高中数学思维导图1

建立函数模型

集是任何非空集合的直广集：\

佻合元素的特性确定性、互异性、无序性"（2）.4G1举）则/Q〃则/=4或IuB：

仃限集（4）若Hu5.HQC,则.4UC：

（）含有〃个元素的集合方个

集合的分类…无限集52"fit,

有2-i个真子集:

空集中

（6）W，U的区别:€表示元素号集储火系.

集

集会的表示->列举法、特征性质描述法、Vxn国法G表示集合与集合关系：

合（7）“与卜刎：别：一般地，。表示元素，

真f集｛"｝表示只有一个元素“的集合：

性质

♦集合的城不关系-*子集（8）｛0｝电｝.妒别松｝.图表示集台.

\^示空集.0u｛o｝.du[｝J

几何相等

交集pC\q

，iuy=/i，jin#=，：

」咏合的基本运W-♦并集pU,/数轴、％cn图、

函数图象（2）、n4=，=，c，

补集/U〃=，=BuH，

，n“c；m®u，u“：

产原命题：若p.则夕.逆命题：若小则p.

（3）ju（crj）=c：JA（Gj）=jj：

卜[否

G«M=a

四种命题一”:否否

（4X'j,in«）=（ct.j）u（c,rfi）t

叩否命题：若rp,则「q卜’"T逆否命题：若F.则(5)分曹律：.in(4ue')=(，nB)u“ne)

4N或v|_^7].lUMUumnuuG

基本逻辑⑹结令律：.in伊nc”(.inB)nc：,

RA

联结词皿"UC”(/1U0UC：J

—卜尸（或rq）I

若〃：Vxe”,1(x)则r〃：m.\€A/,-»p(Xo)~]

可ir~全称量词全称命题

存在吊词存在命趣若p：m.%wA/,p(.%J则rp:Vxw.l/,rp(xf']

区别第一象限角、锐角、小于98而］

角

任意角与弧度制:

单位圆

」弧度制出定义1弧度的万①角度与强度互化：②特殊角的弧度数:

③弧K公式、剧形面积公式

任曲角：.角函数定义二.角函政线

三

同角三角函数的关系

角平方关系、商的关系公式正用、逆用、变形

函.及“r的代换

任意角的-:角函数.♦诱导公式叶奇变得不变,符号"软限］

数

和（差）角公式%一化简、求值、证明（恒等式；

:借角公式

描点法《五点产图法）|

正弦函数y=s"ir”作图象

几何作图法

对称轴（正切函数

余弦函数vcosx

->一:角函数的图象定义域、值域除外）经过函数图

止切函故V〃"小象的最高（或低）

单调性、奇偈性、同期性点且垂心轴的直线

对称中心是jE余弦函

对称性数图象的零点，正切

函，数的对称中心为

»最值

（7•°）（02）

<2J

①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到,但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同;

三角函数模型的简单应用生活中、建筑学中、航海中、物理学中等

-fr

T正弦定理嬴m嬴r菽=窈及变式

适用落国：①已知两角和任一边，解三角形:

②已知两边和其中一边的对角，解三角形。

解的个数兄•个？

a'.bz+c:-2Z>ccos.1两个?还是无解?

h'B(I'+(--2acwsli—•推论：求角

一余弦定理c:=+/>:-2abcosC

->适用范用：①已知三边,解：.角形：②已知两

边和它们的夹角，解三角形。

解三角形广⑴解三角形时，二:条边祗

5.=—ah=-ahs}n("三个角中“知三求二”。

22

（2）解滴彩应用题步骤:

a+b+c

T面积=，'（p-，”…勿一可其中p=先准确理解题意，然后画出

2示意图，出合理选择定理求

=答心是外接圆,板径）解。尤其理解有关名词,如

坡角、坡比、仰角和侬角、

=g（a+〃+c）"（r是内切国,二径）位.角、方向角等,

实际应用y

向他的概念零向量与单位向限T&示•同=去2-$y+6'「M)’

