高中数学讲义（人教A版必修二）：第15讲 余弦定理、正弦定理应用举例（教师版）

第15课余弦定理、正弦定理应用举例

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课程标准课标解读

1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中

有关距离、高度、角度的测量问题.

2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决

1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形

问题的能力.

的面积公式.

3.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三

2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基

角形的面积公式.

础上熟练应用是关键.

4.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应

5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.

用.

5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应

用.

纯知识精讲

知识点01基线的概念与选择原则

1.定义

在测最过程中，我们把根据测显的需要而确定的线盘叫做基线.

2.性质

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.•般来说，基线越长,

测最的精确度越高.

【即学即练1】已知海上A,4两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望。岛和4岛成60。的

视角，从B岛望C岛和4岛成75。的视角，则8岛与C岛之间的距离是（）

A.l（h/3海里B「与"海里

C.5班海里D.5班海里

答案D

解析如图所示,C=180°-60°-75°=45°,48=10（海里）.

10_BC

由正弦定理，得sin45°=sin60°

所以a?=5加（海里）.

知识点02测量中的有关角的概念

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫他鱼，目标视线在水平线下方

时叫俯角.（如图所示）

,/目标视线

铅,

仰

角

垂

平

水

俯

角

线

、

目标视线

2.方向角

从指定方向线到忖标方向线所成的水平知.如南偏西60。，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60。.

（如图所示）

【即学即练2】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60。方向的4处，且与岛屿月相距6nmi1c,渔船乙以5n

mile/h的速度从岛屿4出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东a的方向追赶渔船乙，刚

好用2h追上.

——东

(1)求渔船甲的速度；

⑵求sin«.

解(1)依题意，知NB4c=120。，AB=6,4C=5X2=IO.

在△ABC中，由余弦定理，得BC2=>4B2+AC2-2Y4BXACXCOSZBAC=62+102-2X6XI0XCOS120°=196,

解得8C=14,”=烁=7,

所以渔船甲的速度为7nmile/h.

(2)在△ABC中，人8=6,人C=12()。，8C=I4,ZBCA=a.

由正弦定理，得;得=BC

sin120。'

ABsin120。6X坐述

即sina—

BC1414•

生知识点03三角形的面积公式

1.已知△ABC的内角4,B,C所对的边的长分别为a,b,c,则△ABC的面积公式为

(1)5=；absinC=^/?csin>4=^c«sinB；

(2)S=：a•儿也•九(儿”hb，儿表示。，b,c边上的高).

2.△43。中的常用结论

(1M+B+C=I8O。,

sin(A+8)=sinC,cos(A+B)=—cosC；

(2)大边对大角,BPa>b^A>B*>sinA>sinB；

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小「第三边.

【即学即练3】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+〃=5,c=巾，且ccosA+石

=b.

⑴求C的大小；

(2)求△ABC的面积.

解(1)由正弦定理，得sinCeosA+^111A=sin4=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

即/sinA=sinAcosC,

VsinA=#=(),AcosC=^,又C£(0,n),/.C=J.

(2)由余弦定理，得QuaZ+Z?-2%cosC,

即7=片+乂一〃匕，

.•・7=(4+8)2—3他=25—3。儿故必=6,

.c」…「1…3.

••^△ABC=5。加inC=5X6X0=今,

故△ABC的面积为挈.

反思感悟求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思

想在解题中的应用.

B能力拓展

考法01距离问题

【典例1】如图，为测量河对岸4,8两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C,。两点，测得/AC8=60。,

ZZJCD-45°,NAO3=60c,/ADC=30。求A,4两点的距离.

解在△BCD中，ZBDC=600+30°=90°,ZBCD=45°,AZCBD=90°-45°=ZBCD,

，B/)=CO=40,BC=7Bb1+CD?=4(N1

在△AC。中，NAOC=30。，ZACD=60°+45°=105°,

:.ZCAD=18O°-(3O°+105°)=45°.

