北京市西城区2025届高三下学期5月二模测试数学试卷 含解析

西城区高三模拟测试试卷数学2025.5本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合交集、补集运算，包含关系逐个判断即可.【详解】，错误，错误，错误，，所以，D正确，故选：D2.设为虚数单位，则在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算化简，即可求解.【详解】，所以复数对应的点，位于第四象限，故选：D3.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解.【详解】由，可得.故选：B.4.若，则（）A.0 B.1 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】法一：通过赋值，代入即可求解；法二：利用二项式定理展开，可分别求得各项的系数，在进行加减运算即可.【详解】法一：令，则，所以原式左边为，原式右边为，所以.法二：根据二项式定理，得所以所以.故选：A.5.设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（）A.1 B.3或1 C.3 D.3或【答案】D【解析】【分析】联立直线圆的方程，结合向量数量积的坐标表示，列出等式求解即可.【详解】将直线代入圆的方程可得：，设，所以，，则，所以，化简得：，解得：或，故选：D6.设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质、双曲线的定义即可求解.【详解】由题意，即，由于，解得.故选：B.7.设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解.【详解】若与共线，则存在实数，使得，即，由于平面向量与不共线，所以且，故，因此“与共线”是“”的充要条件，故选：C8.小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）A.840mm，594mm B.840mm，588mm C.594mm，420mm D.588mm，420mm【答案】A【解析】【分析】由复印纸的拼接关系以及长与宽比值不变的特点，代入计算，即可得到结果.【详解】A4纸的宽为，设其长为，若两张A4纸的宽拼在一起，则A3纸的宽为，长为，且，故舍去；若两张A4纸的长拼在一起，即A3纸的宽为，长为，A2纸的宽为，长为，A1纸的宽为，长为，由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，可得，解得，则，所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm.故选：A9.设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，得点的坐标满足，由题意分六种情况讨论即可求解.【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，显然点到平面的距离为，设点，在上取一点，而，所有，从而，所以点P到直线的距离为，所以，令，得，此时点的轨迹就是一个点，此时点的轨迹长度是0，令，得，此时点在以为圆心半径为2的四分之一的圆周上面运动，此时点的轨迹长度是，令，得，即，此时点的轨迹长度是0，令，得，即，此时点在线段上运动，轨迹长度是，令，，即，此时点在线段上运动，轨迹长度为，令得，，即，此时点的轨迹长度是0，综上所述，所求为.故选：D.10.已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先考虑，，求出，再考虑，此时，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出的取值范围.【详解】若，即，此时，满足要求；若，则，此时，故恒成立，其中，故；若且，即，此时，对称轴为，若，此时在上单调递增，故只需，即，解得，故；若，此时在上单调递减，在上单调递增，故，令，解得，与取交集得，若，此时在上单调递减，故只需，即，解得，与取交集得；综上，实数的取值范围为.故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组，进而求得函数的定义域，得到答案.【详解】由函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.12.一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分．那么该模具的体积为______．【答案】【解析】【分析】根据圆柱及圆锥的体积计算公式即可得出结果.【详解】由题可知，，∴该模具的体积为，故答案为：.13.设函数，则使得函数在区间上存在最大值的一个值为______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先求出的解析式，再根据正弦函数的性质求出的范围，即可得解.【详解】因为，则，令，所以，因为在区间上存在最大值，所以，则，又，即，所以或，所以符合题意的一个值为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）14.在数列中，，且任意连续三项的和均为7，则______；记数列的前项和为，则使得成立的最大整数______．【答案】①.6②.44【解析】【分析】首先得出数列是周期为3的周期数列，进一步可根据数列任意连续三项的和均为7，即可求解第一问，至于第二问分三种情况讨论即可求解.【详解】由题意，所以数列是周期为3的周期数列，所以，故；当时，，解得，此时最大整数为42，当时，，解得，此时最大整数为42，当时，，解得，此时最大整数为44，综上所述，，使得成立的最大整数.故答案为：6，44.15.数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹．设为上一点，给出下列四个结论：①；②；③若点在第一象限，则；④的周长可以等于．其中，所有正确结论的序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】令，求得，可判定①正确；设，，结合，得到，可判定②正确；由，得到，可判定③正确；设，由余弦定理求得，得到，可判定④错误.【详解】对于①中，由双纽线，令，可得，解得或，所以，所以①正确；对于②中，设，其中，且，由，因为，可得，可得，所以，所以②正确；对于③中，若点位于第一象限，要证，即证，等价于，由双纽线，可得，所以③正确；对于④中，设，则三角形的周长为，在中，由余弦定理得，即，即，所以，即，所以，因为，所以④错误.故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知中，．（1）求的大小；（2）设为的中点，且，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解；（2）由正弦定理求得，再结合余弦定理求得，结合三角形面积公式即可求解.【小问1详解】由，得．由，得，故，所以．【小问2详解】由正弦定理，得，即．由余弦定理，得，即，解得或（舍）．