高中数学热点题型增分练专题25导数不等式证明与求参归类教师版新人教A版选择性必修第二册

专题25导数不等式证明与求参归类

热点题型归纳

【题型一】导数证明不等式(无参)

【典例分析】

23

已知函数/(x)=In(l+x),g(x)=a+bx-^x+}-x1函数y=/(x)与函数y=g(x)的图象

在交点(0,0)处有公共切线.

(1)求4、〃的值；

(2)证明：/(x)<^(x).

【答案】(1)a=0,Z?=l；(2)证明见解析.

【分析】(1)由(0,0)为悭数y=/(x)与函数y=g(x)图象的交点，所以有屋0)=/(0),又

在交点(。⑼处有公共切线，根据导数的几何意义有r(o)=g'(o),联立即可求解.

(2)构造函数〃(x)=/(i)-g(x),利用导数判断单调性并根据单调性求出最大值，求得

力(力3«0即可证明.

【详解】解：(1)r(x)=-!-,/(x)=^-x+x2,

1"1X

由题意得乃像“像解得a=0,b=l;

[f(°)=g(°)，

(2)证明：令/心)二〃I)一8(1)=1!1(工+1)-"1+312_.1(彳〉_1),

则g)=

x+1x+1

令”(x)>0,得一1cx<0,令。'(x)<0,得x>0,

所以力(x)在(TO)上为增函数，在(0,+8)上为减函数,

所以〃(6皿:〃(0)=0,

所以〃(力"(0)=0,即"x)<g(x).

【提分秘籍】

基本规律

应用导数证明不等式基础思维：

欲证f(x)>g(x),移项为h(x)=f(x)-g(x),证明h(x)min>0,求导求最值

【变式训练】

已知函数/⑴=92+巾.

(1)求函数,⑶在口，e]上的最大值、最小值;

(2)求证：在区间U，+8)上，函数/(X)的图像在函数以幻=：/图像的下方.

【答案】(1)/皿(x)=g/+i,14a(X)=g；(2)证明见解析.

【解析】(I)求得r(”,利用导数分析函数单调性，结合端点函数值和最值的大小关系,

即可求得结果；

7i2

(2)将问题转化为求证/(X)<QY,构造函数/(幻=5/+]门-可1,即可用导数证明.

D/rJ

【详解】(1)由/(x)=1.d+lnx有/''(x)=x+,，

2x

当X€[L0时，ffM>0,“外为增函数

1,1

，/的(x)=/(e)=5夕+1,工皿(X)=/⑴=-；

(2)设尸(幻=:丁+皿1-4/，则F'0)=x+：—=.-工*+K+2]),

23xx

当xe[l,+8)时，r(x)<0,则尸(x)单调递减，且尸⑴=-工<0,

6

19

故xe[L+co)时/(%)<0,:.-x2+lnA<-x*,

23

2

故在区间口，+8)上，函数/⑶的图像在函数g(%)=§/图像的下方

【题型二】导数证含三角函数型不等式(无参)

【典例分析】

已知函数fM=cosA-+xsinx-l.

(1)若xe(O,/r),求八x)的极值；

(2)证明：当■¥6[(),句时，2sinx-xcosx2x.

【答案】(1)极大值为/(力微大依=/($=、-1,没有极G值；(2)证明见详解.

【分析】(1)求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值；

(2)构造函数g(x)=2sinx-xcosx-x,证明函数在xe[0,4]时g(x)N0恒成立.

【详解】(1),./(%)=cosx+xsinx-1

--/，U)=ACOSX,

/\/\

当xw0,y时，r(x)>0：当xeg,乃时，r(x)<0

当X变化时,/'(x)J(x)的变化情况如卜表:

.T

X

Nw?加

/(A)4-0—

f(x)单调递增--1单调递减

2

因此，当工=£时，八#有极大值，并旦极大值为小£的=/(争[-1,没有极小值.

(2)令函数g(x)=2sinx_xcosx-x,g\x)=cosA+xsinx-1=f(x)

由(1)知/(X)在区间(0.会上单调递增，在区间(],兀)上单调递减.

又/(0)=0,〃乡4-1>(),/⑺=-2<()故/")在(0㈤存在唯一零点.设为・%,则

)?'(%)=/(天)=0

当x«0，M)时,g'(x)>。；当xw5，兀)时，g\x)<0t

所以以用在区间(0,与)上单调递增,在区间(％,71)上单调递减

又以0)=0,女⑺=(),所以,当xe[0,7d时，g(x)20.故2sinx-xcos.r".

