20.特殊三角形-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页特殊三角形——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，添加下列条件后仍不能使△ABC成为直角三角形的是（）A．∠1=∠A B．CDC．BC∶AC∶AB=3∶4∶5 D．∠B+∠2=90°2．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，连接EB、EC，若∠EBC=45°,BC=6，则ED等于（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在▱ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点A．5 B．4 C．3 D．24．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,BC>AC，按以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）；（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；（3）用圆规在射线OM上截取OE=OD．连接AD，AE，BE，过点O作（1）CD=2GF；（2）BD2−CD2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如果一梯子底端离建筑物9m远，那么15m长的梯子可到达建筑物的高度是m．6．等腰三角形有一个角的度数为50°，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是．7．等腰三角形有两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长为.8．某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB=AC=8m，则DE的长为m.9．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证：（1）△ABE≌△DCE；（2）∠EAD＝∠EDA．10．如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=70∘，求二、能力题11．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，23），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（）A．（﹣3，3） B．（−3，3） C．（−3，2） D．（﹣2，12．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（）A．35 B．2 C．210 D．4213．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点O，则ODOCA．34 B．35 C．4514．七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE．若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°15．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：A→C→B，路程为l甲乙：A→D→E→F→B，路程为l乙丙：A→G→H→B，路程为l丙下列关系正确的是（）A．l甲>lC．l甲>l16．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE//DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是.17．如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处.B'C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm，则AD=cm18．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠BAC=150°，AB=20m，AC=30m，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要元．（用含a的代数式表示）19．已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q．若∠FQP＝45°，则EF的长为．20．如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将△EDC沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG.（1）求证：△ADC≅△FDC；（2）若AB=2521．一只蚂蚁沿图中所示的折线由点A处爬到了点D处，它一共爬行了多少厘米(图中小方格的边长代表1cm)?22．某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为30°，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为75°，A、B与电塔底部C在同一直线上．（1）求点B到AD的距离；（2）求高压电塔CD的高度（结果保留根号）．三、拓展题23．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=BCA．32 B．22 C．124．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30cm，则这个“莱洛三角形”的周长是cm．（结果保留π）25．综合与实践小明同学用一副三角板进行自主探究.如图，△ABC中，ACB=90∘（1）【观察感知】如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长.（结果保留根号）（2）【探索发现】在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图②）.①求线段AD的长；（结果保留根号）②判断AB与DE的位置关系，并说明理由.26．定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：①如图1，△ABC，△ADE都是等边三角形，则△ABC△ADE的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）；②如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，∠B=100°，∠E=30°，则∠DAE=°；③如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，若AB=4，AD=6，AE=15，则AC=，若连接BD,CE，则BDCE=（2）知识运用：如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AE⊥BD于E，∠DAC=∠DBC，求证：△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC=6,AD=22，求DE和BD

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠A+∠2=90°，

又∵∠A=∠1，

∴∠1+∠2=90°，即∠ACB=90°，

∴△ABC为直角三角形，故选项A不符合题意；B、∵CDAD=BDCD，∠BDC=∠ADC=90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴∠A=∠1，

∵∠A+∠2=90°，

∴∠1+∠2=90°，即∠ACB=90°，C、∵BC∶AC∶AB=3∶4∶5，

∴BC2+AC2=ABD、∵∠B+∠2=90°，∠A+∠2=90°，

∴∠A=∠B，只能说明△ABC为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D符合题意．故答案为：D.

【分析】由垂直的定义可得∠ADC=∠BDC=90°，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠BAC=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断A选项；由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△ADC∽△CDB，由相似三角形对应角相等得出∠A=∠1，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠BAC=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断B选项；根据勾股定理的逆定理可判断出∠ACB=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断C选项；由同角的余角相等推出∠A=∠B，只能说明△ABC为等腰三角形，无法说明是直角三角形，据此可判断D选项.2．【答案】A【解析】【解答】解：在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BC=6，∴BD=CD=3，∠BDE=90°，∵∠EBC=45°，∴∠BED=∠EBC=45°，∴DE=DB=3，故选：A【分析】先由等腰三角形三线合一知BD＝CD＝3、CE＝BE，再由等边对等角结合三角形的内角和可得△BEC是等腰直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可．3．【答案】D【解析】【解答】解：因为以A为圆心，AB长为半径作弧交BC于E，所以AB=AE=3，

