2；4；-2（2）8；14；22（3）解：①119；②妙妙和奶奶的年龄差为：[119-（-3）]÷3=52（岁），∴奶奶现在的年龄：119-52=67（岁）【解析】【解答】（1）据数轴知，A表示的数是-2，B表示的数是2，

∴AB=2-(-2)=4，

将点B向左平移4个单位，则2-4=-2，

此时该点表示的数是-2.

故答案为：①-2；4；②-2.

（2）①设点A所表示的数是a，点B所表示的数是b，木棒长为（b-a）cm，

则b+（b-a）=30，6+（b-a）=a，

∴a=14，b=22，

∴x=b-a=8cm，

故答案为：①8；②14；22.

【分析】（1）根据有理数在数轴上的表示方法及数轴相关知识点完成作答.

（2）根据题意列出方程组b+（b−a）=30，6+（b−a）=a，求解得a、b，从而确定木棒的长度.

21．【答案】（1）−4,−1（2）解：∵x+y=20，且x>10，∴y<10，∴G6,x（3）解：∵a∴−a∴G(−a∴a=0，∵线段AB的长为4，∴a−b∴b=±4，当b=4时，M=G(1,4)+G(2,8)+G(3,12)+…+G(199,796)=(1−4)+(2−8)+(3−12)+…+(199−796)=−3+(−6)+(−9)+…+(−597)=−3×1+(−3)×2+(−3)×3+…+(−3)×199=−3×(1+2+3+…+199)=−3×=−59700，当b=−4时，M=G(1,−4)+G(2,−8)+G(3,−12)…+G(199,−796)=1+(−4)+2+(−8)+…+199+(−796)=−3+(−6)+(−9)+…+(−597)=−59700，综上所述，M的值为−59700．【解析】【解答】解：（1）解：G(−1,3)=−1−3=−4，G(2,−3)=2+(−3)=−1，故答案为：−4,−1；【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键；（1）根据题设中新定义的运算法则，直接列出算式，进行计算求值，即可得到答案；（2）根据题意，先判断y的范围，结合题设中新定义，列出算式，进行化简，整体代入求值，即可得到答案；（3）根据非负性，求得−a2+1≤1，结合新定义，得到G(−（1）解：G(−1,3)=−1−3=−4，G(2,−3)=2+(−3)=−1，故答案为：−4,−1；（2）解：∵x+y=20，且x>10，∴y<10，∴G6,x（3）解：∵a∴−a∴G(−a∴a=0，∵线段AB的长为4，∴a−b∴b=±4，当b=4时，M=G(1,4)+G(2,8)+G(3,12)+…+G(199,796)=(1−4)+(2−8)+(3−12)+…+(199−796)=−3+(−6)+(−9)+…+(−597)=−3×1+(−3)×2+(−3)×3+…+(−3)×199=−3×(1+2+3+…+199)=−3×=−59700，当b=−4时，M=G(1,−4)+G(2,−8)+G(3,−12)…+G(199,−796)=1+(−4)+2+(−8)+…+199+(−796)=−3+(−6)+(−9)+…+(−597)=−59700，综上所述，M的值为−59700．22．【答案】（1）n(n+1)（2）①n2

②如图：

n(n+1)（3）解：(101+103+105+…+199)+(202+204+206+…+300)==10000−2500−10100+22650=20050．【解析】【解答】解：（1）由题意得1+2+3+4+⋯+n=n(n+1)故答案为：n(n+1)2（2）①由图片知：第1个图案所代表的算式为：1=1第2个图案所代表的算式为：1+3=4=2第3个图案所代表的算式为：1+3+5=9=3第4个图案所代表的算式为：1+3+5+7=16=4⋯；∴第n个图案所代表的算式为：1+3+5+…+(2n−1)=n故答案为：n2②第④个图，如图：由图片知：第1个图案所代表的算式为：2=1×2，第2个图案所代表的算式为：2+4=6=2×3；第3个图案所代表的算式为：2+4+6=12=3×4；第4个图案所代表的算式为：2+4+6+8=20=4×5；⋯；∴第n个图案所代表的算式为：2+4+6+8+…+2n=n(n+1)；故答案为：n(n+1)；【分析】本题考查图形变化与数字规律的归纳，以及利用规律进行有理数混合运算，核心是“数形结合”和“归纳推理”思想。

(1)根据图形组成的新正方形数量与空白部分小正方形数量的关系，空白部分数量即为连续自然数的和，归纳出1+2+...+n的规律；

(2)①观察连续奇数和的图形，发现图形是边长为项数的正方形，正方形面积即为奇数和，归纳出规律；

②先根据前面的图形规律画出第④个图，再观察连续偶数和的结果与项数的关系，归纳出规律；23．【答案】（1）10；3；−2+3t；8−2t（2）解：∵t秒后，点P表示的数−2+3t，点Q表示的数为8−2t，∴PQ=(−2+3t)−(8−2t)=5t−10，

又∵PQ=12AB=12×10=5，

∴5t−10=5，

（3）解