中考数学课件第20课特殊三角形

第20课特殊三角形1.等腰三角形(1)性质1：等边对等角，即等腰三角形的两个底角相等.(2)性质2：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合.(3)判定：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形.1.(1)等腰三角形的一个内角为80°，则顶角的度数为___________.(2)如图，三线合一几何语言：①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝____，∠1＝____；②∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴CD＝____，AD____BC；③∵AB＝AC，AD为中线，∴AD____BC，∠1____∠2.20°或80°CD∠2BD⊥⊥＝(3)根据条件判断下列三角形是否是等腰三角形.是是否2.等边三角形(1)性质：①边：三边相等；②角：三角相等，都等于60°；③三线合一；④有3条对称轴.(2)判定：判定1：三边都相等的三角形是等边三角形；判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.(3)等边三角形的面积公式：①S等边三角形ABC＝

BC·AD；②S等边三角形ABC＝

AB2.2.(1)根据条件判断下列三角形是否是等边三角形.是是是(2)如图，等边三角形ABC的边长为2，BD⊥AC于点D，下列说法错误的是

(

)A.BD是△ABC的高、中线、角平分线B.AD＝CDC.∠1＝∠2＝30°D.S等边三角形ABC＝6D3.直角三角形(1)直角三角形的性质：①两锐角互余；②勾股定理：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2；③斜边上的中线等于斜边的一半；④30°角所对的直角边等于斜边的一半.(2)直角三角形的判定：①有一个直角的三角形叫作直角三角形；②勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.几何语言：∵a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°.3.(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.①∠A＋∠B＝_____；②BC2＋AC2＝_____；③若D为AB中点，则CD___

AB；④若∠A＝30°，则___＝

AB.90°AB2＝BC(2)①下列四组线段中，不能构成直角三角形的是()A.3，4，5B.5，13，12C.6，8，10D.4，5，6②判断下列三角形是不是直角三角形？D是是是4.等腰直角三角形等腰直角三角形的两直角边相等，两个锐角都等于45°.4.如图，点D是等腰直角三角形ABC的中点，则图中共有___个等腰直角三角形.35.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为(

)A.70°B.100°C.110°D.140° C6.有一个等腰三角形模型(如图)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是()A.4mB.6mC.10mD.12mB7.如图，AB＝AC,CD⊥AB,BE⊥AC，垂足分别为D,E.(1)求证：△ABE≌△ACD；

(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠ADC＝90°.

∴△ABE≌△ACD(AAS).在△ABE和△ACD中，

(2)若AE＝6，CD＝8，求BD的长.

(2)解：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6.

∴AB＝AC＝10.∴BD＝AB－AD＝10－6＝4.

在Rt△ACD中，AC＝＝10，

8.如图，在△ABC中，D为边BC的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.(1)求证：△BDE≌△CDA.

证明：(1)∵D为BC的中点，∴BD＝CD.

∵BE∥AC，

∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD.

∴△BDE≌△CDA(AAS).

在△BDE和△CDA中，(2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE.

证明：(2)∵D为BC的中点，AD⊥BC，

∴直线AD为线段BC的垂直平分线.∴BA＝CA.

由(1)可知△BDE≌△CDA，∴BE＝CA.∴BA＝BE.

9.(2024陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有(

)A.2个B.3个C.4个D.5个 C10.(2025安徽)如图，在△ABC中，∠A＝120°，

AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是(

)A.4B.6C.2D.3

B11.图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺.设AC的长度为x尺，可列方程：_________________.x2＋22＝(x＋0.5)212.如图，小明同学复习时将几种三角形的关系作了如下整理，则下列说法正确的是()A.条件①是∠B＝∠C

B.条件②是∠A＝90° C.条件③是∠B＝∠C

D.条件④是AB＝AC或∠B＝∠CD13.如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，

BC＝DE.

(1)求证：△ABC≌△ADE；∴△ABC≌△ADE(SAS).(1)证明：在△ABC和△ADE中，

(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数.