又因为∠ABC=60∘，所以△ABE是等边三角形，BE=AB=3，

已知BC=5，

故答案为：D.【分析】根据作图可知AB=AE，结合∠ABC=60∘判定△ABE为等边三角形，求出BE长度，再用BC−BE4．【答案】（1）D【解析】【解答】解：由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，

∴点0是线段AB的中点，AB⊥DE．

∵∠ACB=90°,OF⊥AC

∴OF//BC又∵0D=0E

∴四边形ADBE是菱形．

在Rt△AOD中，OG=12AD

∴BD2−CD2=AD2−CD2=AC2。故（2）正确；

S△BOE=S△AOD=2S△AOG．故（3）正确；

∵OF+OA=9

∴BC+AB=18

∵AB∴四边形ADBE的周长为25．故（4）正确．

故选D【分析】由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得点0是线段AB的中点，AB⊥DE，再根据直线平行判定定理可得∴OF//BC，再根据三角中位线定理可判断（1）；根据菱形判定定理可得四边形ADBE是菱形，根据直角三角形斜边上的中线等斜边的一半可得OG=12AD5．【答案】12【解析】【解答】解∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，∴另一直角边长=152故梯子可到达建筑物的高度是12m．故答案是：12．【分析】以梯子的长度为斜边，地面与墙分别两直角边构造直角三角形，再用勾股定理求解即可．6．【答案】10°或40°【解析】【解答】

解：当50°的角为顶角时，如下图，

∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为∠ABE=90°−∠A=40°，

当50°的角为底角时，则：顶角∠A=180°−2×50°=80°，

∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为∠ABD=90°−80°=10°；

故答案为：10°或40°．

【分析】可分为两种情况：当50°的角为顶角时，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案为40°；当50°的角为底角时首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可得出∠A=80°，进而根据直角三角形两锐角互余即可得出答案为10°。7．【答案】15【解析】【解答】解：当3为腰长时

∵3+3=6

∴不能构成三角形

当6为腰长时

等腰三角形周长为：6+6+3=15

故答案为：15

【分析】根据等腰三角形性质及三角形三边关系分情况讨论，即可求出答案.8．【答案】4【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵E是AB的中点，∴DE=0.5AB=4，

故答案为：4.【分析】

由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算.9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△DCE中，AB=DC∠B=∠C∴△ABE≌△DCE（SAS）（2）证明：由（1）得△ABE≌△DCE，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得AB=DC，∠B=∠C=90°，然后用中点的定义得BE=CE，接下来根据全等三角形判定定理“SAS”即可得证△ABE≌△DCE；

（2）根据全等三角形对应边相等得AE=DE，从而根据等腰三角形“等边对等角”得证∠EAD＝∠EDA．10．【答案】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠1=∠2，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠1=1∵∠C=70∘，∴∠DAC=180°−∠ADC−∠C=180°−90°−70°=20°，∴∠BAC=∠DAC+∠1=20°+45°=65°．【解析】【分析】根据题意先求出∠ADB=∠ADC=90°，再根据三角形的内角和定理求出∠1=111．【答案】A【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示：

∵点A（1，0），C（1，23），

∴

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=23，

∵BD⊥AC，

∴AD=CD=3，点D（1，3）

∴BD=3，

∴点B（-2，3），

∴将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（-3，3），

故答案为：A.

【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，由A、C的坐标可知AC⊥x轴，AC∥y轴，由等边三角形的性质可得点B（-2，3），再根据坐标系中图形平移的规律即可得出答案.12．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，点E是BC的中点，∴CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C=90°，∴BE=CE=由折叠得AF=AB，FE=BE=3，∠AFE=∠B=90°，∴AF=AD，∠AFG=∠D=90°，在Rt△AFG和Rt△ADG中，AG=AG∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)，∴FG=DG，∵CE∴32+6−DG2【分析】由正方形的性质得CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C=90°，则.BE=CE=113．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝5，D为BC的中点，BC＝6，

∴AD⊥BC，CD=BD=12BC=3，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=∠ADC=90°，

∴∠EAD+∠AOE=90°，∠COD+∠OCD=90°，

∵∠AOE=∠COD，

∴∠EAD=∠OCD，

∴△ADB∽△CDO，

∴OD故答案为：B.

