第10节一次函数及其应用

第10节一次函数及其应用一、一次函数1．定义一般地，形如_____________

(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数；特别地，若b＝0，y＝kx＋b即_________，称此函数为正比例函数．y＝kx＋by＝kx正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(0，0)和点(1，_________)的一条直线一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(0，_________)和点(_________，0)的一条直线图象关系一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到．当b>0时，向_________平移_________个单位长度；当b<0时，向_________平移_________个单位长度kb上b下－b函数系数取值大致图象经过的象限性质y＝kx(k≠0)k>0

第_________象限y随x的增大而_________k<0

第_________象限y随x的增大而_________一、三增大二、四减小函数系数取值大致图象经过的象限性质y＝kx＋b(k≠0)k>0，b>0

第___________象限y随x的增大而_______k>0，b<0

第____________象限一、二、三一、三、四增大函数系数取值大致图象经过的象限性质y＝kx＋b(k≠0)

k<0，b>0

第____________象限y随x的增大而_______k<0，b<0

第____________象限一、二、四二、三、四减小提示一次函数的解析式y＝kx＋b(k≠0)中，(1)k决定图象的倾斜方向和增减性：当k>0时，从左向右看图象呈上升趋势，y随着x的增大而增大；当k<0时，从左向右看图象呈下降趋势，y随着x的增大而减小．(2)b决定图象与y轴的交点位置：当b>0时，函数图象与y轴的交点在x轴上方；当b<0时，函数图象与y轴的交点在x轴下方．4．一次函数解析式的确定(1)待定系数法确定函数解析式①一设：设一次函数解析式为y＝kx＋b；②二列：找出函数图象上的两个点，并将其坐标分别代入函数解析式，得到一个方程组；③三解：解方程组，求出待定系数；④四还原：将所求待定系数k，b的值代入所设的函数解析式中．(2)一次函数图象平移后解析式的确定方法一：通过特殊点确定①设直线y＝kx＋b平移后的解析式为y＝kx＋b′；②在平移前的直线上找一点，根据平移方式求其平移后的对应点；③将该点的坐标代入y＝kx＋b′，求得b′的值即可．方法二：根据图象的平移规律确定平移前的解析式平移方式(m>0)平移后的解析式简记y＝kx＋b(k≠0)向左平移m个单位长度y＝k(x＋m)＋bx左加右减向右平移m个单位长度y＝k(x_________)＋b向上平移m个单位长度y＝kx＋b_________等号右边整体上加下减向下平移m个单位长度y＝kx＋b_________－m＋m－m二、一次函数与一次方程(组)及一元一次不等式的关系横坐标交点坐标一次函数与一元一次不等式的关系(1)不等式kx＋b＞0的解集⇔直线y＝kx＋b位于x轴_________方的部分对应的自变量的取值范围．(2)不等式kx＋b＜0的解集⇔直线y＝kx＋b位于x轴_________方的部分对应的自变量的取值范围．(3)不等式___________________的解集⇔直线y＝kx＋b位于直线y＝k1x＋b1上方的部分对应的自变量的取值范围上下kx＋b＞k1x＋b1√√√4．一次函数y＝(2m－10)x＋2m－8的图象不经过第三象限，则m的取值范围是(

)A．m<5 B．m>4C．4≤m<5 D．4<m<5解析：由一次函数y＝(2m－10)x＋2m－8的图象不经过第三象限，则图象经过第一、二、四象限或第二、四象限，那么2m－10<0，2m－8≥0，解得m的取值范围为4≤m＜5．√5．已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，－1≤y≤8，则此函数图象与y轴的交点坐标是________．考点一一次函数的图象与性质√A

B

C

D1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx－k的大致图象是(

)

解析：因为一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，所以k<0，b>0，所以－k>0，所以一次函数y＝bx－k的图象经过第一、二、三象限．故选B．√3．(2025·西安一模)已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点A(－m，12)，B(－3，m)，且y随x的增大而减小，则k的值是(

)A．－4 B．4C．－2 D．2√√A

BC

D解析：当x＝1时，两个函数的函数值均为y＝a＋a2，即两个图象都过点(1，a＋a2)，故选项A，C均不符合题意；当a>0时，a2>0，一次函数y＝ax＋a2的图象经过第一、二、三象限，一次函数y＝a2x＋a的图象经过第一、二、三象限，都与y轴正半轴有交点，故选项B，D均不符合题意；当a<0时，a2>0，一次函数y＝ax＋a2的图象经过第一、二、四象限，与y轴正半轴有交点，一次函数y＝a2x＋a的图象经过第一、三、四象限，与y轴负半轴有交点，故选项D符合题意．故选D．考点二一次函数解析式的确定[探究1]将函数y＝3x－2的图象向右平移2个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为(

