高中数学必修二知识点例题知识点

立体几何知识点

一、空间几何体

1.多面体；由假设干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的

公决边叫做多面体的棱，棱及棱的公共点叫做多面体的顶点.

2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多

面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.

3.枝锥：有一个面是多边形，共余各面都是有一个公共顶点的三加形，由这些面所困成的多面体叫做喽锥。底面是

正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形：顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。

4.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面及截面之间的局部叫做棱台。山正棱锥截得

的棱台叫做正棱台。

正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形：正楼台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边

形

5.旋转体：由•个平面图形绕•条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定宜线叫做旋转体的轴，

6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，

其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰

梯形。注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式/="

7.球：以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体（简称球）

8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投

影而放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图（正视图）。和直立、水平两个投影面

都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图（侧视图）。

三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。

（1）.三视图画法规则：

高平齐：主视图及左视图的高要保持平齐

长对正：主视图及俯视图的长应对正

宽相等：俯视图及左视图的宽度应相等

（2）.空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）:

侧视图（从左向右的正投影）；

俯视图（从上向卜.正投影）.

例题1.某四棱锥底面为直角梯形，

一条侧棱及底面垂直，四校钺的三视图如右图所示，

则其体积为.

例题2.右图是底面为正方形的四楂锥，

其中棱PA垂直于底面，它的三视图正确的选项是（

（3）.空间几何体的直观图一一斜二测画法特点：

陷喋度不变；③原来及y轴

①斜二测坐标系的y轴及x轴正方向成45"角；②原来及*轴平行的线段仍然及

平行的线段仍然及，平行，长度为原来的一半.

常用结论：平面图形面积及其斜二侧宜观图面积之比为2行：1.

例.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形

的面积是（）.

1-hV224V2

A.2+V2D.1+V2

2a2

9.特殊几何体外表积公式（c为底面周长，力为高，h为斜高，】为母线）:

品屿表=+M+叱）s球面

10.柱体、锥体、台体和球的体积公式:

=爪22球=±*

V{J=-(S+\lsS+S)h~(*^+dSS+S)a=4r+rR+R)hvR、

33

例题3:某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是•个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图

（或称左视图）是一个底边长为6、高为，1的等腰三角形.

例4.各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的外表积是（）

A.16万B.20〃c.244D.324

例5.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为____.

练习：

1.一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积v=（）

A.12乃B.167rc.184D.644

2.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据,可得该几何体的外表

积是（）

3.某几何体的三视图如下图,其俯视图是由•个半圆及其直径组成

的图形，则此几何体的体积是（）

正（主）视侧（左）视图

A.型兀B6兀C此兀16

D.一71

3,33

4.一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线,

如下图，则此几何体的体积为（）

115

A.6B.3c.6D.1

5.一个空间几何体的三视图如下图，根据图标出的尺寸,可得这个几何体的体积为

（）

A.4B.8c.12D.24

6.假设一个底面为正三角形、侧棱及底面垂直的棱柱的三视图如以下图所示，则这个棱

柱的体积为（）

A.125/3B.6C.27>/3D.36x/3

二、立体几何点线面的位置关系

俯视图

例L如图，在正四核柱中，E、F分别是BC］的

中点，则以下结论中不成立的是（）

A.与3片垂直B.EF与80垂直

A'B

C.EF与CD异面D.E/与A£异面

例2.孙〃是曲条不同直线，夕,7是三个不同平面，以卜命题中正确的选项是I)

A.若则加〃〃B.若。_Ly,则。〃/

C.若〃2IIa,mII/?,则ahftD.若m_La,〃_La,则〃zII

练习：

i.设直线加及平面a相交但不垂直，则以下说法中正确的选项是()

A.在平面a内有且只有•条直线及直线〃？垂直B.过直线加有且只有•个平面及平面。垂直

C.及直线机垂直的直线不可能及平面。平行D.及直线〃7平行的平面不可能及平面。垂直

2.设。，为两条直线，。，△为两个平面，以下四个命题中，正确的命题是()

A.假设品〃及。所成的角相等，则。〃〃及假设。〃a,b//P,a〃4，则。〃人

C.假设aua,bu。,a//b,则a〃/?D.假设a_La,b10,a_L/?,则a_l_〃

3.给出以下四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行.