【提分秘籍】

基本规律

证明不等式问题.要注意分类讨论和数形结合思想的应用.一般情况下，将不等式的证明

转化为函数的单调性问题处理.

【变式训练】

已知函数/(x)=x-sinx,XG(0,4<O).

⑴求曲线y=/(幻在点。"($)处的切线方程；

(2)证明:2er-/(A)+cosx-er>1.

【答案】⑴x-y-i=o⑵证明见解析

【分析】(1)根据切点和斜率求得切线方程.

(2)构造函数g(x)=(2x-2sinx+cosx)e;利用导数判断g(x)的单调性，从而证得不等式

成立.

【详解】(1)r(x)=l-cosx,八’=1,八夕=1一1，

故曲线y=/(幻在点片/⑶处的切线方程为y-传-“**

即x_y_|=O.

(2)iS^(x)=(2x-2sinA+cosx)e,,

则g'(x)=(2x—2sinx+cosx)ex+(2-2cosx-sinx)ex

=[2(x-sinx)+2-V2sin"+—)]cv.

4

由(1)矢Ux>sinx,X2-V2sin(x+—)>(),

4

所以g'(x)>。，所以g(X)在(0,+8)上单调递增，故g(x)>g(0)=l,

所以，Vx€(0,+oo),2e*f(x)+cosx-e>\.

【题型三】导数法证明数列不等式

【典例分析】

已知函数"x)=hu-x+l

⑴求〃力的最大值;

⑵求证：J>I)(〃-2)…2x>2,〃GN)

【答案】(1)0(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的最大

值；

(2)由(1)可得InxWx-l,即可得到〃-1,再根据不等式的性质、等差数列求和公

式以及对数的运算性质计算可得.

【详解】⑴解:因为〃x)=hur+l定义域为

所以ra)=L-i,

当Ovxvl时，_/^x)>0,当x>l时，f'(x)<0,

・・・/(x)在(0,1)上单调递增,在(l,+oo)上单调递减,

・・・/(x)在x=l时,取得最大值，即〃力皿=/(1)=0.

(2)证明：当〃22,〃wN时，

不等式左边与4=1+2+++(〃-2)+(〃-1),

不等式右边卜】[〃(〃-1)(〃-2)-2xlJ=In/?+In(77-1)+--+102+1111,

因此只需证明：1+2+++(〃一2)+(〃-l)>ln〃+ln(〃-1)++ln2+lnl,

Itl(1)知，/(x)在x=l时，取得最大值()，

・・・/(工)40在(0,y)恒成立，・・・lnxWx-l(当且仅当”=1时取等号),

/.\nn<n-\,(当且仅当”=1时取等号)，乂〃N2,〃eN,

所以ln(/7-l)</7-2,L,ln3<2,In2<l-

工以上各式相加得：1+2++(〃—2)+(〃-1)>hi〃+ln(〃—1)++ln2+Ini,

-1)(〃一2)2x]](〃>2,〃eN)得证.

【提分秘籍】

基本规律

数列不等式证明：

1.适当选取自然是n的合适形式，作为变量x,构造函数，在对应的正整数n的取值范围

内证明即可。

2.利用第一问的函数单调性，选取对应的不等式(多是极值点和最值点)，代入自然数(正

整数)n的合适形式，构造累加和，互相消去求和即可

【变式训练】

已知函数〃x)=g+lnx,8(工)二打.

(1)求证：/(x)>1；

(2)证明：当〃22,〃eN'时，：+：++：<&(〃).

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)利用导数可求得函数的单调区间，从而可证得/OR/⑴=1；

(2)由'vln」一可得'+1+,++-<\nnf利用导数证以〃)>In〃即可.

nn-\234n

1Ir-l

【详解】(1)/(x)的定义域为(0,+00)，八x)=一二+上==，由f\x)>0得X>1,由/V)<0

X'Xx~

得0vxv1.

则〃.r)在(0,1)上单调递减，在(1,KQ)上单调递增，/(x)^/(l)=l,得证.

