15.三角函数-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页三角函数——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB=500m，则这名滑雪运动员水平方向BC滑行了多少米（）​​A．500sinα m B．500cosα m C．2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（）A．∠DAC>∠EBA B．∠DAC<∠EBAC．∠DAC=∠EBA D．∠DAC+∠EBA=60°3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BACA．43 B．34 C．354．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13，BC=5，则sinA=（）A．15 B．112 C．1135．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，则sinB=A．710 B．37 C．3106．如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC=α，AC=5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（）米．A．5tanα+5 B．5tanα+5 7．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是m（结果保留根号）8．如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB=53。时，他才能开门，那么BD长为.（参考数据：sin53。≈0.8，cos53。≈0.6，tan53。≈1.33，保留1位小数）9．计算：−310．计算：(π−3)011．计算：8−2sin45°+12．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2.2m，CF=1.1m，∠DPE=16°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为73°时，要使遮阳效果最佳，求AP的长．（结果精确到0.1m；参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，sin73°≈0.96二、能力题13．如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF，BG，AB＝4CE＝4，则tan∠FBG＝（）A．55 B．12 C．214．如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN=其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P.若BP=BC，则tan∠CBGA．2−1 B．2−2 C．2216．如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CGA．2 B．2 C．2+1 D．17．四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO=2DO，已知AB=4，AD=2，tan∠ACD=35，则AC18．如图，网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中ΔBMN的面积为3，则sin∠MNB的值为19．如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点（点E与点B不重合），AB=6，AD=8，将△ABE沿AE对折得到△AFE，其中点F落在矩形内部.若点F到边AD和BC的距离相等，则sin∠BAE=.20．现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°．（1）填空：∠1＝°，∠2＝°；（2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80）21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB，点B,F在线段AC上，点C在DE上，支撑点F到箱底C的距离FC=32cm,CE:CD=1:5,DF⊥AC于点F,∠DCF=50°，请根据以上信息，解决下列问题：（1）求水平滑杆DE的长度；（2）求拉杆端点A到水平滑杆DE的距离h的值（结果保留到1cm）．（参考数据：sin50°≈0.77,三、拓展题22．如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量.为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°，测得B点的俯角为43°.（1）【问题解决】请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）；（参考数据：sin3（2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度.（可提供的测量工具：皮尺、测角仪.）23．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：【制作仪器】把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．【测量高度】小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为37°，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离地面点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）24．综合与实践【阅读材料】如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).测量过程：步骤1：如图2，在空旷地找一点C：步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m.（1）【问题解决】请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ.B两岛间的距离.(参考数据：sin（2）【评价反思】设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如图，由题意可得：∠ACB=90°，∴cosα=∴BC=500cos这名滑雪运动员水平方向BC滑行了500cos故答案为：B【分析】根据锐角三角函数中余弦的定义，cosα=2．【答案】C【解析】【解答】解：根据SAS，结合网格可得出△ADG~△BEH，进而得出∠DAC=∠EBA，且∠DAC=∠EBA≠30°，所以A，B，D不正确，C正确；

故答案为：C.

【分析】首先结合网格，根据相似三角形的判定，可得出△ADG~△BEH，即可得出∠DAC=∠EBA，且根据直角三角形边长之比可得出∠DAC=∠EBA≠30°，即可得出答案。3．【答案】D【解析】【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC=A∴sin故答案为：D【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理可得AC=5，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，

∴sin故答案为：D.

【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3

∴sin故答案为：B【分析】根据正弦定义即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=ACtanα=5tanα(米)，

∵∠BAC=α，AC=5米，

∴地毯的长度为BC+AC=(5tana+5)米.故答案为：B.

【分析】根据正切的定义得到：BC=ACtanα=5tanα；由地毯的长度为AC+BC的长代入数据即可解答.7．【答案】40【解析】【解答】由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m，又∵∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA=tan30°=CDAD解得：CD=403（m），故答案为：403．【分析】在Rt△ABD中，可得AD=AB=120m；在Rt△ADC中，由tan∠CDA=tan30°=CDAD8．【答案】1.2【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，

由题意易知四边形CDBE是矩形，

∴CD=BE=1.8m，BD=CE，

∴AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9m，

在Rt△ACE中，

∵tanA=CEAE

∴CE=tanA·AE≈1.33×0.9=1.197≈1.2(m)，

故答案为：1.2m.

