高中数学知识复习要点掌握之平面向量

平面向・复习基本知识点及经典结论总结

1、向*有关概念：

（1）向■的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向・

就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2）,B（4,2）,则把向量A8按向量。=（-1,3）平移后得到

的向量是（答：（3,0））

（2〕零向量：长度为。的向量叫零向量，记作：0,注意零向置的方向是任意的；

（3）单位向■:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是土卫）；

IA例

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量Z、3叫做平行向量，记作：a//b,规定零向量

和任何向量平行,提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是

不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因

为有0）；④三点A、B、C共线=AB、AC共线；

（6〕相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。。的相反向量是一。。

如下列命题：（1）若卜卜W,则。。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若出a?,

则ABC。是平行四边形。（4）若他刀是平行四边形，则A8=OC。（5）若。N,则。=c。（6）若a"妙〃c,

则a〃c。其中正确的是（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如凝，注意起点在前，终点在后；（2）符号

表示法：用一个小写的英文字母来表示，如「，b,七等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与大轴、y

轴方向相同的两个单位向量，，，为基底，则平面内的任一向量。可表示为a=/i+yj=（x,y）,称（x,y）为向量。的

坐标，Z=（x,），）叫做向量Z的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点义标相同。

3.平面向■的基本定理：如果6和02是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量。，有且只有

一对实数4、4，使。=4ei+4e2。如（1）若。=（11）,匕=

13

（l-l）,c=（-l,2）,则。=______（答：-a--b）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.

22

I3

e]=（0,0）,6?2=（1,-2）B.e]=（-l,2）,e2=（5,7）C.et=（3,5）,e2=（6,10）D.q=（2,-3）,/=（万,一/（答：B）；（3）

24

已知ARAE分别是A43C的边8cAe上的中线，且AO=a,8E=。,则8。可用向量表示为_____（答：-a+-b）；

33

（4）已知A43C中，点。在3c边上，且而=2而，而=〃蒜+s就，则r+s的值是_（答：0）

4、实数与向量的积：实数2与向量工的积是一个向量，记作a",它的长度和方向规定如下：（1）,，=忆|忖,（2）

当4>0时，43的方向与"的方向相同，当时，43的方向与]的方向相反，当4=0时，％〃=（）,注意：2a

NO。

5、平面向量的数・积：

（1〕两个向量的夹角：对于非零向量1，作Q4=a,OB=/?,ZAOB=0

（04夕《"）称为向量〃，右的夹角，当。=0时，a,B同向，当时，a,B反向，当。=g时，a,1垂直。

（2）平面向■的数・积：如果两个非零向量Z,b,它们的夹角为0,我们把数量|a|M|cos6叫做：与[的数

量积（或内积或点积），记作：即=abcos。,规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是

一个实数，不再是一个向量。如（1）ZkABC中，|Z%|=3,|AC|=4,|BC|=5,则赢•前二（答：一

11TT

9）；（2）己知。=（1,一）,匕=（0,--）,c=a+kb,d=a-b,c与d的夹角为一，则k等于（答：1）；（3）已知

224

卜|=2,川=5Mb=3,则1/IW等于（答；\/23）；（4）已知a,Z?是两个非零向量，且卜，=1=ab,则a与7\b

的夹角为一(答：30)

(3〕B在]上的投膨为|〃|cos。，它是一个实数，但不一定大于0。如已知|W|=3,日|=5,且11=12,则

——12

向量。在向量〃上的投影为______(答：一)