线性运算f加、减、数乘几何意义及运。和1

平面向最基本定理义妇趣+卡J/"“方向上的投毒为卜|

平面向量〃一篙

几何意义T投影

f教精枳

d-b

夹角公式设W与坂夹角为仇则cos。=

同MJ

共线(l-b)♦db=Bl=AOti<:>x}yz-X?M

f|共线与垂F〔卜

*"•.一

垂直43.力=<”。=。0+M.y?=0

向星:的应用1f在平面（解析）几何中的应用:在物理（力向量、速度向量）中应用

共线向贽d"Bod=%eR）或

定理t而=37+后（,€〃,行为/方向向量）」

，与U,'共面=万=工1+y/卜，万不共线）

共面向危

空间向量的

T或万二X而+y/或而二OA+.r而+yAC

加减运算定理

上.1方+-丽+2》（其中丫+）+2=1）

空间向里:的

‘空间任,向4万=a+yb+2耳方，b,d不共血

空间向量数乘运©空间同联

基本定理推论：设。48（'是不共面四点,则对任一点P

及其运。空间向精的

空.OP=x（）A+VOB+ZOTIX,v.zeR）

数用枳运算

间平行与垂-J（G"bo万=加伍h6.2£&）不工5OGb=0

向空间向砧的H的条件

量a-h=（坐标表示）

坐标运算♦向员夹角Tcos伍.力）二

与a也

立

：

体■向量距岗fAB={*寸=J（$一演丫+&2-X）+（z?d）

几

△异面汽线的夹角。：COS0=

何

立体几何中

9，万为方向向量）

的向吊方法

2.直线与平•面的夹角0:cos。=则

同洞

仅为直线方向向量，万为平•面法向量}

方为平面a的法向量,、

点到平面的距度:网•万」

Mea.P走a；3.二面角0:cos6?=

设面距、面面距都可传化为点面距.同怩I

R八为两平面法向量）

倭斜角与斜率倾斜角a[0°,188）和斜率k=tana的变化

/注点（1）板距Q

正，可倒，也可

H线方程为0：（2）方程

各种形式的变化

I和适用泡用.）

宜

线

的

方

程

.R+B/+q

距肉

'6>G[0O,90°)

tan"=「他-44

|.44+/亚、44+/也叫

数

列

自然物的羲方和公式，

+1)£卜=­n(n+IX2n+I)

2«-i6

数列应用

标准方程:3为之径例方程:

内XX7J+（V-M卜1-义）=0

(.r-rt):-(p-A):r-

圆的方程/：元：次方程

一般方程:

/Lt2++Dx+Ey-^F=0

:

A-vDxEy-K(\D-E'-4b'O)表示圆的充要条件是：

2：

点在园内od<，•=(.r0-«)-(.v0-/>)<r'J=C*O

点和圆的B=0

点在圆上o4=r=(♦«-，『4(Vo-炉=/L):+/r2-4F>0

位置关系sy

点在圆夕卜od>ro(x-a)2*(y-/>『>rz

留0,>

的“弦长公式：代数;同•叫=而下》一3|'

方

程=J1+△，J（X]+.YJ-4耳毛

JL何法：|/第|=2〃、/J

广⑴利用两也方程组解的个数是0,12

（2）|/;-n|<c/<zj+〃o相交：

夕卜切：</=卜一寸=内切;

7/>/；+r,。外离：0<4<|/;一"。内7；

♦空间口角小标系->空间两点间距高、中点坐标公式

.求曲线的方程1轨迹方程的求法：直接法、

定义法、相关点法、参数法

T画方程的曲点一

L曲线与方程

“求两曲线的交点

纯粹性与

完备性

圆

锥椭圆定义及标准方程「范围、对称性、顶点、焦点、）

长轴（实轴）、短轴（短轴）

曲

渐近线（双曲线）、准线、

线I离心率。（通径、焦半径）

V

对

点离乂）—幽>点（2〃-%26-居）

称中心对称

曲线/,（X,力•就有3遮壁>曲线/（2。-42/>-y）

性

问

点（与.力与点（三，%）关于小审+“.中

题轴对称

直线/5+为，+。=（）对称区一必

马一$

几种常见的直线系：

⑴共,点，（孙乂）直线系：y-乂二左4）：特殊地y=依+/＞表示过点（0,b）的直线系，不包括轴.