【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论.9．【答案】解：原式=3+33+2−2×1【解析】【分析】根据绝对值性质，二次根式性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.10．【答案】解：原式=1+2+5+2×=8+=8−【解析】【分析】首先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质，算术平方根的性质以及45°角的正弦值进行化简，然后再合并同类二次根式即可求出答案。11．【答案】解：原式==2=22【解析】【分析】根据二次根式性质，特殊角的三角函数值，0指数幂，绝对值性质，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.12．【答案】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，

∵当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，

∴∠BEP=90°，∠A=90°，

∵∠B=73°，

∴∠EPA=360°−90°−90°−73°=107°，

∵∠DPE=16°，

∴∠APD=107°+16°=123°，

∴∠CPF=180°−123°=57°，

∵F为PD的中点，PD=2.2，

∴DF=PF=12PD=1.1，

∵CF=1.1，

∴CF=PF，

∵FG⊥AC，

∴CP=2PG=2×PF⋅cos57°≈2×1.1×0.54=1.188，

∴AP=AC−PC=2.8−1.188≈1.6，

∴AP的长约为【解析】【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可得∠BEP=90°，∠A=90°，从而得∠EPA=107°，进而得∠APD=123°，于是得出∠CPF=57°，然后求出CF=PF，根据等腰三角形“三线合一”的性质，解直角三角形求出CP=2PG的值，最后可得AP的长．13．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4CE=4，

∴AB=BC=CD=AD=4，AD∥AE，∠D=∠BCF=∠DCE=90°，CE=1，

∴BE=BC+CE=5，

∵点F是CD的中点，

∴CF=DF=2，

∴在△FCE和△FDG中，

∠D=∠DCECF=DF∠CFE=∠DFG，

∴△FCE≌△FDG（ASA），

∴DG=CE=1，

∴AG=AD-DG=3，

∴在Rt△ACF中，由勾股定理可得，BF=BC2+CF2=42+22=25，

在Rt△FDG中，由勾股定理可得，GF=DG2+DF2=12+22=5，

在Rt△ABG中，由勾股定理可得，BG=AB2+AG214．【答案】B【解析】【解答】解：结论①：由作图知AM=AN，但MN与AM长度不一定相等，故△AMN是等腰三角形，非等边三角形，①错误；结论②：因为AM=AN，PM=PN，根据“到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，A、P都在MN的垂直平分线上，故AP垂直平分MN，②正确；结论③：由PM=PN，AP垂直平分MN，根据等腰三角形“三线合一”，PA平分∠MPN，③正确；结论④：AM=AN（A为圆心的弧），但AM与PM长度不一定相等，故四边形AMPN四条边不全相等，不是菱形，④错误；结论⑤：由PM=PN=MN，得△MPN是等边三角形，∠MPN=60°，故cos∠MPN=12，⑤故答案为：B.【分析】根据作图得到的线段相等关系，结合垂直平分线判定、等腰（等边）三角形性质、菱形判定、三角函数值，逐一判断每个结论的正确性即可.15．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，

∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，

∵BP=BC，BG⊥PC，

∴CG=GP=b.

∴HP=a-2b.

∵DE//BG，

∴DHBG=HPPG，

∴ba=a−2bb，

∴b2+2ab-a2=0，

∴ba2故答案为：A.【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.16．【答案】B【解析】【解答】解：过点G作GH⊥BC于点H

∵四边形ABCD是正方形

∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC=90°

∠DBC=∠BDC=45°，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD

由折叠可得BC=BF，CE=EF

∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE

∴∠DEF=∠FDE=45°

∵DE=22

∴DF=EF=DE·sin45°=2

∴CD=BC=22+2=BF

∴AC=BD=BF+DF=22+4

∴OB=12BD=2+2

∵∠FBE=∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD

∴OG=HG

∵BG=BG

∴Rt△OBG≌Rt△HBC

故答案为：C【分析】过点G作GH⊥BC于点H，根据折叠性质可得BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，则∠DEF=∠FDE=45°，解直角三角形可得DF，根据边之间的关系可得CD=BC=22+2=BF，AC=BD=BF+DF=22+4，求出OB，再根据全等三角形判定定理可得Rt△OBG≌Rt△HBC，则17．【答案】8【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，