②垂直于同一平面的两个平面互相平行.

③假设直线/,,/2及同一平面所成的用相等，则ZpZ,互相平行.

④假设直线/,,/2是异面直线,则及/,,/2都相交的两条直线是异面直线.

其中假命题的个数是()

(A)l(B)2(03(D)4

4.设a、。、/为平面，m、小/为直线，则〃z_L〃的一个充分条件是0

(A)a±p,ar\/3=l,m11(B)ac\y=m,aLy,pLy

(0a_Ly,/?_La(D)n±cr,/?±p,m,La

5.设〃2、〃是不同的直线，a、/?、y是不同的平面，有以下四个命题：

①假设二〃/?,二〃九则广〃y②假设aJ_/?,机〃a,则〃2J.夕

③假设〃z_La,，〃///?,则a_L4④假发"?〃〃，〃ua,则机〃a

其中真命题的序号是()

A.①(2)B.②@C.②④D.①③

三、线线平行的判断：

(1)三角形中位线定理：

(2)构造平行四边形，其对边平行：

(3)对应线段成比例，两直线平行：

(4)平行于同一直线的两直线平行：(平行的传递性)

(5)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和3个平面相交，则这条直线和交线平行；(线面平

行的性质)

(6)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行：(面面平行的性质)

17)垂直干同一平面的两直线平行：(线而垂直的件质)

线面平行的判断：

(1)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。

(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

例1、(三角形中位线定理)如图，在正方体A8CO-AMG。中，£姑44的中点，求证：AC〃平面8OE。

证明：连接AC交于O,连接EO.

•.•E为AA的中点，。为AC的中点

・•・E。为三角形A.AC的中位线:.EOH\C

又E0在平面BDE内,4。在平面外

AC〃平面BDE。

例2、(证明是平行四边形)正方体ABCD-ABCiR,。是底A3CO对角线的交点.求证：G%面Aq/%；

证明：⑴连结AG，设=%连结401

vABC。-A&C"］是正方体AACG是平行四边形

〃优且AG=AC

又«,。分别是AG，AC的中点，...QG〃切且Q|G=AO

AOC0I是平行四边形'G°〃Aa，Aau面C0a面AgQ.・.co〃面8用"

3、面面平行的判断：

(1)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。

例4、如图，在正方体中，E、F、G分别是

AB、AD.C"的中点.求证：平面"七尸〃平面80G.

证明：•••七、E分别是A3、AO的中点，...E/〃3。

又EFa：平面BDG,8Du平面BDGEF〃平面BDG

•••D.G=EB/.四边形D.GBE为平行四边形，D,E//GB

又平面BDG,GBu平面BOG..RE〃平面BOG,.平面/EE〃平面

BDG

练习：

1、(利用三角形中位线)如图,四棱锥P—A8c。的底面A3CD是菱形，QA_L平面A3CO,点”为PC的

中点.求证：PA〃平面8。/；

2、(构造平行四边形)如图，在三棱柱ABC-也每个侧面均为正方形，。为底边AB的中点，£为侧楼

R

：.EF//CD,:.CD〃平面EFGR

，1.(对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平行)如以下图，设夕为长方形力以力所在平面外一点，"、N

分别为小/刃上的点，且典=型，求证：直线.也M〃平面/%4

MBNP

分析：要证直线.W平面PBC,只需证明MV〃平面物'内的一条直线或MV所在的某个平面〃平面PBQ

证法一：过力作即?〃/交/T于点兄连结阴，依题意得

DC-NR=DN=AM=46-MB=DC_MB=.，除监

NKNPMBMB~~MB

'：NR//DC//AB,，四边形MV7出是平行四边形

/.MN//RB.又'：Rb紧平面PBC,：.直线MN//平面PBG1

证法二：过N作AQ〃力。交必于点0,连结的

yAM=DN=AQ,.•.QJ/〃/㈤又..V0〃,，切〃8C.•.平面陶V〃平面阪.•.直线“V〃平面，阳

MBNPQP

5、1中位线定理、平行四边形J如图，四棱锥P—ABCD的底囱是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点.求

