2024福建福州市中考一模数学试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023-2024年九年级第一学期适应性练习（三）数学本试卷共4页，25小题，满分150分，完卷时间120分钟．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．如图，，直线d、e与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．83．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（

）A． B． C． D．4．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（

）A．63° B．126° C．116° D．117°5．下列说法错误的是（

）A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为B．不可能事件发生的概率为0C．买一张彩票会中奖是随机事件D．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球6．如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（

）A． B．1 C． D．7．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．8．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（）

A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．39．设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（

）A． B． C． D．110．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D为BC边上一点，CD＝1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（）A．2 B．3 C． D．2﹣1二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是．

12．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=．13．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是（填序号）．14．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是．15．二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是．16．在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC>60°；②45°<∠ABC<60°；③BD>AB；④AB<DE<AB．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．用适当的方法解下列方程：(1)(2)18．如图，等边三角形的边长为3，点P为上的一点，点D为上的一点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．19．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、．(1)求证：、、三点共线；(2)若，求点到的距离．20．端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？21．如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为．(1)求k的值及点D的坐标．(2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．22．如图，是的切线，切点为，点在上，连接交于点，(1)尺规作图：过点作的另一条切线，切点为点（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若，，，则的半径长是多少？23．为了监控一条生产线上某种零件的生产过程，检验员每隔20分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在一天内抽取的24个零件尺寸的数统计：107.7107.8107.8108.1108.2108.4108.4108.4108.5108.6108.9109.0109.0109.1109.3109.3109.4109.6109.6109.7109.8110.1110.3110.4记零件尺寸的数据为x，根据尺寸的不同范围设置不同的零件等级如下表（m为正数）：尺寸范围零件等级超标零件三级零件二级零件一级零件二级零件三级零件超标零件(1)从这条生产线上随机抽取1个零件，求这个零件恰好是超标零件的概率；(2)记“这24个零件中一级零件不到”为事件A．若（n为正整数），求事件A必然成立的n的最大值．24．如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．（1）如图（1），∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；（2）如图（2），求证：BE＝CF；（3）如图（3），连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．25．已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，且．对于该抛物线上的任意两点，，，，当时，总有．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点的直线与该抛物线交于另一点，与线段交于点．作，与交于点，求的最大值，并求此时点的坐标；（3）若直线与抛物线交于，两点，不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，试探究、之间的数量关系．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义．2．C【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结果．【详解】解∶，故选∶C．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．3．B【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可得答案.【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.4．B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=63°，∴∠A=∠DCE=63°，由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=126°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5．A【分析】利用列表法求解同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，从而可判断A，由不可能事件的概率为0，可判断B，由随机事件的概念可判断C，由必然事件的概念可判断D，从而可得答案.【详解】解：如图，列表如下：所以同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为故A符合题意；不可能事件发生的概率为0，表述正确，故B不符合题意；买一张彩票会中奖是随机事件，表述正确，故C不符合题意；一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球，表述正确，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是随机事件与不可能事件，必然事件的概率，随机事件与必然事件的概念，利用列表法求解随机事件的概率，掌握“不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，利用列表法求解随机事件的概率”是解本题的关键.6．A【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．【详解】解析：四边形是矩形，，，，，，点E、F分别为、的中点，，，，，，．由勾股定理得：，，，，，，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．7．A【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．8．C【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵点A的坐标为（4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴点C的坐标为（﹣3，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，故选：C．

