2026年高考数学数列与数学归纳法巩固题集

2026年高考数学数列与数学归纳法巩固题集一、选择题（每题5分，共20分）1.（5分）等差数列{a<0xE2><0x82><0x99>}的前n项和为S<0xE2><0x82><0x99>，若a<0xE1><0xB5><0xA3>＝－10，a<0xE1><0xB5><0xA4>＝－4，则该数列的公差为（）A.3B.4C.5D.62.（5分）在等比数列{b<0xE2><0x82><0x99>}中，b<0xE1><0xB5><0xA3>＝1，b<0xE1><0xB5><0xA4>＝2，则b<0xE1><0xB5><0xB3>的值为（）A.4B.8C.16D.323.（5分）已知数列{c<0xE2><0x82><0x99>}满足c<0xE1><0xB5><0xA3>＝1，c<0xE1><0xB5><0xA4>＝3，且对任意n∈N，有c<0xE2><0x82><0x99>＋c<0xE2><0x82><0x99>＋1＝c<0xE2><0x82><0x99>＋1，则c<0xE1><0xB5><0xB3>的值为（）A.5B.7C.9D.114.（5分）用数学归纳法证明“1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n<0xE2><0x82><0x99>”时，第一步验证n＝1时的情况，则左边的表达式为（）A.1B.1＋3C.1＋3＋5D.1＋3＋5＋7二、填空题（每题6分，共24分）5.（6分）等差数列{a<0xE2><0x82><0x99>}的前n项和为S<0xE2><0x82><0x99>＝3n<0xE2><0x82><0x99>－2n，则该数列的通项公式a<0xE2><0x82><0x99>＝________。6.（6分）等比数列{b<0xE2><0x82><0x99>}中，b<0xE1><0xB5><0xA3>＝－1，b<0xE1><0xB5><0xA4>＝2，则该数列的前4项和S<0xE1><0xB5><0xB3>＝________。7.（6分）数列{d<0xE2><0x82><0x99>}满足d<0xE1><0xB5><0xA3>＝1，d<0xE1><0xB5><0xA4>＝2，且对任意n∈N，有d<0xE2><0x82><0x99>＋d<0xE2><0x82><0x99>＋1＝d<0xE2><0x82><0x99>＋1，则d<0xE1><0xB5><0xB3>＝________。8.（6分）用数学归纳法证明“n<0xE2><0x82><0x99>＜2n”时，第一步验证n＝1时的情况，则左边的表达式为________。三、解答题（共56分）9.（10分）已知数列{a<0xE2><0x82><0x99>}是等差数列，且a<0xE1><0xB5><0xA3>＝5，a<0xE1><0xB5><0xA4>＝9。（1）求该数列的通项公式；（2）若该数列的前n项和为S<0xE2><0x82><0x99>，求S<0xE1><0xB5><0xB3>。10.（10分）已知数列{b<0xE2><0x82><0x99>}是等比数列，且b<0xE1><0xB5><0xA3>＝－2，b<0xE1><0xB5><0xA4>＝4。（1）求该数列的通项公式；（2）若该数列的前n项和为S<0xE2><0x82><0x99>，求S<0xE1><0xB5><0xB3>。11.（12分）已知数列{c<0xE2><0x82><0x99>}满足c<0xE1><0xB5><0xA3>＝1，c<0xE1><0xB5><0xA4>＝3，且对任意n∈N，有c<0xE2><0x82><0x99>＋c<0xE2><0x82><0x99>＋1＝c<0xE2><0x82><0x99>＋1。（1）求c<0xE1><0xB5><0xB3>的值；（2）用数学归纳法证明：对任意n∈N，有c<0xE2><0x82><0x99>＝2n－1。12.（14分）用数学归纳法证明“1＋4＋7＋…＋（3n－2）＝n<0xE2><0x82><0x99><0xE2><0x82><0x99>”。答案与解析一、选择题1.A解析：等差数列的公差d＝a<0xE1><0xB5><0xA4>－a<0xE1><0xB5><0xA3>＝－4－（－10）＝6。