9.分式方程-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页分式方程——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．对于实数a,b定义运算“※”如下：a∗b=a−1b，如3∗2=3−1A．-4 B．-11 C．11 D．无法确定2．某社区组织居民种树共60棵，由于大家积极参加，实际参加植树活动的人数是原计划的2倍，结果每人比原计划少种了3棵树，设原计划有x人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程（）A．60x−60C．60x=2×603．已知关于x的方程ax−2A．a≤−2 B．a≤−2且a≠−4C．a≥−2 D．a≥−2且a≠04．如果关于x的方程4xx−2−1=kA．-10 B．-8 C．-6 D．-45．分式方程x−2025A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝2025 D．x＝﹣20256．若关于x的方程2+xx−3=1−m7．（1）计算：(−2025（2）在解分式方程1−xx−3第一步：方程两边都乘x−3，得1−x=−2−2．第二步：解这个方程，得x=5．第三步：经检验，x=5为原方程的解．①在上述解方程过程中，从第▲步开始错误；②错误的原因是▲．8．解下列方程（组）：（1）5x+4y=−155x−3y=6（2）2x−29．王老师准备购买A、B两种型号的圆珠笔.已知A型圆珠笔单价是B型圆珠笔单价的1.5倍.用60元钱单独购买B型圆珠笔可比单独购买A型圆珠笔多买5支.（1）求A、B两种型号的圆珠笔单价各是多少；（2）王老师想购买A、B两种型号的圆珠笔共计15支，要求A、B两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过80元.求A型圆珠笔最多可购买多少支？二、能力题10．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．120x=150C．120x−10=15011．若分式2m3m+2A．m≠0 B．m>−C．m≠−23 D．12．若关于x的方程xx−5=3+m5−x13．若数a使关于x的不等式组x−12<1+x35x−2≥x+a有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+a14．若关于x的分式方程mx−2+1=315．若关于x的方程m−1x−1−x16．解方程：x17．解分式方程：（1）3x−1（2）x2x−318．某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB数据？（备注：GB为数据的存储单位）19．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的20．为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，祁东县某中学每年冬季都会举办全体师生冬季长跑活动．为激励学生积极参与，学校用8000元购买A，B两种体育器材共150件作为奖品．已知一件B种器材价格是一件A种器材价格的2倍，且购买A种器材与购买B种器材的费用相同．（1）求购买一件A种器材和一件B种器材各需多少元?（2）若学校还需购买A，B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的3倍，问至少要花多少元?三、拓展题21．导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线：信息一路线路线①：坪盐通道-惠深沿海高速路线②：南坪快速-龙岗大道信息一距离39千米42千米信息二大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的1312信息三非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟.⑴任务一求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时.⑵任务二某旅游公司要在早上7：55前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴车的出发时间不能晚于什么时间?22．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：xx2+1解：∵xx2+1∴x+1x=4材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z解：令2x=3y=4z=kk≠0则x=k2，y=k根据材料回答问题：（1）已知xx2−x+1（2）已知a5=b（3）解关于x，y的方程组xy2x+3y

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵m−2※m+4=2，

∴(m−2)−1m+4=2，

解得m=-11，

经检验知m=-11为方程的根.

故答案为：B.

2．【答案】A【解析】【解答】解：由题意原计划有x人参加活动，则实际参加活动的人数为2x人，计划每人种树为60x，实际每人种树为602x，由此得故答案为：A.

【分析】结合题意知实际参加活动人数为2x，分别表示每人种植的棵数，即可列出分式方程.3．【答案】D【解析】【解答】解：ax−2−1=0

去分母可得：a-x+2=0

整理得：x=a+2

∵方程的解为非负数

∴a+2≥0，且a≠0

解得：a≥−2故答案为：D【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】

解：方程两边同乘(x−2)，得：4x−(x−2)=-k，化简：4x-x+2=-k，

解得：x=−k−23，

∵方程4xx−2−1=k2−x有增根，

∴x=2，

∴−k−2

【分析】增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零；因此先去分母解分式方程得x=−k−235．【答案】C【解析】【解答】解：将分式方程x−2025x+3=0＝0的两边都乘以x＋3，

得：x−2025＝0，故答案为：C．【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.6．【答案】6【解析】【解答】解：∵关于x的方程2+xx−3=1−m3−x无实数解，

∴x−3=0即x=3.

