辽宁朝阳市建平县高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

建平高中2025-2026学年度高二下学期第一次月考数学试卷(考试时间:120分钟,分值:150分)第一部分(选择题共58分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=23+iA.1B.3C.2D.52.已知集合M=−1,3A.∁RM∩NB.M3.已知命题p:∃x∈R,cosx>A.p和q都是真命题B.¬p和qC.p和¬q都是真命题D.¬p和¬4.“圆”在中式建筑中有着广泛的运用,最具代表性的便是园林中的月洞门.如图,某园林中的圆弧形月洞门高为2.5 m，底面宽为1 mA.1.5 mB.1.4 mC.1.35.已知随机变量ξ服从正态分布N2,4，记函数A.f2<C.f1−6.已知随机变量X的分布列如下:X-2012Pm1613n若EX=0,则A.737.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，若空间中存在一点P，满足DP=4A.22C.5268.某空间站由A,B,C三个舱构成,某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展,每个人只能去1个舱,每个舱至少安排1名宇航员,其中宇航员甲只能去A.35B.36C.42D.50二、选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分).9.已知a>b>A.ba<C.ab−10.已知函数fx=AA.φB.直线x=11π18是C.fD.函数fx−11.设A,B是一个随机试验中的两个事件,且PAA.A,B是相互独立事件B.事件AC.PA+三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.x2−2x5的展开式中,13.某产品的研发投入费用x(单位:万元)与销售量y(单位:万件)之间的对应数据如下表所示:x/2.22.64.35.05.9y/3.85.47.010.3512.2根据表中的数据,可得回归直线方程y=2.27x−a,则14.如图所示，在三棱锥A−BCD中，点F在棱AD上，且AF=3FD，E为BC中点，则FE=四、解答题:(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a(1)求B；(2)若a=3,c=2，点D是边BC上的一点，且cos∠ADC=−4516.某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查,统计并得到如下列联表:甲地使用者乙地使用者合计不满意10050150满意200150350合计300200500(1)根据小概率值α=0.01(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研,记4人中乙地人数为X,求X的分布列和数学期望.附录:K2P0.150.10.050.0250.010.001k2.0722.7063.8415.0246.63510.82817.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为78;当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为12.已知输入的问题表达不清晰的概率为1(1)求智能客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列及期望、方差;(3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分,不采纳则不计分.记被采纳的回答数的总得分为Y,若EY≥75,则推广该系统.18.如图,在四棱锥P−ABCD中,已知底面ABCD为直角梯形,AB//DC,AB⊥AD,AB=(1)若E,F分别为棱PD,BC的中点,求证:EF//(2)若四棱锥P−ABCD的体积为16，点M在棱PD(不含端点)上运动，当PMPD为何值时，平面CMB与平面PAD所成二面角的余弦值为19.如图,从椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A为椭圆右顶点,B为椭圆上顶点,且AB(1)求椭圆的方程；(2)在x轴上是否存在一点Q，使得∠MQF2=∠NQF2(3)求ΔOM的面积S1.A根据复数的除法运算化简复数,进而根据共轭复数的定义以及模长公式求解.z=23+i=2.B利用集合的运算,求出∁RN因为N=0,+∞,则∁RN=(−∞,0]3.B根据余弦函数的有界性命题的否定判断¬p,p,根据一次函数和指数函数的单调性命题的否定判断因为∀x∈R,cosx∈−1,1因为y=3x−3是增函数,所以当x>因为y=πx是增函数,所以π3x−3>π0=4.C建立平面直角坐标系,求出圆的一般方程,求其半径长即可.如下图所示,以线段AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,由题意可知A−设圆弧所在圆的方程为x2+将A、B、C三点的坐标代入圆的方程可得14所以圆弧所在圆的一般方程为x2+y2−故该圆的半径为r=故选:C.5.D根据正态分布曲线的对称性即可求解.因为随机变量ξ服从正态分布N2,4,所以该正态分布密度函数曲线的对称轴为因为函数fx=Pξ≤x,所以函数fx是单调递增函数,则又Px所以Px≤1+Px≤36.C易知m+16+1又EX=0,可知−2m+0×16因此DX所以D3X7.A建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得点P到直线BC的距离.