2025-2026学年包含与排除教案

2025-2026学年包含与排除教案科目Xx授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师张老师授课班级、授课课时2025年12月授课题目（包括教材及章节名称）教材分析一、教材分析。包含与排除是数学集合论的核心内容，在人教版小学数学六年级上册“数学广角”中系统编排，承接学生对集合的初步认知，通过解决“参加两项活动人数计算”等实际问题，渗透并集、交集思想，为初中学习概率统计奠定基础，培养学生有序思考和逻辑推理能力。核心素养目标二、核心素养目标。通过包含与排除问题的探究，发展逻辑推理能力，能准确分析集合间的包含、重叠关系；提升数学运算能力，掌握解决重叠问题的计算策略；体会数学建模思想，能运用集合思想解决生活中的实际重叠问题，培养有序思考和严谨表达的习惯。教学难点与重点1.教学重点，

①理解集合间包含与重叠的基本概念，能准确绘制并解释维恩图表示重叠关系；

②掌握解决包含与排除问题的计算策略，熟练运用公式：总数=A类+B类-A与B重叠部分。

2.教学难点，

①在复杂实际情境中抽象出集合关系，准确识别重叠部分并正确对应维恩图；

②解决涉及三个及以上集合的重叠问题时，避免重复计算或遗漏，建立多层级逻辑分析能力。教学方法与策略1.教学方法：采用讲授法结合案例研究，通过课本例题解析包含与排除原理；辅以小组讨论法，引导学生合作分析重叠问题。

2.教学活动：设计“集合分类”角色扮演游戏，学生用不同颜色卡片模拟集合元素；开展“重叠问题闯关”竞赛，运用维恩图解决课本练习题。

3.教学媒体：使用动态维恩图课件展示集合关系；准备实物教具（如不同颜色积木）辅助重叠部分可视化；利用互动白板实现学生操作维恩图的即时反馈。教学流程1.导入新课（5分钟）

教师创设班级活动情境：“同学们，我们班要组织文艺汇演，需要统计会唱歌和会跳舞的同学。已知会唱歌的有12人，会跳舞的有10人，其中有3人两项都会。直接用12+10=22人算出参加文艺汇演的人数，对吗？为什么？”引导学生发现“两项都会的人被重复计算了”，从而自然引出“包含与排除”问题。教师板书课题：“今天我们就来学习如何解决这样的重叠问题。”

2.新课讲授（15分钟）

①集合关系与维恩图表示（5分钟）

教师结合课本例题1：“学校篮球队有8人，足球队有6人，两项都参加的有2人。”提问：“如何用图表示这些人数关系？”引导学生发现用两个相交的圆圈（维恩图）表示，左边圆圈标“篮球队8人”，右边标“足球队6人”，相交部分标“两项都参加2人”。教师强调：“相交部分是重叠区域，只属于一个集合的部分是独立区域。”

②包含与排除公式推导（5分钟）

基于维恩图，教师引导学生分析：“只参加篮球队的人数=8-2=6人，只参加足球队的人数=6-2=4人，总人数=6+4+2=12人。”提问：“能不能用算式直接计算？”学生得出“8+6-2=12”，教师总结公式：“总数=A类+B类-重叠部分”，板书并强调：“减去重叠部分是为了避免重复计算。”

③多集合问题拓展（5分钟）

教师出示课本例题2：“喜欢语文的有25人，喜欢数学的有30人，两科都喜欢的有15人。问：喜欢至少一科的有多少人？”学生独立计算后，教师追问：“如果喜欢语文、数学、英语的人数分别为25、30、20，语文和数学都喜欢的15人，数学和英语都喜欢的12人，语文和英语都喜欢的10人，三科都喜欢的5人，怎么求至少喜欢一科的人数？”引导学生分步计算：先算两科重叠部分（语文和数学重叠15人，但其中包含三科都喜欢的5人，所以只喜欢语文和数学的=15-5=10人；同理只喜欢数学和英语的=12-5=7人；只喜欢语文和英语的=10-5=5人），再算只喜欢一科的语文=25-10-5-5=5人，数学=30-10-7-5=8人，英语=20-7-5-5=3人，最后总人数=5+8+3+10+7+5+5=43人，或用公式“25+30+20-15-12-10+5=43”，强调“多集合问题要减去两两重叠，再加上三重叠”。

3.实践活动（12分钟）

①卡片分类游戏（4分钟）

教师发放卡片：红色卡片“喜欢足球”（10人），蓝色卡片“喜欢篮球”（8人），紫色卡片“两项都喜欢”（3人）。学生分组合作，用维恩图卡片在黑板上分类，标出各部分人数，并计算“至少喜欢一项的人数”，教师巡视指导，重点检查重叠部分是否正确标注。