2.B解析：等比数列的公比q＝b<0xE1><0xB5><0xA4>÷b<0xE1><0xB5><0xA3>＝2÷（－1）＝－2，则b<0xE1><0xB5><0xB3>＝b<0xE1><0xB5><0xA3>q<0xE1><0xB5><0xB3>－1＝（－1）×（－2）<0xE1><0xB5><0xB3>－1＝8。3.B解析：由c<0xE2><0x82><0x99>＋c<0xE2><0x82><0x99>＋1＝c<0xE2><0x82><0x99>＋1可得，c<0xE1><0xB5><0xB3>＝c<0xE1><0xB5><0xA3>＋c<0xE1><0xB5><0xA4>－1＝1＋3－1＝3，再递推得c<0xE1><0xB5><0xB4>＝3＋1－3＝1，c<0xE1><0xB5><0xB3>＝1＋3－1＝3。4.A解析：第一步验证n＝1时，左边表达式为1。二、填空题5.3n－1解析：等差数列的通项公式a<0xE2><0x82><0x99>＝S<0xE2><0x82><0x99>－S<0xE2><0x82><0x99>－1＝3n－2－3（n－1）＋2＝3n－1。6.2解析：等比数列的公比q＝b<0xE1><0xB5><0xA4>÷b<0xE1><0xB5><0xA3>＝2÷（－1）＝－2，则前4项和S<0xE1><0xB5><0xB3>＝b<0xE1><0xB5><0xA3>（1－q<0xE1><0xB5><0xB3>）÷（1－q）＝（－1）×[1－（－2）<0xE1><0xB5><0xB3>]÷（1＋2）＝2。7.5解析：同第3题解析，d<0xE1><0xB5><0xB3>＝c<0xE1><0xB5><0xB3>＝7。8.1＜2三、解答题9.（1）解：设等差数列的公差为d，则d＝a<0xE1><0xB5><0xA4>－a<0xE1><0xB5><0xA3>＝9－5＝4，通项公式a<0xE2><0x82><0x99>＝a<0xE1><0xB5><0xA3>＋（n－1）d＝5＋（n－1）×4＝4n－3。（2）解：前n项和S<0xE2><0x82><0x99>＝n（a<0xE1><0xB5><0xA3>＋a<0xE2><0x82><0x99>－1）÷2＝n（5＋4n－3）÷2＝2n<0xE2><0x82><0x99>－n，则S<0xE1><0xB5><0xB3>＝2×3<0xE2><0x82><0x99>－3＝15。10.（1）解：设等比数列的公比为q，则q＝b<0xE1><0xB5><0xA4>÷b<0xE1><0xB5><0xA3>＝4÷（－2）＝－2，通项公式b<0xE2><0x82><0x99>＝b<0xE1><0xB5><0xA3>q<0xE2><0x82><0x99>－1＝（－2）<0xE2><0x82><0x99>－1。（2）解：前n项和S<0xE2><0x82><0x99>＝b<0xE1><0xB5><0xA3>（1－q<0xE1><0xB5><0xB3>）÷（1－q）＝（－2）（1－（－2）<0xE1><0xB5><0xB3>）÷（1＋2）＝6。则S<0xE1><0xB5><0xB3>＝6。11.（1）解：同第3题解析，c<0xE1><0xB5><0xB3>＝7。（2）证明：①当n＝1时，c<0xE1><0xB5><0xA3>＝1＝2×1－1，结论成立。②假设当n＝k时，c<0xE2><0x82><0x99>＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，c<0xE2><0x82><0x99>＋1＝c<0xE2><0x82><0x99>＋2k＝2k－1＋2k＝4k－1，c<0xE2><0x82><0x99>＋1＝c<0xE2><0x82><0x99>＋2k－1＝2k－1＋2k－1＝4k－2，则c<0xE2><0x82><0x99>＝4k－2＋1＝4k－1＝2（k＋1）－1，即当n＝k＋1时，结论成立。综上，对任意n∈N，有c<0xE2><0x82><0x99>＝2n－1。12.证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1<0xE2><0x82><0x99>＝1，结论成立。②假设当n＝k时，1＋4＋7＋…＋（3k－2）＝k<0xE2><0