以点D为坐标原点,DA、DC、DD1则D0因为DP=4PCP所以点P到直线BC的距离为d=故选:A.8.D以A舱的人数为分类依据,将5人分配到A、B、C有四类不同的安排情形:①甲单独在A舱,其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在B,C舱,有C②甲单独在A舱，其余四人平均分成两组每组2人，安排在B,C有C42③A舱安排2人，其余三人分成两组，一组1人，一组2人，安排在B,C舱，有C④A舱安排3人，其余二人分成两组，安排在B,C有C42综上,不同的安排方法共有8+69.AC利用作差法判断A;举例说明判断BD;利用不等式性质判断C.对于A,由a>b>0>c,得b对于B,取a=2,b=1,c=−3对于C,由a>b>0>c,得a−c>b−c>0,则1b−c>1a−c>0故选:AC10.ABD首先根据函数的图象,求函数的解析式,再根据选项,采用代入验证的方法,判断选项.对于A,由图象可知A=3,T=将点π9,0代入fx的解析式，得3sinπ即φ=−π3+2kπk∈Z.因为对于B,fx对于C,fπ对于D,fx−π18=故选:ABD11.AC利用独立事件、互斥事件的定义与概率公式即可判断选项A、B、C,利用条件概率的定义与公式即可判断选项D.根据概率加法公式可知PA+B=PA+PB选项A:因为PA⋅PB=12×23选项B:若A,B互斥,则PAB=0,但选项C:PBPA+B=选项D:PB∣A=12.80Tr+1=C5rx25−r−2xr=C13.1.33根据回归直线方程经过样本中心点x,yx=2.2+2.6+4.3由回归直线方程经过x,y可得,7.75=2.27×14.1由AF=3FD,E为BC所以FE=−3所以x=12,y15.1(2)sin∠DAC=25(1)根据正弦定理将题设的条件中边的关系转化为角的关系,再结合三角形的内角和定理、诱导公式与正弦的和角公式化简即可求得；(2)由(1)可知C=3π4−A,0<A<3π4;方法1:在△ABC中，由正弦定理可得有关角A的三角函数值,结合角A与角C的关系可得到有关角C的三角函数值,然后由余弦定理可得b的值;在△ADC中,利用∠DAC=π−C+∠ADC可求得sin∠DAC的值;在△ADB中,由正弦定理可得AD的值;最后利用三角形的面积公式即可求得结果.方法2:在△ABC中,由余弦定理可得b=5,由正弦定理可得sinC=15;在(1)依题意，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R,其中又在△ABC中,A+B+C=sin又c=asinB+bsin所以sinC=sinAsinB+sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB,化简得sinAsinB=sin(2)方法1:由(1)知，B=π4，又A+B+C=π，所以在△ABC中,由正弦定理得asinA=c又a=3,c=2,所以3322cosA+22sinA又因为0<A<3π4,所以π2sinC=sin3π4−由余弦定理得b2=a2+在△ADC中,由cos∠ADC=−45所以sin∠在△ADB中，cos∠ADB=cosπ−∠ADC=−cos∠ADC=45，所以sin∠ADB=35所以△ADC的面积为S方法2:由(1)知，B=π4，又A+B+C=π，所以A+在△ABC中，由余弦定理得b2=a2由正弦定理得bsinB=csinC,即在△ADC中,由cos∠ADC=−45,得sin∠ADC=3又∠DAC=π−由正弦定理得bsin∠ADC=ADsinC，即5所以△ADC的面积为S16.(1)零假设H0为:使用者的满意度与区域无关，代入2×K根据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为2:则9名使用者中甲地6人、乙地3人.因为4人中乙地人数为X,所以X的可能取值为0,1,2,3,其对应的概率分别为:PPX的分布列为:X0123P542105141故数学期望为EX17.1(2)EX0123P125124812564125(3)会得到推广，因为EY(1)利用全概率公式,结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解;(2)由二项分布概率模型,计算各可能次数的概率及期望、方差;(3)根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望,并与75比较得出结论.(1)设事件A表示回答被采纳,事件B表示问题表达清晰,则PB则PA(2)由(1)知每个问题的回答被采纳的概率p=45，且每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量X服从二项分布则PXPPPPEX的分布列为:X0123P1125121254812564125(3)随机抽取10个问题,设被采纳的次数为ξ,则有ξ∼B10,45,总得分Y18.(1)取AD的中点为G，连接EG，GF，因为E,F分别为棱PD,BC因为EG⊄平面PAB,FG⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,所以因为EG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G又因为EF⊂平面EFG,所以EF//平面(2)取AB的中点为O，连接PO，CO，因为PA=PB,所以PO⊥AB,又因为PO⊂平面PAB,平面PAB平面PAB∩平面ABCD所以PO⊥平面ABCD即PO为四棱锥P−ABCDV=13PO×又因为AB//CD,AB=2CD=4,又因为AB⊥AD,所以四边形OADC为矩形,所以故以O为坐标原点,OB为x轴正方向,OC为y轴正方向,OP为z轴正方向建立空间直角坐标系