(2)由(1)^\--<\nx,^x=—,n>2,贝=—

x〃Txnnn-\

—<In-,-<In—,—<In—<In-----,

2I3243n/i-I

.1111,2^,3,4,n,

+-+—++—<In—+ln—+ln—++ln-----=Inn下面证明X22时,g(x)之Inx,

234n123//-I

X-I---

令h(x)=g(x)-Inx=-In.r=x2-x2-lnx,x>0,

则〃(x)=/X2+/]2—=—x2x-2x2+1=-x21A2-1>0>

.•.g)在(0,+oo)上单调递增，・・41)=0,;/(2)>0,.“N2时,/心)>0,

之2时，g(〃)>ln〃，.•，+《+1++，<g(〃).

234n

【题型四】恒成立求参1:参变分离型

【典例分析】

已知/(x)=x-«lnx-l.

(1)若/“)有最值，求实数a的取值范围；

⑵若当x«e,e2)时，/(.r)>0,求实数a的取值范围.

【答案】⑴(0,+8)(2)(7O,e-l]

【分析】(1)求导，分类讨论确定/(x)的单调性，进而确定了(制的最值：

(2)根据参变分离整理得则〃,构建新函数/2")=；二，利用导数

InxLn“minInA-

判断其单调性求最值.

(1)函数"X)的定义域为(0，x°),

当时，/'")=二20在。物)上恒成立，则在(0,+8)上单调递增，无最值，不

X

合题意，舍去

当〃>0时，令/'(x)>0,则X>。，令/'(x)<0,则0<K<a

.・./(x)在(0M上单调递减，在S,xo)上单调递增，则在x=〃处取到最小值

所以。〉0,即实数a的取值范围为(0,内).

(2)因为x«ed)./(工)“，所以alnxKx—1,因为lnx>l,所以。一而成立.

令h[x)=，则肥,八10'+xT令g(x)=lnx+--l,则g'(x)==■>()当x«e,e，)时

Inx/?(人)=——j------xx~

hrx

恒成立

••・贝幻在(e,e2)上单调递离则g(x)>g(e)=->0则〃(外>0当xe(ed)时恒成立

e

所以函数力(x)=%?在x«e,e2)上单调递增，所以〃*)>〃(e)=e-l,

所以aWe-1,即实数a的取值范围为(―

【提分秘籍】

基本规律

根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题。

常用到以下两个结论：(1)心f(x)恒成立f(x)max：(2)aWF(x)恒成立

=aWf(公min.

【变式训练】

已知函数/（x）=ca一/nx-3,其中"0.

⑴求函数/"）的单调区间;

⑵若M'CvHBx-120对任意x«l,+8）恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】（1）当〃＞0H寸，函数/（x）的增区间为（最+8）,减区间为（0,g）；当”＜0时，函数

“X）的增区间为（（）$｝减区间为g,+8）（2）［l,+8）

【分析】（1）求导可得/'（x）=苦」，讨论。的符号判断单调性；（2）根据题意可得

d/一；.，之1在恒成立，构建新函数求导，利用导数可得g（x）2gmi“（1）=1,

分析求解.

【详解】（1）函数/（幻的定义域为（0,+司

a(2x-\)

f'(x)=a-

2x

①当〃＞0时,令/4勺＞0,可得"g.此时函数/（工）的增区间为（g.+s）减区间为（0、

②当〃＜0时，令八"）＞0,可得Ovxvg,此时函数/（x）的增区间为（。，£）,减区间为

1”）

综上所述：当。＞0时，函数/（X）的增区间为13,y）,减区间为（0，；

；当好0时，函数/（%）

2

的增区间为（0日），减区间为怎收

(2)4(x)+3x-l"在xe[l,+a?)恒成立，则ad—|xln"l在xc[l,y)恒成立

2

即ax--xlnx|>1在xw[l,+8)恒成立令g(x)=./_lxlnx0g，(x)=2x-'(lnx+l)令

i2)22

Mx)=g'(x)，//(x)=2一--,xe[1,+a?).\2xe[2,+oo),—G|0,1，则”（工）＞0在

o2

Xw[l,+8)上恒成立

1a

.,・〃（x）在6+8）上单调递增，/（、）=/心）之可1）=2-：=：＞0。.・.ga）在3+8）单调递增,

g（x）NgnUl）二l

在恒成立,

r---'In-Vj>1441,+^)则白之----7-------=7=1二。的范围是

厂2——1xi1nxI

12/max

[1收).