②生活问题解决（4分钟）

教师出示课本练习题：“某班有45人，参加跳绳的有28人，参加踢毽子的有25人，两项都参加的有10人。问：两项都不参加的有多少人？”学生独立完成，教师指名板演：至少参加一项的=28+25-10=43人，都不参加的=45-43=2人，强调“用总数减去至少一项的，求都不参加的”。

③多集合挑战（4分钟）

教师给出问题：“喜欢苹果、香蕉、橙子的学生分别有20、15、18人，喜欢苹果和香蕉的有8人，香蕉和橙子的有6人，苹果和橙子的有5人，三样都喜欢的有2人。求至少喜欢一种水果的人数。”学生分组讨论后汇报，教师点评“分步计算时注意减去两两重叠中的三重叠部分”。

4.学生小组讨论（8分钟）

①重叠部分的意义：“为什么计算总人数时要减去重叠部分？”举例回答：“比如会唱歌和会跳舞的同学中，有3人两项都会，直接相加时这3人被算了两次（唱歌算一次，跳舞算一次），所以总数=12+10-3=19人，这样才不会重复。”

②多集合的易错点：“在计算三集合问题时，容易遗漏或重复计算哪些部分？”举例回答：“容易忘记减去两两重叠中的三重叠部分，比如喜欢苹果和香蕉的8人，已经包含三样都喜欢的2人，所以只喜欢苹果和香蕉的=8-2=6人，不能直接用8人。”

③生活中的应用：“除了班级活动统计，生活中还有哪些问题可以用包含与排除解决？”举例回答：“调查班级同学早餐吃鸡蛋、喝牛奶的情况，统计喜欢吃苹果、香蕉、橙子的同学人数，或者统计家里有电视、冰箱的家庭数量，都可以用包含与排除来解决。”

5.总结回顾（5分钟）

教师引导学生梳理：“本节课我们学习了什么？”学生回答：“包含与排除问题，用维恩图表示集合关系，公式总数=A+B-重叠，多集合要减两两重叠加三重叠。”教师强调重点：“准确找到重叠部分是关键，避免重复计算。”难点：“多集合问题要分步分析，理清各层关系。”最后布置作业：课本练习题第2、4题，用包含与排除解决生活中的重叠问题。教学资源拓展1.拓展资源

（1）数学史与数学家：集合论的创始人格奥尔格·康托尔（GeorgCantor）在19世纪创立集合论，首次严格定义了集合的包含、交集、并集等概念，为包含与排除问题奠定了理论基础。可介绍康托尔研究集合论时遇到的挑战（如无穷集合的悖论），让学生感受数学发展的严谨性。

（2）生活中的实际应用案例

①校园活动统计：学校运动会上，参加短跑的有20人，参加跳远的有15人，两项都参加的有5人。如何计算至少参加一项的人数？这与教材中“文艺汇演统计”问题类似，但场景更贴近学生日常。

②社区调查：社区组织“健康生活”活动，统计居民参与“晨练”和“健康讲座”的人数，其中参与晨练的有120人，参与健康讲座的有80人，两项都参与的有30人。求至少参与一项的居民人数，可延伸计算“两项都不参与的人数”（总人数减去至少参与一项的人数）。

③商业促销：商场促销活动中，“满200减50”和“会员额外9折”优惠可同时享受。顾客A购买商品原价280元，顾客B购买原价350元，两人均享受了两种优惠。实际支付金额如何计算？此案例将包含与排除与百分数知识结合，体现数学的实用性。

（3）跨学科中的包含与排除

①科学分类：生物分类中，“哺乳动物”和“水生动物”的交集是“水生哺乳动物”（如鲸、海豚），“鸟类”和“猛禽”的交集是“猛禽”（如鹰、隼）。通过分类图理解集合间的包含与重叠关系。

②语文概念关系：“文学作品”包含“诗歌”“小说”“散文”等，“古代文学作品”与“诗歌”的交集是“古代诗歌”。用维恩图表示这些概念，帮助学生理清逻辑关系。

③体育比赛：篮球比赛中，“得分上双的球员”和“篮板上双的球员”可能有重叠，统计“至少一项上双的球员人数”时，需用包含与排除原理。

（4）数学思维训练资源

经典问题：某班有45人，语文考试得优的有25人，数学考试得优的有30人，两科都得优的有20人。求两科都没有得优的人数。此问题与教材例题“两项都不参加的人数计算”一致，但数据更复杂，可训练学生逆向思维能力。

多集合拓展：喜欢语文、数学、英语的学生分别有30、25、20人，喜欢语文和数学的有15人，喜欢数学和英语的有10人，喜欢语文和英语的有8人，三科都喜欢的有5人。求至少喜欢一科的人数，此问题需用“三集合包含与排除公式”（总数=A+B+C-两两交集+三交集），提升学生解决复杂问题的能力。

2.拓展建议

（1）阅读与故事建议

阅读《数学帮帮忙》系列绘本中的《统计比赛结果》，故事中通过收集整理同学们喜欢的运动项目，用包含与排除解决“喜欢篮球和足球的同学人数”问题，图文结合帮助学生理解抽象概念。