【分析】先利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD=3，然后根据垂直定义可得∠AEC=∠ADC=90°，再根据对顶角相等可得∠AOE=∠COD，从而可得∠EAD=∠OCD，进而可得△ADB∽△CDO，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.14．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

∵△DEF和△DCH都是等腰直角三角形，∠F=∠DHC=90°，∴DF=EF，DH=CH，∴∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，∵AB∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∴∠1+∠HDC=∠2+∠FDE，∵∠1=20°，∴20°+45°=∠2+45°，∴∠2=20°，故选：B．

【分析】由等腰直角三角形的性质得∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，根据平行得∠ACD=∠CDE，即可得到∠2=20°解答即可．15．【答案】D【解析】【解答】解：设AB=a

在图甲中

∵∠A=∠B=60°

∴△ABC为等边三角形

∴AC=BC=AB=a

∴甲行走的路程l甲=AC+BC=2a

在图乙中

AE+BE=AB=a

∵∴△DAE和△FEB都是等边三角形

∴AD=DE=AE，DF=FB=EB

∴乙行走的路程l乙=AD+DE+DF+FB=2(AE+BE)=2a

在图丙中

延长AG，BH交于点P

∵∠A=∠B=60°

∴AP=AB=a

∵GH<PG+PH

∴AG+GH+HB<AG+GH+PG+PH=PA+PB=2a

∴丙行走的路程为l丙=AG+GH+HB<2a

∴故答案为：D【分析】设AB=a，分别在三个图中，结合三角形判定定理及性质，三角三边关系求出三人行走的路线，再比较大小即可求出答案.16．【答案】BE=BC【解析】【解答】解：要使△BCE成为等边三角形，可以添加BE=BC，

理由：∵CE∥DA，

∴∠A=∠BEC，

∵BE=BC，

∴∠BEC=∠BCE，

∵∠A=∠B，

∴∠B=∠BEC=∠BCE，

∴△BEC是等边三角形.故答案为：BE=BC.【分析】利用平行线的性质和等边对等角可证得∠A=∠BEC=∠BCE，结合已知条件可推出∠B=∠BEC=∠BCE，由此可证得结论.17．【答案】12【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，△CDE为等边三角形，AB=6，

∴CD=AB=6，∠B=∠D=60°，AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

∵把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，

∴∠BAC=∠B'AC，

∵∠BAC+∠B'AC=180°，

∴∠BAC=∠B'AC=∠ACD=90°，

∴∠DAC=90°−∠D=30°，

∴AD=2CD=12，

故答案为：12.

【分析】根据平行四边形以及等边三角形的性质得CD=AB=6，∠B=∠D=60°，AB∥CD，从而得∠ACD=∠BAC，由折叠的性质求出∠BAC=∠B'AC=∠ACD=90°，进而得∠DAC=30°，最后利用含30°的直角三角形的性质求出AD的值.18．【答案】150a【解析】【解答】解：如图，作BD⊥AC的延长线于D，∴∠BCD=180°−150°=30°，∴BD=1∴购买这种草皮至少需要12故填：150a．

【分析】如图，作BD⊥AC的延长线于D，则∠BCD=30°，BD=12BC=1519．【答案】25【解析】【解答】解：在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4

在△ABM和△MCP中

AB=MC∠B=∠CBM=PC

∴△ABM≌△MCP(SAS)

∴∠BAM=∠CMP，AM=MP

∴∠AMP=90°

∴△AMP是等腰直角三角形

∴∠MAP=45°

∵∠FQP=45°

∴∠MAP=∠FQP

∴AM∥EF

∵AE∥MF

∴四边形AEFM是平行四边形

∴EF=AM

∴故答案为：25【分析】在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4，根据全等三角形判定定理可得△ABM≌△MCP(SAS)，则∠BAM=∠CMP，AM=MP，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AMP是等腰直角三角形，则∠MAP=45°，根据直线平行判定定理可得AM∥EF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AEFM是平行四边形，则EF=AM，再根据勾股定理即可求出答案.20．【答案】（1）证明：由折叠可得△DCE≅△DFE∴CD=FD∠C=∠DFE∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=90°∴AD=FD∠A=∠DFG=9在Rt△DAG和Rt△DFG中DA=DF∴Rt△DAG≅Rt△DFG(（2）解：∵△DCE≅△DFE∴EC=EF∵E是BC的中点AB=BC=25∴∵Rt△DAG≅Rt△DFG∴AG=FG设AG=FG=x∴GB=25−x在Rt△GBE中∵GB2+B解得x=∴AG=2【解析】【分析】(1)已知折叠后FC=DC，且DC=AD，结合公共边DC和直角条件，可利用HL定理证明全等；

(2)已知AB=2521．【答案】解：AB=3【解析】【分析】本题要运用3次勾股定理的运算，分别求AB，BC，CD，最后求和计算答案.22．【答案】（1）解：过点B作BE⊥AD于点E，如图