证：AF〃平面PCE：

分析：取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形

6、(平行的传递性)正方体ABCD-ABCD.中，E,F分别是AB'C'的中点。求

证：EF〃面AD'C。

四、立体几何垂直总结

1、线线垂直的判断；

线面垂直的定义：假设一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

2、线面垂直的判断：

(1)如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

(2)如果两条平行线中的•条垂直于•个平面，则另•条也垂直干这个平面。

(3)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

(4)如果两个平面垂直，则在一个平面内垂宜于交线的直线必垂立于另一个平面。

3、面面垂直的判断：

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

证明线线垂直的常用方法：

例1、(等腰三角形三线合一)如图，空间四边形44C7)中.RC=ACyAD=RD.E是48的中点.求证:

E

（1）4AJ_平面CDE:（2）平而。。七_1_平面ABC

BC=ACAD=BD

证明：（1）>=>CE_LA8同理,

AE=BEAE=BE

又...CEcDE=E...A8j_平面CDE

（2）由（1）有43_L平面CDE

又...平面ABC,...平面CDEJL平面ABC

例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）四棱锥Q-A8CD的底面是菱形.PB=PD,E为PA

的中点.（1）求证：PC〃平面BQE：（11）求证：平面尸4C_L平面BOE.

例3、（线线、线面垂直相互转化）AABC中NAC8=90,S41面ABC,AQ_L.SC,求证：AO_LiSS8C.

S

证明：•・・ZAC8=9°。/.6CJ_AC

又SA_L面ABCSALBC8。_1面SAC

BC.LAD又SCAD,SCcBC=°.♦.4）_L而SBC

例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，垂直于圆0在平面，

圆周上异于A、3的任意一点，且尸A=AC,点£是线段PC的中点.求证：AE_L平面P3C.

证明：所在平面，BC是。。的弦，...BCJ.P4.

又丁AB是OO的直径，ZACB是直径所对的圆周角，・•・

BC1AC.

•••PAQAC=APAu平面PAC,ACu平面PAC.

/.BC±平面PAC,4石u平面PAC，:.AE±BC.

vPA=AC,点、E是线段PC的中点.AE±PC.

vPC（BC=C,尸Cu平面尸8C,8Cu平面「8C.

・•.AE_L平面BBC.

例5、（证明所成角为直角）在如下图的几何体中，四边形/以刀是等腰梯形，，仍〃必，/DAB=6。：AEIBD,CB=

缈=6求证：4ZU平面力微

证明因为四边形/纵力是等腰梯形，AB//CD,NDAB=60：

所以N4r=/改力=120°.

又CB-CD,所以上9-30°,

因此/月仍=90°,HPADLBD.

又AEIBD,且花n4?=从AE,4七平面月被

D.C.

所以做_L平面AED.

例6、(勾股定理的逆定理)如图7—7—5所示，直三棱柱月跖一48£中,

△儿笫为等腰直角三角形，N砌。=90°,且力?=/14,D、E、产分别为氏1、C。、Ai

比'的中点.

求证：⑴a'〃平面心心(2)郎工平面月£4

例7、(三垂线定理)证明:在正方体ABCD—ABCD中，AC_L平面BGD

/二一

证明：连结ACA

BiG

•.・BD_LAC.・.AC为AC在平面AC上的射影

练习:

1、如图在三棱锥人/LK中，仍=/£〃为比的中点，/UL平面/历C,垂足。落

在线段力9上.证明：/俨_L8G

BC

2、直三棱柱/出46G中，AC=BC=^AA^〃是棱力4的中点，戊打被证明：DQ

ma

3.如图，平行四边形ABCD中,/〃，步=60°,AB=2,AD=A.将△物沿6〃折起到△加Bi

的位置，使平面即9_L平面/1被⑴求征：.，以L鹿：⑵求三棱锥口劭的侧面枳.

4、在正三棱柱ABC—481G中，假设AB=2,AA]=\,求点A到平面ABC的

距离。

5、如下图，在四棱锥/—/7式力中，底面/以X是矩形，侧棱必垂直于底

而，E、/分别是/以％的中点，PA=AD.

求证：BCDLPD；P

(2)牙:L平面;HZ

五、直线及方程

A

(1)直线的倾斜角L

I!