由正弦定理，得=

在aABC中，由余弦定理，得

A#=AC2+4C2-14CX4cxeos/4C4=(2M)2+(4(S)2—2X2(SX4(5cos600=2400,

AZB=2()V6,

故A,8两点之间的距离为2Mm.

反思感悟求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是

(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.

(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求辞.

【变式训练】如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A,B,望对岸的标记物C,测得NC4B=30。,

NC84=75。，48=120m,则河的宽度是m.

答案60

CDCD

解析tan30°=而，tan750=而

又4。+。8=120,

A/Dtan300=(120—AD)tan75°,

r.ZD=6(h/3,故CQ=60.即河的宽度是60m.

考法02高度问题

【典例2】珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度

也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高

精度测量仪器，采用了分段测录的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到

珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中，

已知竖立在B点处的测量觇标高：0米，攀登者们在4处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70。,80。,

则A,8的高度差约为()

A.10米B.9.72米

C.9.40米D.8.62米

答案C

解析根据题意画出如图的模型，则C8=10,NOA8=70。，N。4c=80。，所以NC4B=10。，/ACB=10。,

所以A8=10,所以在RtZXAOB中,8。=lOsin70。七9.4(米).

反思感悟测量高度问题的解题策咯

(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面,

将空间问题转化为平面问题.

(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.

【变式训练】如图，为测得河对岸塔4B的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上，测得点

A的仰角为60。，再由点。沿北偏东15。方向走10m到位置。，测得/8。。=45。，则塔A8的高是()

A.10mB.1()V2m

C.10^3mD.\0\[bm

答案D

解析在△4CO中，CQ=10m,N30c=45。,

N8CQ=150+90°=I05。，NO8C=30°,

由正弦定理'得sin/，/)C=sin、DBC

4R

在RtZXABC中，tan60。=行,

DC

故/W=BCXtan60°=l()>/6(m).

考法03角度问题

【典例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60。的B处，乙船以每小时。海里的速度向北行驶，已知甲船的速

度是每小时小。海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？

解如图所示.设经过1小时两船在C点相遇，

则在△ABC中，BC=”（海里），40=小川（海里）,

5=180°-60°=120°,

,gCAC缜

由5山/048=而否得

立

./八…BCsinB«/Xsin12002I

V0o<ZC/lB<60°,・・・NC48=30°,

•••NZMC=60°—30°=30°,

・•・甲船应沿着北偏东30。的方向前进，才能最快与乙船相遇.

反思感悟测量甭度问题的基本思路

测量角度问题的关键是在弄清■题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离,

再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.

【变式训练】地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30。的方向，且距离为4Mm,

之后该测绘人员沿正北方向行走了40m,到达点8.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目

标参照物。的距离.

解如图，在△松B中，NE4B=30。，以=4(N5m,人8=40m.

由余弦定理，得

=A/402+(4()V3)2-2X40X4()73Xcos300=40(m).

因为AB=40m,所以A8=PB,所以N4P8=/%B=30。，所以/尸84=120。.因此测绘人员到达点8时,

目标参照物P在他的北偏东60。方向上，且目标参照物P与他的距离为40m.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.在》8c中，A,B,C的对边分别是若d』?,则58C的形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或直角三角形

【答案】C

【详解】三角形A8C中，cosC=—<0,所以C为钝角，

三角形为钝角三角形.

故选：C.

2.下列命题中，不正确的是()

A.“若则人的否命题为假命题

ab

B.在锐知工8c中，不等式sinA>cos8恒成立

C.在_A8C中，若acosA=AosB,则58C必是等腰直角三角形

D.在54C中，若4="二心则"8C必是等边三角形

【答案】C

【详解】对于A,原命题的否命题为“若则

由得，---=--->0,得Z?Na>0或〃<人<0或〃<0<4,

ababab

所以该否命题为假命题，故A正确；

对「B,在锐角工8c中，因为C=7t—(A+B)<T，

J

又因为y=sinx在单调递增，所以sinA>sing-B

即sinA>cosB,故B正确；

对于C,在，ABC中，由acos力=Z?cos8,

利用正弦定理可得：sinAcosA=sin8cos8,

/.sin2A=sin2B

48仁（0,兀）,...24=28或24=加一28,

得A=6或A+8=g.