推荐《数学家的故事》，了解康托尔创立集合论的过程，感受数学家敢于质疑、严谨求证的精神，激发学习兴趣。

（2）生活实践建议

记录班级同学的课余爱好：统计喜欢“绘画”“音乐”“体育”的人数，以及两两重叠和三科都喜欢的人数，用包含与排除计算“至少喜欢一项的人数”，并制作维恩图展示。

家庭调查：询问家人“喜欢看电视剧”和“喜欢看电影”的人数，两项都喜欢的有多少人，用包含与排除计算“至少喜欢一种的人数”，体会数学在生活中的应用。

（3）问题解决进阶建议

尝试解决四集合问题：调查班级同学喜欢“苹果、香蕉、橙子、葡萄”的人数，以及两两重叠、三重叠、四重叠的人数，用“四集合包含与排除公式”（总数=A+B+C+D-两两交集+三交集-四交集）计算至少喜欢一种的人数，挑战复杂问题。

结合其他数学知识：已知“喜欢语文的有25人，喜欢数学的有30人，两科都喜欢的有15人”，求“只喜欢语文”“只喜欢数学”的人数，巩固“部分量=总量-重叠部分”的解题策略。

（4）动手操作建议

制作维恩图手抄报：用不同颜色的圆形卡纸制作两集合、三集合维恩图，标注各部分名称（如“只属于A的部分”“A与B的交集”），并列举生活中的例子（如“喜欢语文和数学的同学”），加深对集合关系的理解。

设计“猜喜好”游戏：准备写有不同爱好的卡片（如“篮球”“足球”“绘画”），让同学选择自己爱好的卡片，统计各部分人数，用包含与排除计算结果，在游戏中巩固知识。

（5）合作与分享建议

小组合作调查：以小组为单位，调查全校“参加社团”和“担任班干部”的同学人数，两项都参与的有多少人，计算“至少参与一项的人数”，并撰写调查报告，分享解题过程和结论。

家庭数学游戏：和家人玩“喜好接龙”，每人说出两种喜欢的食物，统计重叠人数，用包含与排除计算“至少喜欢一种的人数”，比一比谁的计算又快又准，在互动中提升应用能力。板书设计①核心概念与公式

课题：包含与排除

集合关系：包含关系、重叠关系

维恩图结构：相交部分（重叠区域）、独立区域（只属于A/只属于B）

核心公式：总数=A类+B类-重叠部分

多集合公式：总数=A+B+C-两两交集+三交集

②多集合问题分析

三集合维恩图分区：只A、只B、只C、只A∩B、只B∩C、只A∩C、A∩B∩C

分步计算逻辑：先算两两重叠中非三重叠部分，再算只一科部分，最后相加

例题关键点：喜欢语文和数学的15人（含三科都喜欢的5人）→只喜欢语文和数学=15-5=10人

③易错点与解题步骤

易错警示：重复计算（未减重叠）、遗漏部分（多集合未分层）

解题步骤：①画维恩图标已知②找重叠部分③套公式或分步算④检验结果

关键词：重叠部分、至少一项、都不参加、分层分析反思改进措施（一）教学特色创新

1.情境化教学贯穿始终，用班级文艺汇演、运动会等真实案例替代抽象例题，学生能快速理解重叠问题的实际意义。

2.维恩图动态演示工具，通过拖拽元素实时展示集合关系变化，帮助学生直观建立"重叠部分"的空间概念。

（二）存在主要问题

1.小组实践活动时间分配不均，部分学生操作维恩图卡片时速度较慢，导致后续挑战环节仓促。

2.多集合问题分层训练不足，对基础薄弱学生缺乏过渡性支架，易在"三科都喜欢"等复杂情境中混淆重叠层级。

（三）改进措施

1.设计分层任务卡：基础层完成两集合维恩图填充，进阶层标注"只属于A的部分"，挑战层解决三集合逆向问题，确保不同学力学生均有收获。

2.增加"重叠层级拆解"专项训练：用不同颜色粉笔在维恩图上逐步叠加，强调"两两重叠包含三重叠"的嵌套关系，配合"减去三重叠部分"的口诀强化记忆。

3.建立"错题诊疗站"：收集学生典型错误（如直接用25+30+20-15-12-10），引导小组合作分析漏加三重叠的根源，培养逆向验算习惯。教学评价1.课堂评价：通过分层提问了解学生掌握情况，基础层提问“为什么计算总人数要减去重叠部分”，进阶层提问“三集合问题中如何避免重复计算”，观察学生绘制维恩图的规范性和小组讨论中的逻辑表达；课堂小测试包含两集合（如“会唱歌12人，会跳舞10人，两项都会3人，至少一项多少人”）和三集合基础题（如“喜欢语文25人，数学30人，两科都15人，至少一