24.3 一元二次方程根与系数的关系（教学课件）数学冀教版九年级上册

24.3一元二次方程根与系数的关系数学（冀教版）九年级

上册第二十四章

一元二次方程

学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.

温故知新1.一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0(a≠0)2.一元二次方程有实数根的条件是什么？△=b2-4ac≥03.当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？△>0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时，方程有两个相等的实数根；△<0时，方程没有实数根；4.一元二次方程的求根公式是什么？

导入新课(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-

5x+6=0；(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两

根x1x2x2-2x+1=0x2

+3x-10=02x2+3x+1=0112-5-121-3-10方程的两根

x1和

x2

与系数

a，b，c有什么关系？解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？思考：讲授新课知识点一

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程

(x-

x1)(x-

x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？若将此方程化为

x2+px+q=0的形式，你能看出

x1，x2与

p，q之间的关系吗？方程

x2+px+q=0的两根

x1，x2

满足上面两个关系式(x-

x1)(x-

x2)=0x2

-

(x1+x2)x+x1·x2=0x2+px+q=0x1+x2=-p，

x1·x2=q思考：猜想：讲授新课证明：注：b2-4ac≥0讲授新课一元二次方程的根与系数的关系

如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为

x1，x2，那么满足上述关系的前提条件△=b2-4ac≥0.特别注意：讲授新课典例精析【例1】求下列方程两根的和与两根的积：(1)

x2＋2x－5＝0；(2)2x2＋x＝1.

讲授新课练一练1、利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

（1）x2+7x+6=0;（2）2x2-3x-2=0.解：a=1,b=7,c=6.

Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,

x1x2=6.解：a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.讲授新课2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得

4-2(k+1)+3k=0解这方程，得

k=-2由根与系数关系，得x1●2＝3k

即

2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.讲授新课知识点二

韦达定理常见的式子求值一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系数学语言文字语言一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.使用条件1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；2.方程有实数根，即Δ≥0.重要结论1.若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q.2.以实数x1，x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0.讲授新课常见的求值式子如下讲授新课【例2】已知x1、x2是一元二次方程

的两根，则解：首先化为一般式

则：典例精析讲授新课

【例3】已知x1、x2是一元二次方程

的两根，则【解题过程】讲授新课练一练

0解：根据题意得α+β=3，αβ=-4，所以原式=

α(α+β)-3α

=3α-3α

=0．讲授新课2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，

求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0

即-8k+4≥0.由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,解得k1=0,k2=4.经检验，k2=4不合题意，舍去.讲授新课解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△＞0，∴k的值为9或-3.∴（）2-4×

=13、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.讲授新课4、已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系

所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=

解得：k=-7；

（2）因为k=-7,所以

则：讲授新课5、设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2)解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2）当堂检测1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m

=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=___,q=____.1-2-33.设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:(1)x1+x2=____;(2)x1·x2=_____;(3)_____;(4)_____.411412当堂检测4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：

3

-19

+m=0.

解得m=16,设另一个根为x1,则：

1×

x1=∴x1=当堂检测5.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2)解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2）当堂检测6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1由根与系数的关系，得当堂检测7、已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

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