2

.•二ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；

对于D,由余弦定理b2=a24-c2-2accosB得IT=cr+c2-ac,

又因为//=〃c,所以〃+c2-2ac=0,（4-c）2=0,

所以。=c,又因为8=g,所以二4BC是等边三角形，故D正确，

故选:C.

3.如图所示，两库灯塔A和4与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40。方向二，灯塔B在

观察站南偏东60。方向上，则灯塔A在灯塔8的（）

南

A.北偏东10。方向上B.北偏西10。方向上C.南偏东80。方向上D.南偏西80。方向上

【答案】D

【详解】由条件及题图可知，“BC为等腰三角形，

所以NR4C=NABC=40。，又NBC£>=60。，

所以NC8O=30。，所以/。84=10。，

因此灯塔A在灯塔B的南偏西80。方向上.

故选：D.

4.（多选）某人在A处向正东方向走*m后到达B处，他沿南偏西60方向走3km到达。处，这时他离出发

点看km,那么x的值可以是（）

A.6B.2石C.叵D.2N/2

【答案】AB

【详解】如图，由条件可知，|的=5，480=30,忸。=3旧，|A。=V5km,根据余弦定理可知

3=.r2+9-2-3.r-.BP.r2-3>/3.r+6=0.

2

解得：工二百或26

故选：AB

5.在△48C中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=l,cosC=^,则△ABC的面积为

【答案】当吟^

【详解】由同角三角函数关系：sinC=>/l-cos2C=—，

3

由三角形面积公式得：SKlfC=—«Z?sinC=—x2xlx-^^-=^^-.

"c2233

故答案为：平

6.在“1BC中，内角4,B,。所对的边分别为小b,c,若COS4=2,则“6Q的形状是

（填

c

“直角三角形”，"锐角三角形〃，“钝角三角形”中的一个〉.

【答案】直角三角形

【详解】方法一:

8SA，="£L

c2bc

a2+b2=c2

所以一ABC的形状是直角三角形.

方法二：

.bsinB

CDSA=—=----

csinC

二.sin8=sinC8sA

XsinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA

/.sinAcosC=0

又sinA0

/.cosC=0

即Y

所以的形状是直角三角形.

故答案为：直角三角形.

7.如图，小明同学在山坡上A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公

路上4,C两点的俯角分别为30。,45。，且N8AC=135。.若山坡高为AZ）=100m（点氏。,。在同一水平面），汽

车从C点到8点历时15s,则这辆汽车的速度为m/s.（结果精确到整数，参考数据：J历=3.162）

An37)l

【详解】由题意，AB=-^―=200,AC=-4-=100X/2,

sin30sin45

由余弦定理可得

BC=>jAB2+AC2-2ABACcos^BAC=^2002+(l00&了-2x200x100行xcos135«316.2

这辆汽车的速度为316.2+15公21m/s.

故答案为：21.

8.在二48。中，cosA=—,c=3,sin8=2sinA且〃工c,求:

8

⑴求〃的值；

（2）求ABC的面积.

【答案】⑴6二4

⑵岖

【详解】（1）因为sin8=2sinA,由正弦定理得，3所以人=为，

sinAsinB

由余弦定理得cosA="-+c二,因为cosA=?,c=3,

2bc8

所以1=4a~+9-土,化简得为=7〃+6=0,解得4=2或。=:，

82・2。・32

当〃=1•时，）=勿=3=°,与题意不符合；

当〃=2时，b=2a=4",符合题意.

所以6=4.