5

(4)1•君的几何意义：数量积等于"的模|。|与右在「上的投影的积。

(5)向■数量积的性质：设两个丰零向量L其夹角为。，则：

@a.Lb<=>a^b=0；

②当。，B同向时，a•!)=ab,特别地，/。2,"=；当。与g反向时，。•B=一。〃；

当。为锐角时，Z・3>0,且以，，不同向，。为>0是。为锐角的必要非充分条件；当。为钝角时，Z•否V0,且。、力

不反向，〃为<0是。为钝角的必要非充分条件；

③非零向量5,B夹角。的计算公擒cos<9=—；④|a"凶翻"。如(1)已知[=(4,2/1),b=(32,2),

ab

TT41

如果。与人的夹角为锐角，则2的取值范围是(答：或几>0且；1工§)；(2)已知△。尸Q的面积为S,

且O广/Q=1,若±vS<»,则ORbQ夹角。的取值范围是_________(答：(下,())：(3)已知

2243

a=(cosv,sim'(90sja与力之间有关系式+=Ji,一左耳其中攵>0,①用k表示②求〃•/?的最

小值，并求此时。与人的夹角。的大小(答：①。.〃==1(左>0)；②最小值为一，<9=60)

4k2

6、向量的运算：

(I)几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加

法还可利用“三角形法则”：设A8=a,BC=Z?,那么向量AC叫做”与人的和，即。+匕=AB+BC=AC；

②向量的减法：用“三角形法则“：设A8=a,AC=〃朋〃=A8—AC=C4,由减向量的终点指向被减向

量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如(1)化简：①A8+8C+C£>=—:②A3-AO—OC=；

③(AB-CD)—(AC—BD)=(答：①A。；②CB；③0)；(2)若正方形A8C1的边长为1,

AB=a,BC=b,AC=c,则|a+〃+c|=(答：272)；(3)若O是ABC所在平面内一点，且满足

OB-OC\=\OB+OC-20《，贝ijABC的形状为—(答：直角三角形)；(4)若。为\ABC的边8C的中点，A4BC

所在平面内有一点尸，满足B4+BP+CP=0,设电1=2,则2的值为一(答：2)；(5)若点。是△ABC的外

1町

心，且。A+O8+CO=0,则△A5C的内角。为(答：120)；

(2〕坐标运算：设4=(不)[),〃=(/,%)，则：

①向量的加减法运算：a±b=(xi±x2,”±弘)。如G)已知点42.3).8(5,4),C(7.10),若

AP=AB+AACaeR),则当4=一时，点P在第一、三象限的角平分线上(答：-)；(2)已知

2

IjrrrrrJT

A(2,3),3(1,4),且-AB=(sinx,cosy),x,ye(—,贝Ux+y=______(答：一或)；(3)已知作用在点A(l/)

22262

的三个力£=(3,4),8=(2,-5),鸟=(3,1),则合力/二毋+玛+居的终点坐标是(答：(9,1))

②实数与向量的积：/U=4(3,)[)=(2X],J。

③若4(%,%),夕9,)，2),则48=(々一%,丁2一,)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐

标减去起点坐标。如设A(2,3),依-1,5),n.AC=-AB,AD=3AB,则C、D的坐标分别是(答：

3

(1,^),(-7,9))；

-J

—•—•T

④平面向量数量积；a^b=y2。如已知向量a=(sinx,cosx),h=(sinx,sinx),c=(—1,0)。(1)

TT-—37r7T"***I

若x=W，求向量4、c的夹角；(2)若夕，函数/(x)=/l。力的最大值为:，求4的值(答：(1)150;(2)-

或-血-1);______

⑤向■的模：I止次+广J=a『=Y+y2。如已知a/均为单位向量，它们的夹角为6(),那么|〃+3"=

_____(答：屈);

⑥两点间的距离：若八々］如渺乂2y2,则IA8I=>/(工2_工11+(%-)%)2。如如图，在平面斜坐标系X0V中，

NxQv=60,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=xq+y/,其中华七分别为与x轴、y

轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。(1)若点P的斜坐标为(2,-2),求P到O的距离IPOI；(2)求

以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系X。)，中的方程。(答：(1)2；(2)x2+y2+A>'-l=0)；

