24.4 一元二次方程的应用（第3课时）（教学课件）数学冀教版九年级上册

24.4一元二次方程的应用第3课时

几何图形问题数学（冀教版）九年级

上册第二十四章

一元二次方程

学习目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.

导入新课用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？设长为xcm，则宽为解这个方程，得x1＝7，x2＝13.当x＝7cm时，当x＝13cm时，∴这个矩形的长为13cm.讲授新课知识点一

一元二次方程的应用之几何面积问题解：设较短直角边长为

xcm，由题意，得：x2＋(x＋1)2＝72，化简得：x2＋x－24＝0.解这个方程得：∴较长直角边长为∴直角三角形面积＝一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？讲授新课典例精析【例1】一块长方形菜地的面积是150m2.

如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地.求这个长方形菜地的长和宽.解：设原菜地的宽是xm，则长是(x＋5)m．根据题意，得

x(x＋5)＝150，解这个方程，得x1＝10，x2＝－15(不合题意，舍去).10＋5＝15m.答：这个长方形菜地的长是15m、宽是10m.讲授新课练一练1.用一根长100cm的金属丝能否制成面积是600cm2的矩形框子？能否制成面积是800cm2的矩形框子？解：设金属丝折成的矩形框子的长是xcm，则宽是(50－x)cm.①如果矩形框子的面积是600cm2，根据题意，得x(50－x)＝600，解这个方程，得x1＝20，x2＝30.②如果矩形框子的面积是800cm2，根据题意，得x(50－x)＝800，此方程无解.答：能制成面积是600cm2的矩形框子，

不能制成800cm2的矩形框子.讲授新课

讲授新课

讲授新课

讲授新课知识点二

一元二次方程的应用之动态几何问题问题1

如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？30km分析：设缉私艇从C处到B处需航行xh，根据题意，可知△ABC是直角三角形，利用勾股定理可以列出方程．则AB＝60xkm，BC＝75xkm．60km/h75km/h讲授新课

讲授新课则AP=______，PB=___________，BQ=_______，QC=____________.问题2

如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？xcm(6－x)cm2xcm(12－2x)cm分析：设xs后△DPQ的面积等于28cm2.SRt△DAP=_____________________，SRt△PBQ=_____________________，

SRt△QCD=_____________________.

ABCDPQ1cm/s2cm/s讲授新课即x2－6x＋8＝0．

解这个方程，得x1＝2，x2＝4．答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2.ABCDPQ1cm/s2cm/s讲授新课动态几何问题：1.分析动点的运行轨迹，用含未知数的代数式表示线段长度、图形面积等.2.根据图形的相关性质找出能表示实际问题全部意义的相等关系，从而建立适当的方程解决问题.3.对于求得的方程的解要能够根据实际意义进行检验.选择符合实际意义的正确答案.讲授新课典例精析【例2】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若设出发xs后可使△PCQ的面积为9cm²整理，得解得

x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².讲授新课练一练1、《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远？

当堂检测1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=080cmxxxx50cmB当堂检测2.一个直角三角形的两条直角边的和为28cm，面积为96cm2．求这个直角三角形两条直角边及斜边的长.解：设这个直角三角形的一条直角边长为xcm.

解这个方程，得x1＝12，x2＝16．

答：这个直角三角形的直角边长为12cm、16cm，斜边长为20cm.当堂检测

ABCDP解：设点P出发xs后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍.

1cm/sxs

答：点P出发6s后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍.当堂检测解：设AB长是xm.(100-4x)x=400

x2-25x+100=0

x1=5，x2=20

x=20,100-4x=20<25

x=5,100-4x=80>25x=5(舍去)答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.4、如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？DCBA25米当堂检测5.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，

然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm5(2x-10)(x-10)=3000x2-15x-250=0解得x1=25x2=-10(舍去）所以2x=50答：铁板的长50cm,宽为25cm.2xx55当堂检测6.将一根长为24

cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于26

cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？解：(1)设其中一个正方形的边长为x

cm，则另一个正方形的边长为(6−x)cm.依题意，得x2+(6−x)2=26，整理，得x2−6x+5=0，解得x1=1，x2=5，∴1×4=4(cm)，24−4=20(cm)∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是4

cm、20

cm.当堂检测(2)两个正方形的面积之和能等于17

cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.(2)两个正方形的面积之和不能等于17

cm2.理由：依题意，得x2+(6−x)2=17，化简，得2x2−12x+19=0.∵b2−4ac=(−12)2−4×2×19=−8，∴方程无实数解.∴两个正方形的面积之和不能等于17

cm2.当堂检测7．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．

(1)当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？