(2)解：由(1)，得△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.

∴△ACE是等边三角形.

∴∠ACE＝60°.

14.如图，翻折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN后将纸片展平；再一次翻折，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于点E；延长PF交AB于

点G.求证：(1)△AFP≌△AFG；证明：(1)由折叠可得，M，N分别是AD，BC的中点.

∵CD∥MN∥AB，

∴F为PG的中点，即PF＝GF.

由折叠可得∠PFA＝∠D＝90°，

∴△AFP≌△AFG(SAS).在△AFP和△AFG中，

证明：(2)由折叠知∠1＝∠2，由(1)知△AFP≌△AFG，∴∠2＝∠3＝∠1＝30°，AP＝AG.

∴∠PAG＝∠2＋∠3＝60°.∴△APG为等边三角形.(2)△APG为等边三角形.

15.(2024新疆)【探究】

(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.①如图1，当点D在BC上时，连接CE.请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；

②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；解：(1)①CE＋CD＝CA.理由如下：

∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°.

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.

∴△ABD≌△ACE(SAS).∴CE＝BD.

∵BD＋CD＝BC，∴CE＋CD＝CA.在△ABD和△ACE中，②CA＋CD＝CE.理由如下：

∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°.∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.

∴△ABD≌△ACE(SAS).∴CE＝BD.

∵CB＋CD＝BD，∴CA＋CD＝CE.

在△ABD和△ACE中，

【运用】

(2)如图3，在等边三角形ABC中，AB＝6，点E在AC上，CE＝2.D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF.当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长.

②如图5，当点D在点H右侧，且在线段CH上时，同理可得△EDH≌△EFC(SAS)，

解：(2)过点E作EH∥AB交BC于点H，则△EHC为等边三角形.

①如图4，当点D在点H左侧时，

易得ED＝EF，∠DEH＝∠FEC，EH＝EC，

∴△EDH≌△EFC(SAS).∴∠ECF＝∠EHD＝120°，此时△CEF不可能为直角三角形.

∴∠FCE＝∠DHE＝60°，

∠FEC＝∠DEH<∠HEC＝60°，③如图6，当点D在点H右侧，且在HC的延长线上时，此时只有∠CEF有可能为90°.

此时只有∠CFE有可能为90°.

当∠CFE＝90°时，∠EDH＝90°，∴ED⊥CH.

∵∠DEF＝60°，∴∠CED＝30°.∵∠ECH＝60°，∴∠EDC＝∠CED＝30°.

∵CH＝CE＝2，∴CD＝

CH＝.

又∵AB＝6，∴BD＝BC－CD＝6－.

∴CD＝CE＝2.∴BD＝BC＋CD＝6＋2.

综上所述，BD的长为6－或6＋2.

16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则

点C到AB的距离是

(

)A.

B.

C.

D.

A17.(2024广州)如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，若AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(

)A.18B.9C.9D.6 C18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，且AF＝4，

EF＝，则AC＝_____.

19.(2024湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为_____°.20.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为___.

100621.如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(

)A.45°B.39°C.29°D.21° B22.(2025甘肃)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为(

)A.2B.2.5C.2D.4 A23.(2025广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.如表中的每一组数都是勾股数.3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，__，2614，48，5018，80，8222，120，122(1)请补全如表中的勾股数.24(2)根据如表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.解：(2)由题意，得a＝k(m2－n2)，b＝2kmn，c＝k(m2＋n2)，其中k，m，n都是正整数，m>n，证明过程如下：∵a＝k(m2－n2)，b＝2kmn，c＝k(m2＋n2)，∴a2＝k2(m2－n2)2＝k2(m4－2m2n2＋n4)

＝k2m4－2k2m2n2＋k2n4，b2＝4k2m2n2，c2＝k2(m2＋n2)2＝k2(m4＋2m2n2＋n4)＝k2m4＋2k2m2n2＋k2n4.∴a2＋b2＝k2m4－2k2m2n2＋k2n4＋4k2m2n2

＝k2m4＋2k2m2n