∴∠DEO=∠BFO=90°，

∵∠DOE=∠BOF，

∴△DOE∽△BOF，

∴DOBO=DEBF=EOFO=12

∴OF=2OE，

设OE=x，则OF=2x，EF=OE+OF=3x，

∵AB=4，AD=2，

∴ADAB=24=12

∴ADAB=DEBF

∴Rt△AED∽Rt△ABF，

∴AEAF=ADAB=12.

∴AF=2AE，

∴AE=EF=3x，

∴AO=3x+x=4x，

∵点O是AC的中点，

∴CO=AO=4x，则CE=4x+x=5x，

在Rt△CDE中，tan18．【答案】6【解析】【解答】解：如图，在图中标注C，D，

设NC=x，

∵AD//NB

∴∠MAD=∠ANC，

∵∠MDA=∠ACN，

∴△ANC∽△MAD

∵AC=AD=1

∴MD=1x

∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1，

∴S△AMD+S△ANC=3-1=2，

∴12×MD×AD+12×NC×AC=2，

即12×1x×1+12x×1=2

∴x+1x=4

解得x1=2+3，x2=2−3(舍去)，

∵AN2=AC2+NC2

=1+4+43+3

=8+4319．【答案】1【解析】【解答】解：如图：

根据题意将图形补充完整，则有△ABE≌△AFE，KF=PF，KP⊥AD.

∴∠BAE=∠FAE，AB=AF=6，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠KAB=∠B=90°，

又∵∠BPK=∠PKA=90°，

∴四边形ABPK是矩形，

∴AB=KP=6=AF.

∴KF=0.5KP=3.

∴Rt△AKF中，sin∠KAF=KFAF=12，

∴∠KAF=30°.

∴∠BAE=1290°−∠KAF=30°.

∴sin∠BAE=12.

故答案为：120．【答案】（1）64；53（2）解：∵∠2＝53°，∠EHD＝90°，∴∠HED＝37°，∵在Rt△EDH中，DE＝30cm，cos∠HED=EH∴EH＝DE•cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm），∵EM＝50cm∴MH＝EM+EH＝74（cm），∴AG＝MH＝74cm，∵AC＝AB+BC＝12+26＝38（cm），∴CG＝AG﹣AC＝36（cm），∵在Rt△CGD中，∠GCD＝90°﹣∠1＝26°，cos∠GCD=CG∴CD=CG答：此时伸缩杆CD的长度约为40cm．【解析】【解答】解：（1）如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点，

∴∠CGD＝90°，∠EHD＝90°，

∵∠BCD＝154°，

∴∠1＝∠BCD−∠CGD＝154°−90°＝64°，

∵∠CDE＝63°，

∴∠2＝180°−∠1−∠CDE＝180°−64°−63°＝53°，

故答案为：64，53.

【分析】（1）延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点，先结合图形并利用角的运算求出∠1＝∠BCD−∠CGD＝154°−90°＝64°，再利用平角求出∠2的度数即可；

（2）先利用解直角三角形的方法求出EH的长，再利用线段的和差求出CG的长，再结合cos∠GCD=CGCD21．【答案】解：（1）∵DF⊥AC于点F, ∠DCF=50°，∴在Rt△CDF中，cos50°=∴CD=CF∵CE:CD=1:5

∴DE=60cm（2）如图，过点A作AG⊥ED，交ED延长线于点G，

∵DE=BC=AB, DE=60cm

∴AC=120cm在Rt△ACG中，sin∠DCF=∴h=AG=AC⋅sin【解析】【分析】（1）解直角三角形即可求出答案.

（2）过点A作AG⊥ED，交ED延长线于点G，根据边之间的关系可得AC，解直角三角形即