【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．9．A【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解．【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0，∵OA⊥OB，∴，∴，即，，设AB的解析式为：，代入A(a，a²)，解得：，∴，∵，即，∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，故CH的最大值为，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．10．C【分析】过点作于点，根据二次函数的性质，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：如图，过点作于点，，，设，，，，，，在中，，，，，，当时，有最小值，从而有最大值，即有最大值，解得，，其中不符合题意舍去，．当最大时的长为．故选：．【点睛】本题属于综合题，是选择题的压轴题，考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是掌握二次函数最值的问题．11．27【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形面积之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．【详解】解：四边形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．12．##-0.125【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0时，∴m=不合题意，故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．13．①②③【分析】利用树状图得出三人分别赢得概率，然后依次判断即可．【详解】解：画树状图得：所以共有8种可能的情况.三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）==；出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）=；出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）=，∵，∴小强赢的概率最小，①正确；小亮和小文赢的概率均为，②正确；小文赢的概率为，③正确；三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误；故答案为：①②③．【点睛】题目主要考查利用树状图求概率，熟练掌握运用树状图求概率的方法是解题关键．14．【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，，，，根据与的周长比等于相似比可得，故答案为：．【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．15．【分析】根据二次函数的图象性质分类讨论即可；【详解】∵二次函数，，∴函数图像开口向下，对称轴，①当，即时，当时，y随x的增大而减小，，当时，或，不符合题意；②当时，时，y随x的增大而增大，x=0时，恒成立，此时都满足题意；时，，，即当时，y在随x的增大而增大，∴x=0时，，符合题意，则此情况下；③当时，即，当时，，当时，，∵的最小值为1，∴，，此时，综上：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，结合不等式的求解计算是解题的关键．16．②④【分析】将所给四个条件逐一判断即可得出结论．【详解】解：在中，①当∠BAC>60°时，若时，点E与点A重合，不符合题意，故①不满足；②当∠ABC时，点E与点A重合，不符合题意，当∠ABC时，点E与点O不关于AD对称，当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，所以，当45°<∠ABC<60°时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故②满足条件；③当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故③不满足条件；④当AB<DE<AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故④满足条件；所以，要使得与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是45°<∠ABC<60°或AB<DE<AB故答案为②④【点睛】本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．17．(1)x1＝，x2＝2(2)：x1＝﹣3，x2＝2【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【详解】（1）解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，x﹣2+2x＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝，x2＝2；（2）解：（x﹣1）（x+2）＝4，整理，得x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x+3＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出．（1）由等边三角形和得，，在中，，由此可得．因此，则；（2）由（1）的结论可得，从而可以求出线段的长．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴；（2）解：∵等边三角形边长为3，，∴，∵，∴，∴．19．(1)见解析(2)【分析】（1）连接BD，证明即可；（2）先求得DE=BC=2，再结合（1）的结论可得BE，作于点H，根据即可求解．【详解】（1）连接，由旋转的性质，可得，，，∴是等边三角形，∴，∴，即，∴、、三点共线；（2）由（1）证得是等边三角形，∴，，∵，∴，由旋转的性质，可得，∵、、三点共线，∴，作于点H，在中，，即，即，∴到的距离为．【点睛】本题考查了旋转的性质、解直角三角形的知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键．20．(1)种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元(2)当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；（2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可．【详解】（1）解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，根据题意得，，解得，故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，根据题意得，，∵，∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．21．(1)，；(2)；【分析】（1）由C点坐标可得k，再由D点纵坐标可得D点横坐标；（2）由C、D两点的横坐标即可求得P点横坐标取值范围；【详解】（1）解：把C（2，2）代入，得，，∴反比例函数函数为（x＞0），∵AB⊥x轴，BD=1，∴D点纵坐标为1，把代入，得，∴点D坐标为（4，1）；（2）解：∵P点在点C（2，2）和点D（4，1）之间，∴点P的横坐标：；【点睛】本题考查了反比例函数解析式，坐标的特征，数形结合是解题关键．22．(1)见解析(2)的半径长是【分析】（1）根据切线长定理，作，交与点，即可求解；（2）连接，根据平行线的性质得出，根据是的切线，可得，，则设的半径长是，由，，可得，，在中，勾股定理即可求解．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，连接，∵，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，设的半径长是，∵，，则，，在中，，∴，解得：或（舍去），∴的半径长是．【点睛】本题考查了切线长定理，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握切线长定理是解题的关键．23．(1)(2)2【分析】本题考查了概率计算、必然事件以及不等式的应用，理解概率的概念是关键．（1）由表中数据可知，24个零件中，超标零件共有6个，根据概率公式即可得到结论；（2）根据已知条件得到一级零件的个数最多是4个，得到这四个零件的尺寸是，，，，根据事件A必然成立，确定，解得，于是得到结论.【详解】（1）解：由表中数据可知，24个零件中，超标零件共有6个，∴从这条生产线上随机抽取1个零件，估计这个零件恰好是超标零件的概率是：．（2）解：∵这24个零件中一级零件不到，且，一级零件的个数最多是4个，这四个零件的尺寸是．∵事件A必然成立，又∵，，，即，解得．是正整数，的最大值为2．24．(1)45°；（2）证明见解析；（3）．【分析】(1)连接DF，作AM⊥DF，AN⊥EF，垂足分别为M、N，证四边形AMFN是正方形即可；(2)连接AC，作AN⊥EF，垂足为N，证△CAF∽△BAN，列比例式即可；(3)连接AC，取AC中点O，连接OG，根据中位线性质确定G点运动轨迹，再根据弧长公式计算即可．【详解】解:(1)连接DF，作AM⊥DF，AN⊥E