定义：x轴正向及直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别i.合时，我们规定它的

倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°<180°

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即Ar=tana。

斜率反映直线及轴的倾斜程度。当(ae[().90)时，Z;>0：当aw(90,180")时，女<0：当&=90时，及不存

在C

②过两点的直线的斜率公式次=此一斗(曰k工,)

注意下面四点：(1)当履=々时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°:

(2)k及R、P,的顺序无关：

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程

①点斜式：>，-刈=女"-斯）直线斜率k,且过点（x，y）

注意：当直线的斜率为0°时，k=0,直线的方程是y=yi0当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不

能用点斜式表示.但因1上每一点的横坐标都等于X.,所以它的方程是x=x.»

②斜截式：），=依+》，直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b

③两点式：（为工七方工工）直线两点（M，）、），（士,为）

④截矩式：

其中直线I及x轴交于点（dO），及y轴交于点。与，即/及x轴、y轴的截距分别为外8o

⑤一般式：Ar+Bv+C=O（A,B不全为0）

注意：1各式的适用范围

2特殊的方程如：平行于x轴的直线：y=b（b为常数）：平行于y轴的直线：1=〃（a为常数）：

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于直线4X+BQ，+G=0（4,8。是不全为0的常数）的直线系：4%+&,y+C=0（C为常数）

（二）过定点的直线系

（1）斜率为k的白线系：y-y（｝=-Ao）»自.线过定点小,为）；

（ii）过两条直线4：4x+8j+G=03、：A*+及y+C,=O的交点的直线系方程为（AX+4Y+CJ+A（人r+&Y+Cj=O（4

为参数），其中直线不在直线系中。''''"

（5）两直线平行及垂直

当/[：y=A]X+A，4：y=+〃2时，/[〃，2O%=W〃2：/1_L，2U>用自=一1

注意：利用斜率判断直线的平行及垂直时，要注意斜率的存在及否。

（6）两条直线的交点

,八f/\A+V^C）=0

6：Ax++c;=u，2：44+2y+J=0相交口”计用严仁二（）

交点坐标即方程组的•组解。

方程组无解<=>/,///,；方程组有无数解o6及乙重合

（7）两点间距离公式：设人（孙,），"々，乃〉是平面直角坐标系中的两个点，则1，网=«074+（月一》/

（8）点到直线距离公式：一点尸（为儿）到直线小小+为+C=O的零触粤四

（9）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进展求解。

六、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

⑴标准方程（x-a）2+（y-/»2=/,一心.㈤,半径为「

（2）一般方程+）二+m+互v+F=O

当万+炉-4尸>0时，方程表示圆，此时圆心为,㈠・勺半径为r=^D'+E2-4F

当炉+炉-4尸=0时，表示一个点：当加+E：-4F<0时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，

假设利用圆的标准方程，需求出a,b,r；假设利用一般方程，需要求出D,E,F：

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线及圆的位置关系：

直线及恻的位置关系有相离，相切，相交三种情况，根本上由以下两种方法判断：

(1)设直线/：A"Bv+C=O，圆C：(.”+(y-弁=产，圆心C(44到14小低臂if则有

4―。/与。相离；当加切；d<ro/与C相交VA+B

(2)设直线/：Ax+8、，+C=0,圆UG-af+h，-=/,先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其

中的判别式为△，则有△<()=/与C相离；△=0。/与。相切；—。。生^相交

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式.5+)，%=/去解直线及列相切的问题，其中(与，)’。)表示切点坐标，r表示

半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

①圆X2+y2=r,网上一点为6，y。)，则过此点的切线方程为工％+)乂=「2(课本命题).

②圆(x-a)'+(y-b)2=r-,圆上一点为他，yu),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r'(课本命题的推广).

4、圆及圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，及圆心距(d)之间的大小比拟来确定。

222222

设圆G:(x-aj+(y-/?()=r,C2:(x-a2)+(y-b2)=R

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，及圆心距(d)之间的大小比拟来确定。

当d>R+/时两圆外高，此时有公切线四条：

当d=R+/•时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当A-rvdvK+r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，行两条外公切线：

当4=帆_同时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当耳时，两圆内含：当4=0时，为同心圆。