)A．y＝3x－4 B．y＝3xC．y＝3x－8 D．y＝3x＋8√[探究2]已知直线y＝mx＋n与直线y＝3x－2关于y轴对称，则m＝________，n＝________．答案：－3－2[探究3]在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝3x－2绕原点O逆时针旋转90°后得到的直线所对应的函数解析式为________．几何变换对k，b的影响(1)平移：k不变．(2)轴对称：两直线关于x轴对称，k，b均互为相反数；两直线关于y轴对称，k互为相反数，b不变．(3)旋转：借助旋转确定对应点的坐标，用待定系数法求旋转后所得图象的解析式．考点三一次函数的应用(1)分别求小明跑步和步行的速度；解：由题图易知，家与图书馆之间的路程为4000m，小明步行的速度为(4000－2000)÷(30－10)＝100(m/min)；小明跑步的速度为2000÷10＝200(m/min)．(2)求点D的坐标；(3)两人出发多长时间相遇？解：由题图可知，两人相遇是在小明跑步时，4000÷(200＋300)＝8(min)，即两人出发8min相遇．(4)求小明离家的路程y(m)关于x(min)的函数解析式；2．(2025·张掖一模)甲、乙两地相距360千米，快、慢两车从甲地同时出发，匀速行驶，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，慢车到达乙地后结束行程，快、慢两车距甲地的路程y(千米)与出发后所用的时间x(小时)的关系如图所示．(1)分别求OE和BD的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)；(2)求点C的坐标，并说明点C的实际意义；(3)求在慢车到达乙地前，快、慢两车相距的路程不超过150千米的时长．命题角度2

“优化性”问题3．某公司生产的一种产品在市场上很受欢迎，该公司每年的产量为6万件，可在国内和国外两个市场全部销售．若在国外销售，平均每件产品的利润y1(元)与国外销售量x(万件)之间的函数关系如图所示．若在国内销售，平均每件产品的利润为y2＝84元，设该公司每年在国内和国外销售的总利润为W万元．(1)求y1与x之间的函数解析式，并求x的取值范围；(2)该公司每年在国内、国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？(3)该公司计划从国外销售的每件产品利润中捐出2m(1≤m≤4)元给希望工程，从国内销售的每件产品利润中捐出m元给希望工程，且国内销售量不低于4万件，若这时国内外销售的总利润的最大值为520万元，求m的值．解：因为该公司计划在国内销售量不低于4万件，即6－x≥4，则x≤2，所以该公司每年在国外的销售量x的取值范围为0<x≤2．则总利润W′＝(100－2m)x＋(84－m)(6－x)＝(16－m)x＋504－6m，因为1≤m≤4，所以16－m>0，则当x＝2时，W′取得最大值．依题意得2(16－m)＋504－6m＝536－8m＝520，解得m＝2．故m的值是2．4．(2025·西宁一模)某旅游纪念品商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品和两件B种商品可获利80元，销售三件A种商品和一件B种商品可获利90元．(1)求销售一件A种商品和一件B种商品各获利多少元？(2)该旅游纪念品商店计划一次性购进A，B两种商品共30件，其中A种商品数量不少于10件，将其全部销售完可获总利润为w元．设购进A种商品a件．①求w与a的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；②利用函数图象性质，当购进A种商品多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？解：①w＝20a＋30(30－a)，即w＝－10a＋900．②因为－10<0，所以w随a的增大而减小，由题意知a≥10，所以当a＝10时，w最大，w＝－10×10＋900＝800(元)．答：当购进A种商品10件时，商店可获利最大，最大利润是800元．命题角度3方案设计问题5．(2025·西宁一模)2025年某演唱会在我市体育馆进行，市文化局、广电局在策划本次活动，与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为x(张)，总费用为y(元)．方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；(总费用＝广告赞助费＋门票费)方案二：直接购买门票方式如图所示．解答下列问题：(1)方案一中，求y与x的函数关系式；方案二中，当0≤x≤100时，求y与x的函数关系式；解：方案一：赞助费为8000元，每张门票费用为50元，所以y＝8000＋50x；方案二：当0≤x≤100时，门票单价为8000÷100＝80(元)，所以y＝80x．(2)当x>100时，求y与x的函数关系式；(3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场演唱会门票共700张，花去总费用56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？6．(2024·咸阳模拟)“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车乙型客车载客量(人/辆)4560租金(元/辆)8001200倘若甲、乙两种型号的客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)请你设计一种租车方案，要求费用最省．考点四一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系√[练习2]直线l1：y1＝2x－2与x轴交于点D，直线l2：y2＝kx＋b与x轴交于点A，且经过点B(3，1)，两直线相交于点C(m，2)．(1)求直线l2的解析式和点C的坐标；(2)当x取何值时，kx＋b≥2x－2?解：由题中图象知，当x≤2时，kx＋b≥2x－2．(3)求△ADC的面积．在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x，y)移动到点(x＋2，y＋1)称为1次甲方式；从点(x，y)移动到点(x＋1，y＋2)称为1次乙方式．例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M(4，2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2，4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3，3)．新定义(1)设直线l1经过上例中的点M，N，求l1的解析式；并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x，y)．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x，y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；解：①因为点P从原点O出发连续移动10次，点P按甲方式移动了m次，所以点P按乙方式移动了(10－m)次．点P按甲方式移动m次后得到的点的坐标为(2m，m)，点(2m，m)按乙方式移动(10－m)次后得到的点的横坐标为2m＋10－m＝m＋10，纵坐标为m＋2(10－m)＝20－m，所以x＝m＋10，y＝20－m．②由于x＋y＝m＋10＋20－m＝30，所以直线l3的解析式为y＝－x＋30，l3的图象如图所示．(3)在(1)和(2)中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，写出此时a，b，c之间的关系式．解：因为点A，B，C的横坐标依次为a，b，c，且分别在直线l1，l2，l3上，所以A(a，－a＋6)，B(b，－b＋15)，C(c，－c＋30)．设直线AB的解析式为y＝px＋q，把A，B两点的坐标分别代入，√√√√√√7．(2025·西宁三模)一次函数y＝kx＋1的函数值y随x的增大而减小，则它的图象不经过第________象限．答案：三8．(2024·平凉一模)若点A