【题型五】恒成立求参2:参变分离+洛必达型

【典例分析】

已知函数，（丫）=，心亩无，则下列结论正确的是（）

'713乃、

A.7(x)是周期为2乃的奇函数B./")在一二，二上为增函数

C./(x)在(-10小10万)内有21个极值点D./0)..如在0,£上恒成立的充要条件是

_4_

“，1

【答案】BD

【分析】

根据周期函数的定义判定选项A错误；根据导航的符号判断选项B正确；根据导函数零点判

定选项C错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项0正确.

【详解】・・・/(x)的定义域为R,/(-x)=sin(-x)=-fM,是奇函数，

但是f(x+17i)=sin(x+2^-)=sinx/(x),.'./(x)不是周期为2江的函数，

故选项A错误：

TT

当x£(-----,0)时，f(^)=e~xsinx,f(x)=e~x(cosx-sinx)>0,/")单调递增，

4

34

当XE(0,一)时，f(x)=e'sinx»f\x)=e'(sinx4-cos%)>0,单调递增，

4

且/(x)在(一工，红)连续，故f(x)在(一代，红)单调递增，故选项B正确；

4444

当工£[(),104)时，f(x)=exsinx,f\x)=ex(sinx+cosx),

令f\x)=0得,x=一工+Z乃(火=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),

4

当》€(—10肛0)时,f(x)=e~xsinx,f\x)=e~x(cosx-sinx),

令/'("¥)=()得，x=—+k^r^k——1,—2,—3,—4,—5,—6,—7,—8,—9,—10),

4

因此，/(x)在(TO肛10/内有20个极值点，故选项C错误；

当x=0时，/(x)=0>0=ax-,则QER,

当xw(0,：]时，f(x)>ox,<=>«<-----------，设g(x)=-----------,

4xx

，/、e'(xsinx+xcosx-sinx)

•••g(x)=-------------------------------------，

JT

☆〃Cr)=xsinx+xcosx-sinx,1E((),C]/?’(x)=sin.t+x(cosx-sinx)>0,h(x)

4

单调递增，

h{x}>/?(0)=0,g\x)>0,g(x)在(0,工]单调递增，又由洛必达法则知：

4

当x-0时，g")=x+cosx),。。w1,故答案D正确.

x1

故选:BD.

【提分秘籍】

基本规律

如果分离参数后，函数最值点恰好是函数的“断点”，符合洛必达法则可处理?,-(主

000

要是9型)等，可以考虑使用洛必达法则求解。

0

【变式训练】

若对任意人«。，乃)，不等式--"j.sinx恒成立，则实数”的取值范围是

A.[-2,2]B.(-oo,e]C.(Y,2]D.(«』

【答案】C

【详解】

将，一e-Casiw等价转化为“<上口在(0,4)上恒成立，令/(幻=《士，则

sinxsin.r

f\x)=e(siiu-c°sx)+：(sinx+d),令g⑴=e、(siiu-cosx)+e"(sinx+cosx),则

sin'x

g'(x)=2(e'-e'x)sinx>g'(0)=0,即g(x)=e'(sinx-cost)+ev(sinx+cosx)在(0,乃)上为增函

数，则g(x)>g(f))=0,所以在(0,乃)恒成立，则f(x)=2二]在(0,产)单调递增，贝IJ

sinr

lim(ev-e-x)lim(e*+e-')

fM>/(0),由洛必达法则，得二。.二可-------=2,所以实数〃的取值范围是

lim(sin.v)limcoiv

A->0A->0

(YO,2]：故选C.

【题型六】恒成立求参3：参变分离+虚设根型

【典例分析】

已知函数f(x)=(x-2)ex-a(x-\)2-m(aGR,WGR).

(1)若。=:，求八幻的单调区间；

⑵若a=0J(x)之21nx+2(x—e)对一切xe(0,xo)恒成立，求勿的取值范围.

【答案】(1)/(X)的单调增区间为(-8,0)和(L+8),单调减区间为(0,1)⑵(-co,2-2In2]

【分析】(1)求导，利用导数判断单调区间；(2)根据题意利用参变分离可得"Le'_2x-1nx，

利用导数求(Wx-lnxL，注意零点代换的运用.

