余弦定理与正弦定理课时1余弦定理课件高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标情境引入探求新知典例铺路随堂演练课堂小结当堂检测第二章平面向量及其应用互动设计2.6.1余弦定理与正弦定理

课时1余弦定理掌握余弦定理的内容及两种表达形式；能运用余弦定理解决”已知两边及夹角”和”已知三边”两类解三角形问题经历向量法、坐标法、几何法等多种方法推导余弦定理的过程，体会数学思想方法的多样性感受数学与生活的密切联系，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学应用意识情境一：航海定位问题余弦定理一艘轮船从港口A出发，向东北方向航行40海里到达B点，然后转向北偏西30°方向航行30海里到达C点。请问：此时轮船距离港口A有多远？如果轮船想直接返回港口A，应该朝什么方向航行？ABC情境二：隧道测量问题余弦定理工程队要测量一条穿山隧道的长度。由于山体阻挡，无法直接测量。已知从山脚一侧可以测得山脚到隧道两端点的距离分别为800米和600米，且测得这两段路线之间的夹角为120°。如何计算隧道的长度？ABC情境三：三角形稳定性问题余弦定理为什么三角形具有稳定性？当三角形的三条边长确定后，其形状和大小是否唯一确定？三个角的大小能否随之确定？💡

引发思考已知两边及其夹角，如何求第三边？已知三边，如何求三个角？互动1：小组探究，推导定理余弦定理分组：将学生分成4-5人小组，每组发放坐标系模型和三角板。任务：让学生在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点A在原点，AB在x轴上，设AB=c，AC=b，∠BAC=α，顶点C的坐标为(x,y)，尝试用b、c、α表示BC的长度（即a的长度）。ABC(x.y)cab互动1：小组探究，推导定理余弦定理ABC(x.y)cab引导：提示学生利用坐标法，先写出点C的坐标（bcosα，bsinα），再根据两点间距离公式计算BC的长度，化简后得到a与b、c、α的关系。分享：每组派代表上台展示推导过程，教师点评、补充，最终得出余弦定理的表达式。互动1：小组探究，推导定理余弦定理ABC(x.y)cab

1.学生阅读课文，了解向量法推导余弦定理。2.讨论：余弦定理有什么特点？如何记忆？余弦定理与勾股定理的关系？余弦定理怎样变形？探究新知余弦定理1.余弦定理的表示形式

文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。探究新知余弦定理2.余弦定理的推论（求角公式）

由余弦定理变形，可得到求三角形内角的公式（注意：角的范围是(0°,180°)，余弦值为正，角为锐角；余弦值为0，角为直角；余弦值为负，角为钝角）：探究新知余弦定理3.向量法推导（标准证明）

表示

模方

数量积

定形

探究新知余弦定理4.特殊情况：勾股定理

结论：勾股定理是余弦定理当夹角为直角时的特例。探究新知余弦定理5.适用范围已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边（直接用余弦定理）；已知三角形的三边，求任意一个内角（用余弦定理的变形公式）；判断三角形的形状（通过求角的余弦值，判断角是锐角、直角还是钝角）。条件结论∠C=90°，直角三角形∠C<90°，锐角（C为锐角）∠C>90°，钝角（C为钝角）用余弦定理判断三角形形状探究新知余弦定理6.核心要点余弦定理揭示了三角形“边”与“角”之间的定量关系，是解三角形的重要工具；它与正弦定理相辅相成，覆盖了解三角形的所有常见题型；勾股定理是余弦定理的特殊情况（直角三角形）。典型例题余弦定理已知两边及夹角，求第三边【题目】在△ABC中，已知AB=5，AC=3，∠BAC=120°，求BC的长。

典型例题余弦定理已知三边，求内角【题目】在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，求角A的大小。。

小结：已知三边求角，用余弦定理变形公式，求出余弦值后，结合角的范围确定角的大小。典型例题余弦定理判断三角形的形状【题目】已知△ABC的三边为a=6，b=8，c=10，判断△ABC的形状。

因为0°<C<180°，所以C=90°，故△ABC为直角三角形。小结：判断三角形形状，可通过比较三边的平方关系，结合余弦定理判断最大角的类型（锐角、直角、钝角）。典型例题余弦定理判断三角形的形状

典型例题余弦定理实际应用【题目】(情境二）：工程队要测量一条穿山隧道的长度。由于山体阻挡，无法直接测量。已知从山脚一侧可以测得山脚到隧道两端点的距离分别为800米和600米，且测得这两段路线之间的夹角为120°。如何计算隧道的长度？

即时练【1】余弦定理在△ABC中，已知b=4，c=6，∠A=60°，求a的长。

即时练【2】余弦定理在△ABC中，a=2，b=3，c=√7，求角C的大小。

即时练【3】余弦定理已知△ABC的三边为a=5，b=12，c=13，判断该三角形的形状。

即时练【4】余弦定理

即时练【5】余弦定理

检测【1】余弦定理

检测【2】余弦定理

检测【3】余弦定理若三角形三边之比为3:5:7，则其最大角为（）A.60°

B.90°

C.120°

D.150°

检测【4】余弦定理

检测【5】余弦定理在海上有A、B两个观测站，观测站A在观测站B的正东方向，距离为10海里。现发现一艘轮船C，在观测站A处测得轮船C在北偏西60°方向，在观测站B处测得轮船C在北偏东45°方向，求观测站A到轮船C的距离（结果保留根号）。步骤1：确定△ABC的内角和已知边由方位角定义：-B在A正西，AB=10海里，∠ABC=45°，∠BAC=30°，∠ACB=180°-45°-30°=105°。

1234小结余弦定理余弦定理

├──内容：a²=b²+c²-2bc·cosA（轮换对称）

├──变形：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)（求角公式）

├──应用

│├──已知两边及其夹角（SAS）→

求第三边

│├──已知三边（SSS）→

求三角

│└──判断三角形形状（锐角/直角/钝角）

└──关系：勾股定理是余弦定理的特例（C=90°时）1234小结余弦定理要点说明两类基本问题SAS型（先求第三边，再求角）、SSS型（先求角，再求其他）与正弦定理对比正弦定理：两角一边、两边一对角；余弦定理：两边夹角、三边判断形状技巧比较与的大小关系计算注意先用余弦定理求