高中数学极坐标与参数方程

参数方程极坐标系

22f

例1.已知曲线C：2+二=1,直线1：/一，工（I为参数）

49[y=2-2t

（I）写出曲线C的参数方程，直线1的普通方程.

（口）过曲线C上任意一点P作与1夹角为30。的直线，交I于点A,求|PA|的最大值与最小值.

考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系.

专题：坐标系和参数方程.

分析：（I）联想三角函数的平方关系可取x=2cos。、y=3sin8得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线1的普通

方程；

（II）设曲线C上任意一点P（2cos6,3sin0）.由点到直线的距离公式得到P到直线1的距离，除以

sin30。进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.

解答：22

解：（I）对于曲线C：工_+<=1,可令x=2cosB、y=3sin0,

49

故曲线C的参数方程为[x二2cos?,（6为参数）.

ly=3sinB

\=2+t①

对于直线1：

y=2-2t②

由①得：l=x-2,代入②并整理得：2x+y-6=0；

（n）设曲线C上任意一点P（2cos0,3sin0）.

P到直线1的距离为14cos8+3sin8-6|•

则|PA|二.9。/卢|5sin（e+a）一6|，其中a为锐角.

sm305

当sin（0+a）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为必亚.

5

当sin（0+a）=1时，|PA|取得最小值,最小值为2亚.

5

点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题.

变式1.已知曲线Cl：产-4+c。3t（t为参数），C2：卜二8cos?（6为参数）.

ly=3+sintly=3sinB

（1）化C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线：

（2）若G上的点P对应的参数为1二三，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（X=3+2t（1为参数）距离的

2[y=-2+t

最小值.

例2.在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为[x—位‘os。（e为参数）.以。为极点，x轴正半轴为极轴建

立极坐标系，直线的极坐标方程为2pcos（e+2L）二g化.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用.

专题：计算题；压轴题.

分析：由题意椭圆的参数方程为（8为参数），直线的极坐标方程为2pcos（0+小二班•将椭

（y=sin9

圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

解答：解：将2Pcos（e+—）二班化为普通方程为x-«y一队后二0（4分）

3

点,sin8）到直线的距离

7T

42.2

所以椭圆上点到直线距离的最大值为2加，最小值为代.（10分）

点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程

进行求解，这也是每年高考必考的热点问题.

变式1.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线I的极坐标方程为:

Psin（B-2L）），曲线C的参数方程为：（x=2+2cos0（。为参数）.

62（y=2sinCt

（I）写出直线1的直角坐标方程；

（n）求曲线c上的点到直线1的距离的最大值.

变式2.在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为

p=2V?cos（8+工），直线1的参数方程为「C为参数），直线I和圆C交于A,B两点，P是圆C

4[y=-l+2&t

上不同于A,B的任意一点.

（I）求圆心的极坐标；

（口）求4PAB面积的最大值.

x=l+-zt

5

变式3.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为《（t为参数），若以0为极点，x轴正半轴为极轴

y=-l-^t

5

建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为p=VMos（e+—）.

4

（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；

（2）若M（x,y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值.

例3.选修4-4：参数方程选讲

已知平面直角坐标系xOy,以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（/，—）,曲

6

线C的极坐标方程为p2+273psin3二1•

（I）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程：

（H）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线1：（X=3+2t（i为参数）距离的最小值.

|y=-2+t

考参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.

，占、、、•

专坐标系和参数方程.

题：

分（1）利用x二pcos。，y=psin。即可得出;

析：（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，

解解（1）;P点的极坐标为（仄石，—），

答：36

x=3,乂

xp=273cosy=273^Yp=2V5sirr^=2«2=75.

•・•点P的直角坐标（3,«）

把pg2+y2,y=psine代入P2+2在Psin8=l可得x2+y2+2«尸1，即x?+（y+通）2=4

2

•••曲线C的直角坐标方程为X2+（y+^）=4.

（v~2cos8

（2）曲线C的参数方程为|二（0为参数），直线I的普通方程为x-2y-7=0

ly="V3+2sin6

设Q（2cosB,-V3+2sin0）,则线段PQ的中点M（当cos8,sinO）.

2

那么点M到直线I的距离

|-1+cosB-2sinB_71|cosB_2sinB-

*.也2+22=飞-

•・•点M到直线1的最小距离为生反-1.

10

点本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的

评：单调性等基础知识与基本技能方法，考杳了计算能力，属于中档即.

变式1.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程「二1+cos。（6为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立

ly=sin't,

极坐标系.

（I）求圆C的极坐标方程；

（ED直线1的极坐标方程是p（Sin04-/3cos0）=3寸反射线OM：e=2L与圆C的交点为O,P,与直线1的交点为

3

Q,求线段PQ的长.

变式2.在直角坐标系xoy中，曲线Ci的参数方程为（。为参数），以原点。为极点，x轴正半轴为极

y=sinG

轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin（6+—）=4点.

4

（1）求曲线Ci的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线Ci上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.

f忆

例4.已知直线1的参数方程是《（t为参数），圆C的极坐标方程为p=2cos（e+—）.

V2厂4

y=”~t+4V2

(I)求圆心C的直角坐标；

(H)由直线I上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.

考点：简单曲线的极坐标方程.

专题：计算题.

分析：(I)先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用

pcose=x,psin0=y,p2=x2+y2,进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标.

(II)欲求切线长的最小值，转化为求直线1上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐球系中算出直线1

上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.

解答：解：(I)■,­P=V2coSe-V2sine,p2=&pcosB-&Psin8，

.•.圆C的直角坐标方程为x2+y2-在x+近产0，

即(x-邛)2+(y+*)2=1，.•.圆心直角坐标为一落.(5分)

2

(IDV直线1的普通方程为x-94料二0,

隙冷+圾I

圆心C到直线1距离是.

直线I上的点向圆C引的切线长的最小值是J52-12二2遥(1。分)

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角

坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

变式1.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线1的参数方程为［*二1，(1为参数),

y=at

曲线Ci的方程为p(p-4sin9)=12,定点A(6,0),点P是曲线C：上的动点，Q为AP的中点.

(I)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)直线1与直线C2交于A,B两点，若|AB|N2%,求实数a的取值范围.

变式2.在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆Ci，直