将原方程变形得：

2+xx−3=m−1x−3，

方程两边两边都乘以(x−3)得：

2+x=m−1

解得：故答案为：6.【分析】根据关于x的方程2+xx−3=1−m3−x无实数解得x=3，解方程2+xx−3=1−m7．【答案】（1）解：原式=1−2（2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了x−3【解析】【解答】（2）1−xx−3=23−x−2

第二步：去括号，得1−x=−2−2x+6；第三步：移项，得2x−x=−2+6−1；

第四步：合并同类项，得x=3；

第五步：检验，将x=3代入原分式方程，发现原方程的分母为0，因此x=3是原分式方程的增根。因此，在上述解方程过程中，从第一步开始错误；错误的原因是方程右边的-2这一项漏乘了x−3．

故答案为：（2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了x−3。

【分析】本题主要考查零次幂运算、绝对值的非负性、三角函数值以及解分式方程的步骤等知识。

（1）分别计算出零次幂、去掉绝对值和余弦值，然后进行计算即可；

（2）解分式方程，要严格按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”进行解方程，求出的结果要进行检验，以免产生增根。8．【答案】（1）解：5x+4y=−15①①-②，得7y=-21，解得y=-3，把y=-3代入②，得x=-35所以方程组的解是x=−3（2）解：原方程去分母得：2x+4-4x=0，

解得：x=2，

经检验x=2是分式方程的增根，舍去，

故原分式方程无解.【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；

（2）将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.9．【答案】（1）设B型圆珠笔单价为x元/支，则A型圆珠笔单价为1.5x元/支根据题意可得：60解得：x=4经检验：x=4是原方程的解.（2）解：设A型圆珠笔购买a支，则B型圆珠笔可购买(15-a)支根据题意可得：6a+4解得：a≤10答：A型圆珠笔最多可购买10支.【解析】【分析】（1）设B型圆珠笔单价为x元/支，则A型圆珠笔单价为1.5x元/支，根据用60元钱单独购买B型圆珠笔可比单独购买A型圆珠笔多买5支。可得出方程：60x−601.5x=510．【答案】C【解析】【解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做x−10个零件，由题意，得120x−10故选C．【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做x−10个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，建立方程即可求出答案.11．【答案】C【解析】【解答】解：∵分式2m3m+2有意义，

∴3m+2≠0，

∴m≠故答案为：C.【分析】根据分式有意义的条件可得出3m+2≠0，进而得出m≠−212．【答案】-5【解析】【解答】解：分式方程去分母得：x＝3x−15−m，

由分式方程有增根，得到x−5＝0，即x＝5，

把x＝5代入整式方程得：m＝−5，

故答案为：−5．

【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−5＝0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．13．【答案】−1，0，2【解析】【解答】解：x−12解不等式①得：x<5；解不等式②得：x≥∴不等式组的解集为a+24∵不等式有且只有四个整数解，∴0<a+24≤1解分式方程得：y=2−a；∵方程的解为非负数，且2−a≠1∴2−a≥0；即a≤2且a≠1；综上可知，−2<a≤2且a≠1，∵a是整数，∴a=−1，0，2．故答案为：-1，0，2．

【分析】先将a作为参数解不等式组，用含a的式子表示出不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围；再将a作为参数解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解为非负数列出关于字母a的不等式组，求出a的取值范围，综上确定符合题意的整数a的值即可．14．【答案】m<5且m≠3【解析】【解答】解：mx−2去分母得：m+x−2=3，移项，合并同类项得：x=5−m，∵分式方程的根是正数，∴x=5−m>0，解得：m<5，∵x−2≠0，即x≠2，∴5−m≠2，解得：m≠3，∴m<5且m≠3．故答案为：m<5且m≠3．【分析】去分母转换为整式方程，解方程可得x=5−m，再根据分式方程的根是正数，建立不等式，解不等式，结合方式有意义的条件即可求出答案.15．【答案】2【解析】【解答】解：去分母得，m-1-x=0.∵方程有增根，∴x=1，∴m-1-1=0，∴m=2.16．【答案】解：去分母得x−2(x−3)=−3

x-2x+6=-3

-x=-3-6

-x=-9

x=9

经检验x=9为方程的解.

