中考数学一轮课件第28课与圆有关的位置关系

第28课与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系若⊙O的半径为r，圆心O到点P的距离为d，(1)d＜r⇔点P在圆内；(2)d＝r⇔点P在圆上；(3)d＞r⇔点P在圆外.1.若⊙O的半径为2.(1)若线段OP＝3，则点P在圆___；(2)若线段OP＝1，则点P在圆___；(3)若线段OP＝2，则点P在圆___.外内上2.直线与圆的位置关系若⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.(1)d＜r⇔直线与圆相交；(2)d＝r⇔直线与圆相切；(3)d＞r⇔直线与圆相离.2.若⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为d.(1)当d＝3，则直线与圆_____；(2)当d＝2，则直线与圆_____；(3)当d＝1，则直线与圆_____.相离相切相交3.切线的性质与判定(1)性质：性质①：圆心到切线的距离等于半径；性质②：圆的切线垂直于过切点的半径.(2)判定：判定①：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定②：设圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，若d＝r，则直线l和⊙O相切.判定③：若直线与圆有且只有一个公共点，则这条直线是圆的切线(定义判定).3.(1)(2025安徽)如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为____°；20(2)(2024江西)如图，AB是半圆O的直径，D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC.求证：BD是半圆O的切线.证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠ABC＝90°.∵∠D＝∠ABC，∴∠D＋∠A＝90°.∴∠ABD＝90°.∵AB是半圆O的直径，∴BD是半圆O的切线.4.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.4.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，下列选项错误的是(

)A.

PA＝PBB.

PO平分∠BPAC.D.

PO＝2AOD5.三角形的外心与内心(1)三角形的外心：①定义：三角形外接圆的圆心；②性质：外心到三个顶点的距离相等；③作法：作三角形两边的垂直平分线，其交点为外接圆的圆心.(2)三角形的内心：①定义：三角形内切圆的圆心；②性质：内心到三边的距离相等；③作法：作三角形的两条角平分线，其交点为内切圆的圆心.5.(1)△ABC中，∠C为直角，AB＝2，则这个三角形的外接圆半径为___；(2)如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(

)A.

三条边的垂直平分线的交点B.

三条角平分线的交点C.

三条中线的交点D.

三条高的交点1B6.(2024深圳)如图，在△ABD中，AB＝BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E.

(1)求证：DE⊥BE；

(1)证明：如图，连接BO并延长交AD于点H，连接OD，∵AB＝BD，OA＝OD.∴BO垂直平分AD.

∴∠BHD＝90°.∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE.

∴∠OBE＝90°.∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.

∴四边形BEDH为矩形.∴∠E＝90°.∴DE⊥BE.

7.如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE.(1)写出图中一个与∠DEC相等的角：__________________；

∠DCE(或∠AEO)(2)求证：OD⊥AB；

(2)证明：如图，连接OC，

∴∠AOE＝90°.∴OD⊥AB.∵PC与半圆相切于点C，∴∠OCD＝90°.

∴∠DCE＋∠ACO＝90°.

∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.

∵∠DCE＝∠DEC＝∠AEO，

∴∠A＋∠AEO＝90°.(3)若OA＝2OE，DF＝2，求PB的长.

(3)解：设OE＝x，则AO＝2x，∴EF＝OF－OE＝x.

∴DC＝DE＝x＋2，OD＝2x＋2.

∵OC2＋DC2＝OD2，∴(2x)2＋(x＋2)2＝(2x＋2)2，

解得x＝4或x＝0(不符合题意，舍去).

∴OD＝10，OC＝OB＝8，CD＝6.

∵∠D＝∠D，∠OCD＝∠POD＝90°，∴△COD∽△OPD.

∴

，解得PO＝

.

∴BP＝PO－OB＝

.8.如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连接DE.

(1)求证：CA是⊙O的切线；

(1)证明：如图，连接OA，

∵BE是⊙O的直径，

∴∠BAE＝90°.

∴∠BAO＋∠OAE＝90°.

∵OA＝OB，∴∠ABC＝∠BAO.

∵∠EAC＝∠ABC，∴∠CAE＝∠BAO.

∴∠CAE＋∠OAE＝90°，即∠OAC＝90°.

∵OA是⊙O的半径，

∴CA是⊙O的切线.

(2)当AC＝8，CE＝4时，求DE的长.

(2)解：∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，

∴△ABC∽△EAC.∴BE＝BC－CE＝12.

如图，连接BD，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD.∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°.

∴

，解得BC＝16.

∴

.∴BD＝DE.

∴DE＝BD＝

BE＝6.9.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点.(1)求证：AB与半圆O相切；

(1)证明：如图，连接OD，OA，过点O作OH⊥AB于点H，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.

∵AC与⊙O相切于点D，∴OD⊥AC.

又∵OH⊥AB，∴OH＝OD.

∴AB是半圆O的切线，即AB与半圆O相切.

(2)连接OA.若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值.

(2)解：由(1)知OD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝OC2，

∴OD2＋42＝(OD＋2)2，解得OD＝3.

∴OC＝5.∴cosC＝

.

在Rt△OCA中，cosC＝

，

∴sin

∠OAC＝

.10.(2024湖北)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

∴△OBD≌△OBC(SSS).

∴∠ODB＝∠OCB＝90°，即OD⊥AB.

∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线.在△OBD和△OBC中，

(1)证明：如图，连接OD，

11.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝____，BD＝____；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为____；(2)如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N.求证：MN是⊙O的切线.

ADBE1(2)证明：如图2，过点O作OH⊥MN于点H，连接OD，OE，OF，

∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，

∴△AMN≌△ABC(AAS).∴AN＝AC.

∵AD＝AF，∴AN－AD＝AC－AF，即DN＝CF.

∵∠OEC＝∠OFC＝∠ACB＝90°，

∴四边形OECF是矩形.∴CF＝OE.∴DN＝OE. 同理四边形OHND是矩形，∴OH＝DN. ∴OH＝OE，即OH是⊙O的半径. ∵OH⊥MN，

∴MN是⊙O的切线.12.(2024广州)如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是(

)A.点P在⊙O上

B.点P在⊙O内

C.点P在⊙O外

D.无法确定

C13.一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘按如图所示的方式摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径长是(

)A.3B.3C.6D.6 DD14.如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则BF＋CE－BC的值和∠FDE的大小分别为(

)A.2r，90°－α

B.0，90°－α

C.2r，90°－D.0，90°－15.点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为_____________.

16.(2025福建)如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(

)A.30°B.45°C.60°D.75°55°或125°C17.(2024烟台)如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE. (1)若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；

解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

又∵∠ABC＝25°，∴∠CAB＝90°－25°＝65°.

∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，∴∠CEB＋∠CAB＝180°.

∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°.(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；

∵点I为△ABC的内心，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD.

∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI，∠DIA＝∠ACI＋∠CAI，∴∠DAI＝∠DIA.∴DI＝AD＝BD.

∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI＝

∠ACB＝45°.∴