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第七章三角函数7.2.2单位圆与三角函数线《人教B版2019高中数学必修第三册》知识点

AT1.正弦线与余弦线

探究新知

>

正切线

可以看出，如果取坐标满足x=1的点P，则tanα=y..因为x=1在平面直角坐标系中表示的是垂直于x轴且过A(1,0）的直线l，所以如果角a的终边与直线l的交点为P(1,y)，则tanα=

.y

探究新知

这就是说，角a的正切等于角α终边或其反向延长线与直线x=1的交点的纵坐标.正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线.<探究新知

例1

解如图7-2-7所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x=1，单位圆与x轴交于点A(1,0)．图7-2-7

探究新知

例2将图7-2-8(1）所示的摩天轮抽象成图7-2-8(2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系.设O到地面的高OT为lm，点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm.记以OP为终边的角为αrad，点P离地面的高度为hm，试用l,r与α表示h.过点P作x轴的垂线，垂足为M，则：当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，

MP=rsinα，此时h=OT+MP=l+rsinα.当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时，因为sinα<0，所以MP=-rsinα，此时h=OT-MP=l+rsinα;当α的终边在x轴上时，sinα=0，此时h=OT=l+rsinα.所以，不管α的终边在何处，都有h=l+rsinα.微提醒：根据三角函数的定义可知P点纵坐标y=rsinα，再根据象限判断y的正负，即可根据MP=|y|求得MP的长.探索与研究

如上图在单位圆中，设∠AOT=x则AT=tanx,MP=sinx∵S△OAT＞S扇OAP＞S△OAP即OA·AT＞OA·x＞OA·MP整理，即AT＞x＞MP因此tanx＞x＞sinx练习A1

正弦线：MP余弦线:OM正切线:AT练习A2利用三角函数线写出sinπ，cosπ和tan

π的值.

练习A3

练习A4

练习B2利用正弦线指出sina的最大值，并指出a为何值时sina取得最大值.

练习B3

OMPα的终边（1）在Rt△OMP中，由勾股定理：OM2+MP2=OP2

因为OP=r=1，且OM=cosα，MP=sinα，所以：cos2α+sin2α=1练习B3

OMPα的终边AT

练习B3

巩固练习

巩固练习2.已知角α的终边过点A（4，-3），则sinα·tanα=

.

微提醒：利用几何关系找单位圆与角的终边的交点坐标.巩固练习3.若0≤α<2π，且2sinα≤1，则α的取值范围是

.

提升练习1.在(0,2π)

内，使sinx>cosx

成立的x

的取值范围是

.

提升练习

提升练习

证明：如图所示，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角β,α的终边分别交于点P,Q，过P,Q分别作OA的垂线，垂足分别是M,N，则sinα=NQ，sinβ=MP。过点Q作QH⊥MP

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