【详解】(1)V«=|AfW=ev+(x-2)ev-(x-1)=(x-l)(e'-1),

由广(x)=0得x=0或x=l,

且当xvO或％>1时,/V)>0,当Ovxvl时,/'(人)<0,

.•・/(X)的单调增区间为(一2。)和(1,+R),单调减区间为(0,1)

(2)依题意可得m<xex-2x-lnx^xe(0,+ao)上恒成立,令g(x)=xe'-2x-lnx(x>0),

则g'(x)=(x+Dev—,令心)=e，，(x>0),易知Qx)在(0,+应上单调递增,

Ix)x

Vx>(),Ax+l>l>(),又,：h1=x/e-4<0,/?(l)=e-2>0,3x0eiI,使得

JI2/

2

，a)=o,即有小=丁.

H.8(x)在(0,风)上单调递咸，在($，")上单调递增，

X

g("痴=g(o)=-2.r0-lnx0=2-21n2,Am<2-21n2,

即m的取值范围为(/,2-21n2].

【提分秘籍】

基本规律

解题思维：

(1)导函数(主要是一阶导函数)等零这一步，有根x°但不可解。但得到参数和x0的

等量代换关系。备用

(2)知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根X。

(3)利用X。与参数互化得关系式，先消掉参数，得出X。不等式，求得X。范围。

(4)再代入参数和X。互化式中求得参数范围。

【变式训练】

已知函数/(x)=xlnx+J"2)/-。-1)。'+1在(0,+oo)上是减函数，则a的取值范围为

()

A.(—1]B.(-oo,3]C.(-8,e+l]D.(—,4。]

【答案】B

【分析】先用参变分离转化为-止-工+2在XG(0,+8)的恒成立问题，再利用导函数

XX

研究g(x)=e;止-，+2(上>0)的最小值，结合函数同构法得到胧工=(1/1」，结合函数单

XxkX)X

调性，得到最小值，进而求出a的取值范围.

【详解】由题/''(x)=lnx+：+5-〈。在xe(0,+8)上恒成立，即々We'-止-上+2在

XX

X6((),+8)上恒成立；设g(x)=/-处-，+2(x>0),则有/(“)=汇=!1竺；令g'(x)=o,得

XXX

.v2e'+lnx=0.即xe、=(1,)-(x>0).由于仲)=汨在"(0,+8)上是增函数，则存在

%€(0,+8),使得力(.%)=/：(-ln.%),即七=-ln%(e*="!",此时/(%)=0.由于当。<大</

时，g'(x)vO,g(x)在(O,%)上是减函数：当%>玉)时，g'(x)>0,g(x)在(如+8)上是增函

数，所以当x=x0时，g(x)而n=g(x°)=e。-3-'+2=3,则有故aw(y>,3J,

,1”1I

故选：B.

【题型七】恒成立求参4：分类讨论型

【典例分析】

设/")=；"3一0+。)'+4依+244，其中

(1)若有极值，求。的取值范围；

(2)若当xNO,/(x)〉0恒成立，求。的取值范围.

【答案】⑴⑵*<々<6

【分析】(1)本题首先可以根据函数解析式求出函数的导函数，然后根据题意即可得知函数

的导函数所对应的方程有两个实数根，即△>(),最后通过计算，即可得出结果；

(2)本题可以对函数〃力分别在区间0<々<1、。=1以及。>1内进行讨论,并得出函数f(x)

在每个区间下的单调性以及最小值，并通过最小值大于。即可列出算式并得出结果.

【详解】(1)由题意可知：/(x)=x2-2(l+«)x+4«»且〃工)有极值，

则/(x)=0有两个不同的实数根，故△=4(l+a)2-16a=4(l-a1>0,

解得：a-f\,g|J«G(^n,1)0(l,+cn).

(2)由于/(力>0恒成立，则/(0)=24〃>0,即。>0,

由于/(x)=/—2(1+a)%+4a=(x-2)(x-2«)»则

①当0<。<1时，/")在x=2a处取得极大值、在x=2处取得极小值，

当0?x2〃时，为增函数，因为/(0)>0,所以/(刈恒大于0,

4

当让为时，/(x)*=/(2)=2&LQ>0,解得：。>乐

②当。=1时,《3。,即f(x)在［0,+oo)上单调递增,且/(0)=24>0,

则/(工)？/(。)。恒成立：

③当。>1时，"力在x=2处取得极大值、在x=2a处取得极小值，

当0Wxv2时，/(力为增函数,因为/(0)>0,所以/⑴恒大于0,

当XN2时，/(x)^=f(2a)=-ja3+4«2+24r/>0,解得一3<a<6,

综上所述，。的取值范围是*v〃<6.