（2）平行直线系—="+贴为参数）表示斜率跳的平行直线系:4r+取=4（2为参数）表示与已知

4t+例，+（'=0平行的直线系:Bx-Ay="A为参数）表示与已知出:+与+C=睡直的直线系

（3）过两直线交点的直线系G为参数乂K+阶1+C+2（4x+取+，）=（）（不包括小

Ax+By.+（\+A（^x+孙+「J=0（不包括/J

几种常见的圆系:

D,改为常数,”为参数.

⑴同心圆系：(x-+(>>，-〃『=r'(a,r为参数域/+y2+Dr+砂+”=0

JlD:+^2-4F>0

（2）网心在.i•轴上的圆系：（K-af+V="（4.r为参数或/+/+/+"=（）（，”为参数，旦。'-4"＞。）

⑶留心在x轴上的阿系：/j）=，*，，•为参数城—+./+丛，+"=0（£，”为参数,I"：-4"＞0）

(4)过原点的圆系：(x-力+■-/>『="：+"或+y2+Dx+Ey=0：

:z

(5)过两已知圆交点的圆系：/+/++Exy+/-,(+z(v+y+D2x+Ezy+F:)=0(不含g}

\^x2+/+Dx+Ey+F+Ap+y2+/不+/，+")=0(不含C)(其中2为参数)

222y

直线与圆锥曲线的位置关系：

I宜线/：小r+/A+r=o,二次曲线内:、的位置关系：交点个数与方程组有几组解一一对应.

/（.v,y）=0

其交点坐标就是方程组的解；2.弦长：/"=、1+X$-0卜为直线/的斜率）

3.椭则M（.W。）点处的切线为:耳+髻=1：4.双曲线匕1/院乂）点处的切线为:芋-髻=1

X._____________'abab_______________/

定义M；|+|A/A；|=2。(常数2。>因/，；|=2c)

::

xy/:3《+二=G>/>>o)

标准方程+%=](4>/b>0）la=方时椭【期变成园,x+y=a'

an

y'V

A7(Xo,、/

图形

，x

中心(0,0)(0,0)

顶点（土a,0）,（0,士b）(0,±a),(±/>,0)

焦点（+c、0）（0,士c）

对称轴x轴，y轴；原点x轴，y轴：原点

范围-a<x<a-b<y<b-h<x<h-a<y<a

准线方程X=±->>=±-

cc

焦半径=a+=a-ex.M'；|=a+ej'“：|A//<|=a-e>;

离心率e=2（0<e<l.其中c2="-〃）「efL椭圆越扁：ef0、越圆

a'--------------------------

长轴短轴2。叫做椭圆的长轴，a叫做长半轴长:2b叫做椭HI的短轴,b叫做短半轴长:

通往过焦点垂直F•长轴的桶战的弦,通校长2b

a

特别提示：L21=2c时.轨迹是线段3〈勿时,凯迹不写在:

2.焦点弦>词=|愁|+忸川=2“+{+不}3.椭园的焦点永远花长独上:

定义帆E|-函卜2a（常数2〃<2c=优码）

=1»l(—

标准方程T-f(«>0,/»>0)

a，b’

[L/

up

图形7",L)

\X

中心(0,0)(0,0)

顶点(±4,0)(O.±a)

住八。、占•■■、（-J。）(O,±c)

对称轴x轴,y轴：原点•r轴，y轴；原点

范围

\x\>a,yeR\y\>ayxeR

X=土竺y=士幺

准线方程cc

焦半径支上又闺»e.、+a..\U\工e%-a：."在上支卜.：T//f=ey0+a.;A"；：=ei;-a-.

A旌左支tM=Y"+m；ME=T做-m.1〃£卜支上A阴|=Y现+a)小折=Ye乂-a)

b.a

渐近线y=±z>-xy=±-.v

实轴虚轴2aml做双曲线的实轴，a叫做实半轴长:25叫做双曲纹的烁轴，b叫做墟半轴长;

离心率e=-(e>1.其中c'=a：+力’)e>L越大,e双曲线开口越大，e越小开口越小。

Cl

「峙别提示：I2a2cH..”点的如讨是