7

（2）因为8sA=-,Aw（0,乃）,

8

所以sinA=>/1-cos2A=,所以，ABC的面积S=,力c•sinA=—x4x3x业5=——

82284

9.如图，甲船以30忘海里/小时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A处

时，乙船位于甲船南偏西75。方向的用处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达4处时，乙船航

行到甲船南偏西60。方向的当处，此时两船相距10式海里.

（1）求A与；

⑵求乙船的航行速度.

【答案】⑴44=10后（海里）

⑵30夜海里/小时

【详解】（1）如图，连结A4，

因为A3,=IOV5,A4=^X30匹=10&,NA44=60。

60

所以^4人&是等边三角形，

所以A8=10五（海里）

（2）因为/SA&=1。5。-60。=45°

在6AB2用中,由余弦定理得:

用或=A哥+A段-2As•4&•cos45。=200

所以4耳=10及（海里）

囚此乙船的速度的大小为电&x60=30应

20

所以乙船航行速度为30日海里/小时

10.A8C的内角A,13,C的对边分别为〃，/2,c,JI2/?cosA=ccosA+acosC.

⑴求A；

（2）若a=4,求"SC面积的最大值.

【答案】（1）A=?

（2）4X/3

【详解】(1)根据正弦定理及2Z)cosA=ccosA+acosC,

得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(/1+C)=sinB.

「sinBHO,

/.COS/I=—

2

,/0<A<7t,

A=—.

3

(2)由(1)知A=g，又。=4,

rh余弦定理得16=b2+c2-20ccosg.

即b~+e2-be=16,

b~+c2>2bc，

2bc-bc<16»U|Jhe<16,

当且仅当力=。=4时取等号.

0川=LesinA=-x^-hcK与16=4"

△ABC2224

SABC•的最大值为4G.

11.已知JSC的内角内B,C的对边分别为a,加c,且/+02一/=2,*ABC的面积为&.

(1)求tan"的值；

⑵若。为边4C的中点且80=2,求“8C的周长.

【答案】(l)lanB=2五

(2)2(x/5+x/3)

【详解】⑴由余弦定理可得8sB=色就'

又/+/=2，整理得accosB=1.

因为SABC=；aesinB=五,即^csinB=2&

,_,,八acsinA_r-

所r以tan8=------=2J2.

accosB

(2)由(1)的过程可知sinB=^^,cos8=-!-

8i

所以厂一1+厂飞■=］，解得ac=3.

(")(ac)

因为6O=g(8A+BC),

所以BD2=+BC）2+BC2+2BA-Bcj.

因为C4=8A—BC，

所以O'=（84—BC）2=BA2+BC2-2BA-BC，

所以4BD2+C42=2阿+BC2）,

即4x4+/=2（/+C2）=2（〃+2）.解得b=2行.

故〃2+/=/+2=14,

所以（。+c）’=14+2ac=2（）,

即a+c=2\[5.

所以“BC的周长为2（石+G）.

12.记锐角二/WC的角AB,C所对的边分别为a,Z?,c.已知一三+—勺+—==丁生号~

cos/1cosAcosCv3cosBcosC

⑴求角A的大小；

（2）若〃=2,求BC边上的高的取值范围.

【答案】（1）4=£

6

⑵（26G+2]

Z?sinC

【详解】（1）解：因为-----1-----1-----=­7=---------

cosAcosAcosCV3cosficosC

”,4A、工i”sinAsinBsinCsinBsinC

所以，由正弦定理边角互化可得：--+—-+--=-^一-一-

cosAcos4cosCV3cosBcosC

所以，tanA+tan27+tanC=tanBtanC

3

tan4+tanC

因为tanA=-tan（B+C）=-

1-tanBtanC

所以，tanA+tanB+tanC=tanAianBtanC

所以tanA=—.

3

因为4«0,乃）

所以A=g.