【提分秘籍】

基本规律

分类讨论要注意讨论点的寻找和界分。

1.端点赋值法(函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用)

2.为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围。注意，开区间不一定

是充分条件。

有时候套点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论。

【变式训练】

已知函数F(x)=(.a~—)aSR

2

(1)当才1时，求f(x：在区间［1,司上的最大值和最小值;

(2)求g(x)=f(x)+”在A=1处的切线方程；

(3)若在区间(1,+8)上，/,(*)V0恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】⑴最大值”小，最小值-1.⑵…(4

【分析】(1)求出导函数ra)=x-2+,，明确函数的单调性，即可得到/.(*)在区间［1,

e］上的最大值和最小值；

(2)利用导数的几何意义可得切线斜率/(l)=a,结合点斜式得到切线方程；

⑶求出导函数/⑺式1)[(2°-1)1].对a分类讨论，明确函数的单调性，求出函

数的最值即可得到实数&的取值范围.

【详解】(1)当炉1时，f(x)=^-x2-2x+lnx,f'(x)=x-2+—=^—^-.

2xx

对于V*£[l,e],f(A)2()恒成立，・•・/.(x)在区间[1,e]上单调递增.

i3

2

(X)皿=f(e)=-e-2e+l,f(x)mbl=f(l)=--.

(2)g(x)=("g卜-办+//优,g(1)=-g

g'(x)=(2a-l)x-a+-,g'(1)-a.

x

・・・g(x)=F(x)+ax在m处的切线方程是j+；=a(x-1),即kar-(a+g)；

(3)函数f(x)=J)f(x)=(2a—l)x—2a+'=区如上二史,

X>1,

(7)当时，恒有F(x)VO,・••函数f(x)在区间(1,+8)上单调递减.

要满足在区间(1,+8)上，f(x)VO恒成立，则F(l)=-bgW0即可，解得

・••实数〃的取值范围是.

(//)当时，令f(x)=0,解得必=1,x=—■—.

222a-l

①当1=笛〈工?时，即gvaVl时，在区间5,+8)上有f(x)>0,此时f(^)在此区

间上单调递增，不合题意，应舍去.

②当尸】时，即心1,在区间(1,+8)上有F(*)>(),此时f(x)单调递增，

不合题意.

综上(？)(可知：实数a的取值范围是一；，；.

【题型八】恒成立含参：放缩参数型

【典例分析】

设函数/(%)=e‘cosx,g[x)=4c?：x,xe0,g.

eL3」

(1)求f(力的最小值,并证明:/<加；

(2)若不等式：g(x)N2-e3'成立，求实数a的取信范I韦I,

【答案】⑴/(x)1nhi=1，证明见解析⑵[1,+8)

【分析】(1)求导，利用导数确定函数的单调性，进而可求最值，结合单调性，即可证明,

(2)根据和av1分类讨论，结合第一问的结论和基本不等式即可求解.

Z、

【详解】(1)由/(x)=e'cosx可得r(x)=e'(cosx-sin.x)=J5e'cosg+x,

令/'(x)=0得，x=0弓，当xe(0,：时，>0,时，/'(x)<0.

所以在«0，：)单调递增，在xe(昔)单调递减:所以/—in./(O)J(小

因为了用吟吟W>1=/(O)，所以小%=1，

因为时，八力<0,所以/(X)在：，方上单调递减，所以乎«>；』，化简得，

e丘<&；

⑵g(x)22-e*等价于g(x)+e入2,当。21,因为X£。4],所以写">0，/>0,

所以g(x)+e'x=---+e3v,+e3x^2J,e3jt=2Ve'cos,

ee"xve"

由(1)得，2xf^嬴42工=2,所以前M+小22；当av1时，^(0)+e3x0=1+«<2,

即工=0时，g(x)+e”22不成立，即g(x)N2-e"不成立，

综上，实数a的取值范围为[L”).

【变式训练】

已知函数/(力=皿⑪-1)+〃1门的图像在点。，/⑴)处的切线方程为)，=4x+6

(1)求“，人的值；

(2)当224时，证明:j(x)<k(x-l)对文©(1,田)恒成立.

【答案】(1)o=2,1­Y；(2)证明见解析.

