28.与圆相关的计算-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页与圆相关的计算——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（）A．9π B．6π C．3π D．2π2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．1 B．3 C．2 D．23．若一个正多边形的每一个内角的度数都是150°，则这个正多边形是()A．正九边形 B．正十边形 C．正十一边形 D．正十二边形4．如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，分别以点B和点D为圆心，线段BE、DE的长为半径画圆弧，若BC=BE=2，DE=1，则图中阴影部分的面积为（）A．25−5π4 B．23−5．如图，在矩形ABCD中，边AB绕点B顺时针旋转到EB的位置，点A的对应点E落在CD边的中点，若CE=2，则点A旋转到点E的路径长为（）A．23π B．43π C．6．如图所示，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC绕顶点B逆时针旋转40°后得到△DBE，点C经过的路径为CE，则图中阴影部分的面积为．7．正六边形的每一个外角都是°．8．一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是．9．如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．二、能力题10．如图，在直径BC为22A．15 B．14 C．1311．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BD的长为（）A．π4 B．π3 C．2π312．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（）A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-813．如图，在Rt△ABC中，∠A=35∘,∠ACB=90∘,CD是AB边上的中线，其中AB=2，以C为圆心，CD为半径画弧交A．19π B．29π C．14．如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（）A．π2−34 B．π−315．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是.16．已知一个扇形的圆心角为60°，其弧长为π317．如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=23，点C在OB上，且OC=AC．延长CB到D，使CD=CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为（结果保留π18．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F．若19．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为.20．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径作⊙O，⊙O与边CD相切于点D．点E是⊙O上一点，连接AE，DE．（1）试判断AD与AB的数量关系，并说明理由．（2）若AB=10，∠ADE=60°，求AE的长．22．如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．23．如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．（1）连接OB，求证：OB⊥PB；（2）若∠APB＝60°，PA＝23，求图中阴影部分的面积．三、拓展题24．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O'(5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,（1）写出A,（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．25．综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如1图所示：①一张直径为10cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.【实践操作】步骤1：取一张滤纸：步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.【实践探索】（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留π)

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：根据扇形面积公式得：

Ｓ扇形故答案为：C．【分析】根据扇形面积公式S=nπ2．【答案】C【解析】【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC，∵正六边形的周长是12，∴BC=2，∴⊙O的半径是2故答案为：C。

【分析】连接OB，OC，根据ABCDEF是正六边形，可得∠BOC=60°，进而可得△OBC是等边三角形，然后再根据等边三角形的性质，即可求出⊙O的半径。3．【答案】D【解析】【解答】解：360°÷(180°-150°)

=360°÷30°

=12.故答案为：D.

【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质即可得出答案.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵BC=BE=2，DE=1，∴BD=BE+DE=2+1=3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，∴DC=B∴阴影部分的面为：2×5故答案为：A．【分析】先求出BD的值，根据矩形的性质得∠BCD=90°，然后利用勾股定理求出DC的值，最后再根据阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积求解即可.5．【答案】B【解析】【解答】】解：在矩形ABCD中，AB=CD,∠ABC=∠C=90°，∵边AB绕点B顺时针旋转到EB的位置，点A的对应点E落在CD边的中点，CE=2，∴BE=AB=CD=2CE=4，∴sin∠CBE=∴∠CBE=30°，∴∠ABE=∠ABC−∠CBE=60°，∴点A旋转到点E的路径AE长为60π×4180故选：B．【分析】本题主要对旋转的性质、弧长公式、锐角三角函数，正方形的性质进行考查．根据旋转的性质与正方形的性质可得到BE=AB=CD=2CE=4，∠ABE=60°，再根据弧长公式有AE=6．【答案】25【解析】【解答】解：根据旋转的性质得△ABC≌△DBE，∠EBC=40°，BE=BC，

∴S△DBE∴S阴影故答案为：259π．

【分析】根据旋转的性质得△ABC≌△DBE，∠EBC=40°，BE=BC，由全等三角形的面积相等得出S△DBE=S△ABC，利用割补法可得S阴影7．【答案】60【解析】【解答】

解：∵正六边形的每一个外角都相等且和为360°

∴每一个外角360°6=60°

故答案为：60

【分析】根据正六边形得性质，和外角和为3608．【答案】五边形【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个内角都是108°，

∴这个多边形的每个外角都是180-108=72°，

∴这个多边形的边数是：36072=5.