在Rt△ABE中，

∵∠A=30°

∴BE=12AB=20m（2）解：由(1)可知AE=3BE=203m

在△ABD中，由三角形的外角性质可知

∠DBC=∠A+∠ADB

∴∠ADB=∠DBC−∠A=45°

∵BE⊥AD

∴△BDE是等腰直角三角形

∴DE=BE=20m

∴AD=AE+DE=(203+20)m

在Rt△ACD中，【解析】【分析】(1)首先构造出点B到AD的距离(即线段BE)，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出BE的长度；

(2)在(1)的基础上求出AE的长度，利用三角形的外角性质求出∠ADB=45°，证明△BDE是等腰直角三角形，从而可知DE的长度，进而求出AD的长度，再次利用含30°角的直角三角形的性质可求CD的长度。23．【答案】D【解析】【解答】解：∵AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=BCAB，且∠A=60°，

∴AB=BC=AC，

∴sad60°=BC24．【答案】30π【解析】【解答】解：如图，

∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60°

∴AB⏜=BC⏜故答案为：30π【分析】根据等边三角形性质可得AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60°，再根据弧长公式即可求出答案.25．【答案】（1）解：根据题意，可得∠CDE=60°，∠A=45°，∵∠CDE=∠AFD+∠A，

∴∠AFD=∠CDE−∠A=60°−45°=15°，

∵∠ACB=90°，AB=12，CA=CB，

∴AC=22AB=22×12=62，

∵∠DCE=90°，∠E=30°，CE=12，

（2）解：①如图3，过点C作CG⊥DE于G，

∴∠CGD=∠CGA=90°，

∵∠CDE=60°，

∴∠DCG=30°，

∵CD=43，

∴DG=12CD=12×43=23，

∴CG=CD2−DG2②AB⊥DE，理由如下：∵CG⊥DE，CG=AG=6，∴∠CAG=∠GCA=45°，又∵∠CAB=45°，

∴∠DAB=∠CAG+∠CAB=45°+45°=90°，∴AB⊥DE.【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质求出∠AFD的度数，解直角三角形得AC，CD的长，最后求AD=AC−CD的长即可；

（2）①过点C作CG⊥DE于G，求出∠DCG=30°，利用含30°的直角三角形的性质得DG=23，从而利用勾股定理得CG=6，AG=6，进而求AD=AG+DG的长即可；

②根据等腰直角三角形的性质得∠CAG=∠GCA=45°，从而得∠DAB=90°，即可得证AB⊥DE26．【答案】（1）①是；②50，③10，2（2）证明：∵∠DOA=∠COB,∠DAC=∠DBC，

∴△DOA∽△COB，

∴AOBO=DOCO，即AODO=BOCO，

又∵∠DOC=∠AOB，

∴△AOB∽△DOC，

∴∠DCA=∠EBA，

又∵∠ADC=90°,AE⊥BD，

∴∠ADC=∠AEB=90°，

∴△ABE∽△ACD，

∴∠DAC=∠EAB，

∴△ABE绕点A逆时针旋转∠DAE的度数后与（3）解：如图：如图，过E作EH⊥AD于点H，

∵△ABC为等腰直角三角形，点G为AC中点，

∴AG=12AC=12×6=3,AB=sin45°AC=22AC=32，

∵△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，

∴△ABD∽△AGE，

∴ADAE=ABAG,∠1=∠2，

∴22AE=323，解得：AE=2，

∵∠2+∠3=45°,∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°，

∵EH⊥AD，

∴HA=HE=sin【解析】【解答】（1）解：①∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴△ABC∽△ADE，∵有公共顶点A，∴△ABC是△ADE的“旋转位似图形”．故答案为：是．②∵△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，∴△ABC∽△ADE，∵∠B=100°，∴∠D=∠B=100°，∵∠E=30°，∴∠DAE=180°−∠D−∠E=50°；故答案为：50；③如图：连接BD，CE，∵△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，∴△ABC∽△ADE，∠DAE=∠BAC，∴ADAB=AE解得：AC=10，∵∠DAB=∠DAE−∠BAE,∠EAC=∠BAC−∠BAE，∴∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴BDCE=AB故答案为：10，25【分析】（1）①根据“旋转位似图形”的定义，即可判断。

②根据“旋转位似图形”易得△ABC∽△ADE，根据∠B=100°，易得∠D=∠B=100°，最后再根据三角形内角和定理：∠DAE=180°−∠D−