所以，故．17.如图，在三棱锥中，平面平面分别为的中点．（1）求证：平面平面；（2）设，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直得出平面，进而得证结论；（2）根据选择的条件先证明两两垂直，建系，利用法向量可求答案.【小问1详解】因为，平面平面，平面平面，所以平面．由分别为中点，得，所以平面．又因为平面，所以平面平面．【小问2详解】选择条件①②：因为，所以，则．所以．由平面，得．故两两垂直．如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则即令，则．于是．易知平面的一个法向量．设平面与平面夹角为，则．所以平面与平面夹角的余弦值为．选择条件①③；由平面，得．因为，所以平面．所以．故两两垂直．如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略．选择条件②③；由平面，得．因为，所以平面．所以．故两两垂直．又因为，所以．如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略．18.网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：时间1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号11号12号13号14号15号搜索量6.25.16.1726.17.46.26.36.46.37.16.3737.67.9时间16号17号18号19号20号21号22号23号24号25号26号27号28号29号30号搜索量8.511.210.39.19.610.110.610.98.810.48211.512.112.813.6用频率估计概率.（1）从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；（2）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；（3）记表中30天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）找出2号至14号中该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的数据，再运用古典概型的概率计算即可；（2）求出未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率，低于8万的概率，再求满足题意的概率的即可；（3）分别计算即可比较大小.【小问1详解】记事件A为“从2号至14号中任取1天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”，根据数据，知仅有2，5，7，10，12号这5天的搜索量比其前后两日的搜索量都低，所以从2号至14号中任取1天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率．【小问2详解】记事件B为“在未来的日子里任取3天，且这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万”，根据数据，知在未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率可估计为，低于8万的概率可估计为．则．所以在未来日子里任取3天，估计这3天该疾病捜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率为．【小问3详解】最大的三个数为：，最小的三个数为：，这6个数之和为故故.19.已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围．【答案】（1），离心率（2）【解析】【分析】（1）由直线方程确定，进而可求解；（2）设方程为，点，联立椭圆方程，结合韦达定理得到的坐标为，再由直线：，直线：．得点．再由线段的中点为，得，化简得到，进而可求解.【小问1详解】因为直线与坐标轴交点为和，所以．由，解得，所以椭圆的方程为，离心率．【小问2详解】由题意，直线的斜率存在，故设其方程为，设点，由得，所以．所以点的横坐标，纵坐标．结合直线过坐标原点，可得直线的方程为．令，得点的坐标为．当时，显然点不在轴上．则直线：，直线：．令，得点．由线段的中点为，得，整理，得，即，化简，得．由，得．当时，由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合），处为中点，且，在中，，则直线的方程为，由的中点为，则，即，故，所以，当且仅当时等号成立．综上，的取值范围为.20.已知函数，其中．（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；（2）证明：函数存在极小值；（3）记函数的最小值为，求的最大值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）0【解析】【分析】（1）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解；（2）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证；（3）由（2）得到，构造函数，求导确定单调性，进而可求解.【小问1详解】求导，得，所以，，故曲线在点处的切线方程为，将点代入切线方程，得．【小问2详解】函数的定义域为．设函数，则，由，得，所以函数在上单调递增，因为，所以存在唯一的，使得，即．当变化时，与的变化情况如下：-0+极小值所以函数在上单调递减，在上单调递增．故函数存在极小值．【小问3详解】由（2）知，函数有最小值．由，得．所以．设函数，则．今，得（舍）或．当变化时，与的变化情况如下：1+0-极大值所以函数在上单调递增，在上单调递减．所以当时，，即当时，．结合，知当时，．由函数的导数，知其在区间上单调递减，故当且仅当时．所以当时，取得最大值0．21.已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯．（1）若数列：，求数列和；（2）设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列；（3）当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：．【答案】（1），（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题设中的新定义，进行运算，得到答案；（2）根据题设中新的变换，得到仍为递增数列，进而得到仍为递增数列，证得仍为递增数列，以此类推，对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列；（3）设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，得到，得到数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，分情况讨论，即可得证.【小问