故答案为：五边形。9．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）解：设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=23易求S△AOC=12×23×1=S扇形OAC=120π×4360∴阴影部分面积为4π3【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠BCD=∠OCA，再由直径所对的圆周角是90°，即可导出∠OCD=90°，进而证明出结论；

（2）先求出圆的半径和∠AOC的度数，再由弓形面积等于扇形OAC面积减去△AOC面积，即可解答.10．【答案】D【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝22，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=2。

∴该圆形的面积S=πR2=2π

∵∠BAC=90°

∴BC为小圆的直径

∴AB=AC

∴三角形BAC为等腰直角三角形

由三角函数可得r=AB=AC=2

∴扇形S=90r2360=π

由几何概率得P=S扇形故答案为：D.【分析】先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。11．【答案】C【解析】【解答】解：如图，

连接OB、OC、OD，则：∠BOC＝360°6＝60°，OB=OC，

∴∆OBC为等边三角形，∴OB=OC＝BC=1，∴BD⌢故答案为：C．【分析】连接OB、OC、OD，则OB=OC，再根据圆内接正六边形的性质求出中心角∠BOC=60°，则∠BOD=120°，进一步得∆OBC为等边三角形即得OB=OC=BC=1，然后利用弧长公式即可得．12．【答案】D【解析】【解答】解：

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵BC=4，

∴AB=AC=22BC=22，

∴S故答案为：D.

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，即可由勾股定理算出AB=AC=22，再根据S阴13．【答案】B【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线、AB=2

∴DC=DA=12AB=1

∴∠DCA=∠A=35°

∴∠CDE=∠A+∠DCA=70°

∵CD=CE

∴∠CED=∠CDE=70°

∴∠DCE=180°−2∠CDE=180°−140°=40°

∴DE⏜=40π×1180=29π14．【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD∵∠MOD+∠DON=∠NOD∴∠MOD=∠NOD∵在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，∠B=120°，∴∠ADC=∠B=120°，OD⊥AC，∴∠MDO=∠COD=1∵∠DOD∴∠DD∴∠DD∵OD=OD，∴△MDO≌△ND∴S∵∠CDO=60°，∴DO=CD⋅cos∴S故选：A．【分析】连接OD，则由菱形的性质知∠ADO=∠CDO=12∠ADC=60°，∠DCO=12∠BCD=30°、∠DOC=90°，则OD=12CD，取CD中点D`，则△DOD'是等边三角形，则∠DOD'=∠DD'O=60°，又已知∠MON=60°，则∠DOM=∠D'ON15．【答案】4【解析】【解答】解：连接AD，

∵正六边形ABCDEF，

∴DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，∠ADC=∠ADE=12∠CDE=60°，

∴∠BAC=∠ACB=12（180°-∠B）=12（180°-120°）=30°，

∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，

∴AC=CDtan∠ADC=2tan60°=23，

在△ACD和△AED中

CD=DE∠ADC=∠ADEAD=AD

∴△ACD≌△AED（SAS）

∴S△ACD=S△AED，

∴S阴影部分=2S△ACD故答案为：43【分析】连接AD，利用正六边形的性质可证得DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，同时可证得∠ADC=∠ADE=60°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，即可证得∠ACD=90°，利用解直角三角形求出AC的长，再利用SAS可证得△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可推出S△ACD=S△AED，然后根据S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，利用三角形和扇形的面积公式进行计算.16．【答案】π【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，

∵一个扇形的圆心角为60°，其弧长为π3，

∴60πr180=π3

故答案为：π6

【分析】设该扇形的半径为r，由弧长公式求出r=1，再由扇形面积公式计算即可得解.17．【答案】3【解析】【解答】

解：如图，过点A作AH⊥OD于点H，

∵∠AOB=30°，0A=23

∴AH=12OA=3，

∵OC=AC，.

∴∠OAC=∠AOB=30°，

∴∠ACB=30°+30°=60°，

∴∠CAH=30°，

∴AC=2CH，

设CH=x，则AC=2x，

在△ACH中，由勾股定理得，

x2+(3)2=(2x)2，

解得x=1(取正值)，

即CH=1，AC=2，

∴CD=CA=OC=2，

∴S阴影部分=S∆AOC+S▱ACDE−故答案为：33

【分析】过点A作AH⊥OD于点H，先根据30°直角三角形的性质得到AH的值，推导出AC=2CH，设CH=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出x的值，再根据S阴影部分=S∆AOC18．【答案】4π【解析】【解答】解：∵CD与⊙O相切

∴OE⊥CD

∵四边形ABCD是矩形

∴AB∥CD

∴OE⊥AB

∴AF=BF=12AB=2、∠AOB=2∠AOE=2×2∠BAE=60°

∵OA=OB

∴△AOB是等边三角形

∴OA=AB=4、∠OAB=∠AOB=60°

∴OF=OA·cos∠OAF=4×3故答案为：4π3

【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得∠AOB等于∠ABE的4倍即60°，由于半径都相等，可判定△AOB是等边三角形，即AO=AB=4，∠OAB=60°，再解Rt△OAF求出OF，则扇形AOB和△AOB的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.19．【答案】16π【解析】【解答】解：如图所示，过点O作AB的垂线段OG，连接OA、OB、OE.