【分析】(1)利用导数的几何意义，先由/'⑴=4求出〃的值，再由/⑴=4+8求出。的值，

(2)要证对x«L”)恒成立,只需证〃x)v4(x-l)对xw(l,y)恒成立,

所以构造函数g(x)=/(M-4(x-l)=ln(2x—l)+21nx-M+4(x>\),然后利用导数求出

其最大值小于零即可

【详解】(1)解：因为/(x)=一4+9，

ax-\x

所以广(1)=工+〃=4,

解得。=2,

则/(1)=0=4+匕，解得分=T.

(2)证明：因为左之4,所以要证〃工)<刈1-1)对工€(1,a)恒成立，

只需证〃x)<4(x-l)对穴恒成立.

设函数g(x)=/(x)-4(x-l)=ln(2x-l)+21nx-4x+4(x>\),

则g'(”卜高=,因为“>匕所以/(“<°‘所以g(x)在(L+动I:

单调递减，

从而g(x)vg⑴=0,则f(x)<4(x-l)对X«l,+oo)恒成立,

故当时，/(X)-左(1-1)对xe(l,y)恒成立.

【题型九】M与X2：双变量恒成立求参型

【典例分析】

已知f(x)=xInx+(〃?-l)x.

(I)讨论函数/(x)的单调性，并求函数/(')的最值；

⑵设函数g(x)=lnx-2--x+e-9(x>0),若e(0,-KO),有/(xj-g®)NO恒成立,

X

求实数机的取值范围.

【答案】（1）单调性见详解，最小值为-e-m,无最大值；（2）〃拒-InlO.

【分析】（1）利用导数的运算法则求出了'（X）,令尸"）=0,求得x=e/，即可得出函数的单

调性，进而得出函数的最值；

⑵将原问题转化为/（X）mnNg（X）a在（。，+8）上恒成立，利用导数求出函数以工）的最大值,

结合（1）列出不等式，解之即可.

【详解】（1）函数/（X）的定义域为（0,+00）,则ra）=lnx+〃z.令r（x）=0,解得

当0<x<e-"'时，/V）<0；当时，fix）〉。,所以函数/“）在©e"）上单调递减,

在上单调递增，

故函数有最小值/（「"）=-「"，无最大值：（2）由/。田8（&）对>/不吃£（0，+8）恒成立，

知/（x）minNgOOmax在（0,+a）上恒成立,由g（x）=Inx-J一3+e-9（x>0）,得

A

g”.）=（x+e'）07）,又x+e，>0,丁>0,

令g'（x）>0,得0<xvl,令g'（X）V。，得K>1,所以函数g（x）在（0,1）上单调递增，在（l,y）

上单调递减，

则g（x）g=g（l）=T0,又/（X）min=-e1所以-e-mN_10,解得〃整—mio,

即实数，〃的取值范围为〃叱-InlO.

【提分秘籍】

基本规律

双变量恒成立，可以抓化为各自对应的最值，再进行求解。

【变式训练】

设=c"函数g（X）的图像和函数/（x）的图像关于y轴对称.

⑴若/（x）=4g（力+3,求x的值.

（2）令〃（力=半二/（1）=一/+2]+。，若对任意占，与€（0,+<»）,都有力（田）2，（天）恒成

立，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴x=ln4⑵卜叫]一1

【分析】（1）求出g（x）=e、从而列出方程，求出x=ln4；

（2）问题转化为〃（x）=3在（0收）上的最小值大于等于/⑴在（0,转）上的最大值，利用

4人

导函数求出力（月=导的单调性和最小值，配方求出/（X）的最大值，列出不等式，求出实数a

的取值范围.

【详解】（1）由题意得:g（x）=eL则/=4尸+3,即e?一女'一4=0,

解得：e'=4或一1（舍去），所以x=ln4；

（2）//（x）=|-,r（x）=-x2+2x+a,对任意为，x,G（0,-KO）,都有恒成立，

2文

则只需力（力=3在（0,内）上的最小值大于等于f（x）在（0,转）上的最大值，

〃(x)=e；"),当x〉l时，。'(力>0,当Ovxvl时，//(x)<0,

所以力(%)=£!在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

故/?")=£；在4I处取得最小值，MM*=MD=5，

2K2

/(X)=—x~+2x+a=-(x-1)+a+1,xG^0,+oo),

当x=l时，(t)取得最大值，r(x)irax=r(l)=«+l,所以：Na+l,故—1.求实数a的

/-

取值范围-8，/l.