7、向量的运算律：(1)交换律：a+b=h+a,=a・b=b・a、⑵结合律：

a+Z?+c=(a+Z?)+c,a-Z?-c=a-(b+c),(/!〃)•/?=%(〃•/?)=〃•(％/?)；(3)分配律：

(4+4)a=/ia+/a,4(a+Z?)=4a+/iZ?,(a+/?)・c=4・c+/?・c。如F列命题中：①a-(b-c)=a-b-a-c；②

a(b-c)=(ab)'c；③(a-b)2=|a|2

22;⑦怨，;

一2日|•向+|Q；④若二力=0,则)=0或办=0；⑤若a.〃=c,6则a=c@a=a

aa

2222

⑧(々•/?)2=〃•〃；⑨(〃一〃>=a-2ah+b。其中正确的是______(答：①⑥⑨)

提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以

一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向

量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即々区为什么?

22

8、向■平行(共线)的充要条件：a//b<^>a=/Lb<=>(a•/?)=(\a\\b|)<=>y2-y\x2=00如⑴若向量

4=(x,1)氏(缶当工=时。与b共线且方向相同(答：2)；(2)己知a=(1,1),〃=(4,x),u=a+2b,v=2a+b,

且〃〃u,则犬=______(答：4)；(3)设24=(A』2),P4=(4,5),PC=(10,6，则A=时，A,B,C共线(答：一2

或11)

9、向量垂直的充要条件：a±ba-b=0<=^>\a+b\=\a-b\=玉电+%为二°,特别地

AR4rARAC3

(i-----rH--------)-L(i-----r---------)o如⑴已知OA=(—1,2),O8=(3,M,若。4_LO8,则/〃=_______(答：一)；(2)

\AB\AC\AB\AC2

以原点。和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,ZB=90°,则点B的坐标是(答：(1,3)或(3,-1))；

(3)已知〃=(〃,〃),向量〃J_〃？，且〃=加，则根的坐标是(答：(6,-〃)或(-匕,々))

10.线段的定比分点：

(1)定比分点的概念：设点P是直线P42上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数/，使［尸=/1尸6，则

2叫做点P分有向线段P,P2所成的比，P点叫做有向线段P}P2的以定比为2的定比分点：

(2)4的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PJ,上时=几〉0；当P点在线段UP,的延长线上

时。2(一1；当P点在线段P2Pl的延长线上时=-1<丸<0：若点P分有向线段4鸟所成的比为义，则点P分有

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向线段鸟6所成的比为彳。如若点P分48所成的比为(，则A分8P所成的比为.(答：--)

3

x+AX

x=}2

I+A

（3）线段的定比分点公式：设qa，y）、鸟（9,），2），P（M），）分有向线段《鸟所成的比为人则,

M十型

）'=

1+4

X+X,

x=-----

2

特别地，当4=1时，就得到线段P|P2的中点公式在使用定比分点的坐标公式时，应明确（兀），）,

（X，y）、（七,力）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分

-->1-->

点和终点，并根据这些点确定对应的定比义。如（1）若M（-3,-2〉，N（6,-1）,且MP---MN,则点P的坐标为

3

_______（答：（-6,--））；（2）已知430）,8（3,2+。），直线），=4融与线段A8交于且AM=2M8,则a等于

32

（答：2或一4）

11.平移公式：如果点P（x,y）按向量〃=（/?«）平移至P（x',y'）,则W="名；曲线/（/,），）=0按向量〃=（力㈤

）/=y农

平移得曲线/“一〃,），一口=0.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不

变性，可别忘了啊！如（1）按向量。把（2,-3）平移到（1,-2）,则按向量〃把点（-7,2）平移到点（答：（-8,

Tf乃

3））；⑵函数y=sin2x的图象按向量〃平移后，所得函数的解析式是），=8$2工+1,则〃=_______（答：（一二,1））

4

12、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）\\a\-\b\^a±b\^a\+\b\t特别地，当。、〃同向或有0u>|a+〃|=|a|+|/H

>\\a\-\b\\=^a-b\；当。、〃反向