∵六边形ABCDEF是正六边形

∴∠AOB=∠OEF=∠OAF=60°、OA=OB=OE、∠AOE=∠AFE=120°

∵∠MON=120°=∠AOE

∴∠AON=∠EOM

∴△AON≅△EOMASA

∴S△AON≅S△EOM

∴S五边形ANOMF=S四边形AOEF=13S正六边形故答案为：16π3【分析】由于正六边形的中心角是60°，因此△AOB是等边三角形，过点O作AB的垂线段OG，则解Rt△BOG可得OG=23，则正六边形ABCD的面积为243；观察图形得阴影部分面积等于扇形面积减去五边形ANOMF的面积，此时连接OA、OE，可利用ASA证明△AON≅△EOM，则五边形ANOMF的面积可转化为四边形AOEF的面积，显然四边形AOEF的面积等于正六边形ABCDEF的面积的20．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CP是半圆O的切线，

∴∠OCP＝90°，

∴∠ACB＝∠OCP，

∴∠ACO＝∠BCP；（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，

∵∠ABC＝2∠BCP，

∴∠ABC＝2∠ACO，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A，

∴∠ABC＝2∠A，

∵∠ABC+∠A＝90°，

∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，

∴∠ACO＝∠BCP＝30°，

∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，

答：∠P的度数是30°；（3）解：由（2）知∠A＝30°，

∵∠ACB＝90°，

∴BC＝12AB＝2，AC＝3BC＝23，

∴S△ABC＝12BC•AC＝12×2×23＝23，

∴阴影部分的面积是12π×(AB2)【解析】【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的直角相等得到∠ACB＝∠OCP，根据等交的余角相等即可得到结论；（2）根据∠ABC＝2∠BCP，可以得到∠ABC＝2∠A，即可得到∠A＝30°，∠ABC＝60°，解题即可；（3）根据30°的直角三角形的性质得到BC＝12AB＝2，AC＝3BC，然后求出S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆面积减去S△ABC解题即可（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝12AB＝2，AC＝3BC＝23∴S△ABC＝12BC•AC＝12×2×23＝2∴阴影部分的面积是12π×(AB2答：阴影部分的面积是2π﹣23．21．【答案】（1）解：AB=2连接OD，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵⊙O与边CD相切于点D，∴CD⊥OD，∴OD⊥AB，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴OA=2∴AB=2（2）解：连接OE，∵∠ADE=60°，∴∠AOE=120°，∵AB=10，∴OA=5，∴AE=​​​​​​​【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行四边形性质可得AB∥CD，再根据切线性质可得∠AOD=90°，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.

（2）连接OE，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOE=120°，根据垂径定理可得OA=5，再根据弧长公式即可求出答案.（1）AB=2连接OD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵⊙O与边CD相切于点D，∴CD⊥OD，∴OD⊥AB，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴OA=2∴AB=2（2）连接OE，∵∠ADE=60°，∴∠AOE=120°，∵AB=10，∴OA=5，∴AE=22．【答案】（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切，

理由：连接OC，OB，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠A=60°，

∵BC⏜=BC⏜

∴∠BOC=2∠A=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=12（180°-120°）=30°，

∵AB∥CD，

∴∠BCD=∠ABC=60°，

∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=30°+60°=90°，

∴OC⊥CD，

∵（2）解：过点O作OE⊥BC于点E，

∴∠OEB=90°，BC=2BE，

在Rt△OBE中，OE=12OB=1，BE=OBcos∠OBE=2×cos30°=2×32=3，

∴BC=23，

∴S阴影部分【解析】【分析】（1）连接OC，OB，利用等边三角形的性质可求出∠ABC、∠A的度数，利用圆周角定理可求出∠BOC的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理可求出∠OBC和∠OCB的度数，由此可求出∠OCD的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.

（2）过点O作OE⊥BC于点E，利用垂径定理可证得BC=2BE，在Rt△OBE中，利用解直角三角形分别求出OE、BE的值，可得到BC的长，然后根据S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC，利用扇形和三角形的面积公式进行计算即可.23．【答案】（1）证明：如图，连接OP，

∵PA与⊙O相切，

∴OA