【题型十】X1与X2：存在与恒成立求参型

【典例分析】

设函数"X)=aInA,g(力=gx2

⑴讨论函数/7(x)=〃x)-g("的单调性；

(2)若a>0,对任意的外>占>°，不等式ga)-g(》)>3/a)-9/(占)恒成立，求a的

取值范围.

【答案】⑴见解析(2)(°』】

【分析】(1)由导数与函数单调性的关系求解，

(2)构造函数8(x)=g(1)-4(x),由其单调性列不等式,转化为最值问题求解,

(1)

/7(x)=«lnx-^x2,所以1(x)=@_x=^—―(x>0).

2xx

当〃<0时，/«力<0,函数力(另在函数(0,+8)上单调递减.

当〃>0时.0<x<JaJi'(.r)>0,x>\fa./?*(x)<0.

.••/(-X)在(O,上单调递增，在(G,+8)上单调递减.

(2)

由g(5)-g(W)>Xf。)-切(W)即8(5)一与/(与)>鼠/)一卬'伍)恒成立.

2

^^(X)=^(X)-J/(X)=--axlnx(x>0),由题意知片>0时,0(%)>。&)，

故当xe(0,y)时函数双目单调递增，所以“3=%-。(1叱+1)“恒成立，即’2叱!恒

ClJC

成立，

记z(x)="'+L得U(x)=,当Ovxvl时，f'(x)>0,当x>l时，/,(x)<0,

.1.X

・•・函数/(X)在(0.1)上单调递增，在(L+⑹上单调递减，

•“(x)g=Ml)=l，故乂。>。，则OvaKl,”的取值范围是(0/L

【提分秘籍】

基本规律

双变量存在与恒成立型，可以抓化为各自对应的最值，再进行求解，注意转化的顺序和时

机。

【变式训练】

已知函数/(x)=or+lnx

(1)当时，求曲线)［在点(1,/(I)处曲线的切线方程：

(2)求函数的单调区间；

⑶设以外=/-21+2,若对任意%£(0,+oo),均存在马«0/，使得/(%)<g(W),求a

的取值范围.

【答案】⑴2x—y—1=0⑵答案见解析；⑶18,一5|.

【分析】(1)求导，利用导函数的几何意义求出切线斜冷,进而得到切线方程；

(2)求定义域，求导，分a.O与。<0,求解函数的单调区间；

(3)将问题转化为/(x)max<放冷皿，配方求出双。皿=式0)=2,在第二问基础上，求出a.0

不合题意，当。<0时，'卜£|=-1-加(-。)，列出不等式，求出a的取值范围.

(1)

1X+\

a=］时，/(x)=x+lnx,f\x)=］+-=-——，

XX

故/⑴=1,r(i)=2,

故切线方程是：y-l=2(x-l),整理得：2x-y-\=0.

(2)

Ax)的定义域为(0,侄)，

求导函数可得/0)=。+,=竺担">0).

XX

当a.o时，由于，>0,故m+1>0,r*)>0.所以/⑺的单调递增区间为(O.+oo)：

当。<()时，由r(x)=O,得x=」.

a

在区间(0,__L)上，f\x)>0；在区间(―L+8)上，/VX0,

aa

所以，函数Ax)的单调递增区间为(0,-3,单调递减区间为(-工,内)，

aa

综上：当a.O时，JU)的单调递增区间为(0,+oc)；

当。<()时，的单调递增区间为(0,-3,单调递减区间为(-L+8).

aa

(3)由已知转化为"X)mz<g(X)maU.J?U)=X2-2A+2=(A—I)2+1,西仁［0,1］,

・.・gdx=g(())=2,

由⑵知，当a.O时，/(x)在(0,内)上单调递增，值域为R,故不符合题意.

(或者举出反例：存在/(/)=讹3+3>2,故不符合题意.)

当〃<0时，Ax)在(0.-3上单调递增，在(-',+8)上单调递减，

aa

故/(x)的极大值即为最大值，=+=-l-In(-a),

11A

所以2>—l—ln(—。)，所以ln(-a)>—3,解得：a<~,所以a的取侑范围为.

【题型十一】同构型恒成立求参

【典例分析】

已知函数/（x）=|l词+3，a为正实数.

⑴若/‘（X）在（1,X0）上为单调函数，求）的取值范围;

⑵若对任意的冷七«0,2］,且菁工工，都有/、）一”』<一1,求。的取值范围.

X2~A1

【答案】⑴SA］⑵a2会27