【解析】【分析】先去分母后转化为整式方程，求解整式方程再检验即可得结果.17．【答案】（1）解：两边同时乘xx−1，得3x=4去括号，得3x=4x−4，移项、合并同类项，得−x=−4，系数化为1，得x=4，经检验，x=4是分式方程的解．​​​​（2）解：两边同时乘2x−3，得x−5=42x−3去括号，得x−5=8x−12，移项、合并同类项，得−7x=−7，系数化为1，得x=1，经检验，x=1是分式方程的解．​​​​​【解析】【分析】（1）先去分母，再根据解分式方程的步骤解方程求解即可；

（2）先去分母，再根据解分式方程的步骤解方程求解即可.（1）解：3x−1两边同时乘xx−1，得3x=4去括号，得3x=4x−4，移项、合并同类项，得−x=−4，系数化为1，得x=4，经检验，x=4是分式方程的解．（2）解：x2x−3两边同时乘2x−3，得x−5=42x−3去括号，得x−5=8x−12，移项、合并同类项，得−7x=−7，系数化为1，得x=1，经检验，x=1是分式方程的解．18．【答案】解：设模型A每小时处理xGB数据，则模型B每小时处理(x+10)GB数据，

300x+10=200x

交叉相乘得：

300x=200(x+10)

展开并整理：

300x=200x+2000

100x=2000

解得：x=20

经检验：x=20是原方程的解，【解析】【分析】设模型A每小时处理xGB数据，则模型B每小时处理(x+10)GB数据，根据题意：模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，列式计算即可解答.19．【答案】解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为由题意，得：360x+54解得：x=90，经检验得：x=90是这个分式方程的解．∴x+54=144．答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为【解析】【分析】根据时间=路程÷速度，列分式方程，解分式方程即可得x的值，根据分式有意义的条件，分母不为0进行验证可得x的值，进而可得动车的速度.20．【答案】（1）解：设购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要2x元，根据题意得：80002解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，∴2x=2×40=80．答：购买一件A种器材需要40元，购买一件B种器材需要80元；（2）解：设学校还需购买m件A种器材，则还需购买100−m件，根据题意得：m≤3100−m解得：m≤75．设学校再次购买两种器材共花费w元，则w=40m+80100−m即w=−40m+8000，∵−30<0，∴w随m的增大而减小，又m≤75，且m为正整数，∴当m=75时，w取得最小值，最小值=−40×75+8000=5000．答：至少要花5000元钱．【解析】【分析】（1）设购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要2x元，利用数量=总价÷单价，结合学校用8000元购买了A、B两种体育器材共150件，可列出关于x的分式方程，解方程即可求出答案.（2）设学校还需购买m件A种器材，则还需购买100−m件，根据再次购买的A种器材的数量不多于B种器材数量的3倍，可列出关于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范围，设学校再次购买两种器材共花费w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.（1）解：设购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要2x元，根据题意得：80002解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，∴2x=2×40=80．答：购买一件A种器材需要40元，购买一件B种器材需要80元；（2）设学校还需购买m件A种器材，则还需购买100−m件，根据题意得：m≤3100−m解得：m≤75．设学校再次购买两种器材共花费w元，则w=40m+80100−m即w=−40m+8000，∵−30<0，∴w随m的增大而减小，又m≤75，且m为正整数，∴当m=75时，w取得最小值，最小值=−40×75+8000=5000．答：至少