6

（2）解：设〃。边上高为为（力,0）,垂足为

设BH=x(O<xv2),则C”=2-x,

所以tanB=—,tanC=—^―,

x2-x

由(1)得+tan8+tanC=tan8tanC，

^[Xh2-2y/3h=2x-x\

因为0<xv2,

所以2x-x2e(0,l],liplr-2gh=2x-x2e(0j],

解不等式%2_2G/?>0得力>2百或〃<0；

解不等式力2_26/?Kl得-2+百4后2+6，

因为人>0

所以/?e(2j5,J5+2]

题组B能力提升练

1.国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了C。两

点，在。、。处测得旗杆的仰角分别为45、30.在水平面上测得N8CO=120且C、。的距离为10米，则旗杆

的高度为（）

D.10>/5

【答案】C

【详解】如图所示:

A

设旗杆的高度为人

所以"。=焉=儿"D=/=不〃•

在△SCO中，由余弦定理得,

即（收了=//+10?一2x〃x10X

即力2-5/7-50=0,

解得〃=10或〃=一5（舍去）.

故选:A.

2.某大学校园内有一个“少年湖"，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图

书馆在8处，为测量A、3两地之间的距离，甲同学选定了与A、3不共线的C处，构成ABC,以下是测量

的数据的不同方案：①测量NANA,NC；②测量4,N8/C；③测量NAAC/C；④测量NC,AC,8C.

其中要求能唯一确定A、4两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【详解】①测量N4,乙C,乙B,知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点AB两地之间

的距离；

②测量NA,/B,BC,已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A,3两地

之间的距离；

③测量NA,AC,BC,已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定

点A,B两地之间的距离；

④测量NC,AC,BC,已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A,8两地

之间的距离.

综上可得，一定能唯一确定A，6两地之间的距离的所有方案的序号是②④.

故选：C

3.某市某中学高三（4）班同学小李要测量一座山的高度.当地有一座山，高度为0。小李同学先在地面选

择一点A,在该点处测得这座山在西偏北25。方向，且山顶7处的仰角为30。；然后从A处向正西方向走700

米后到达地面8处，测得该山在北偏西5。方向，山顶7处的仰角为60。.同学们建立了如图模型，则山高07

为（）sin250之立^

A.20币米B.50板米C.200万米D.140历米

【答案】D

【详解】设山高07=。，在RIAAO7中，/力4。=30°,AO=5=瓜,

tan30

在RJBOT,N7BO=60。，所以BO=」一=典,

sin6003

在,AO8中，NOBA=95。,NOAB=25°,所以N8Q4=60。,

ABOB

在,八OA中由正弦定理可得:

sin乙408-sin4OAB

也即

V3sin25。

所以/?=]400sin25Opl40>/?T，

故选：D.

4.在中，BC=6,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形旗。（6为直角顶点，C、。两点在

直线A8的两侧）.当/C变化时，线段CD长的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】解：方法一：如图，将△88绕点6顺时针旋转90，得到/XW/A,连接C4,

・,.BCg_BHA,NC7汨=NQ8A=90，

在八ABC中，BC=6,AC=\,

:・BC=BH=五，CD=AH,

CH=>/2BC=2，

在MCH中，AH<AC+CH,

二•当点C在A”上时，即A、C、”三点共线，此时A”有的最大值，

A”的最大值为：AC+CH=\+2=3,

CD=AH,

二•CO的最大值为：3.

故选：C.

H

方法二：如图，设NCR4=a，AB=BD=a,

在△8C。中，由余弦定理可知：。。2=2+"+2亿sina，

在一ABC中，由余弦定理可知：85。=/舟，

\j-a4+6a2-1

由同角关系可得:sina=-----尸-------

26a

•<,CD1=2+a2+yj—a4+6a2，

令I=2+a?,

则CD2=t+V-r+I0r-17

=f+J-(f-5)：8

2

=(f-5)+A/-(r-5)+8+5

《a・'（"5『+[一”5）2+8]+5=9,

当。一5f=4时等号成立.

的最大值为：3.

故选：C.

5.（多选）重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图所示，现某中学数学兴

趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，8为基座（即3在A的

正下方），在步行街上（与6在同一水平面内）选取两点，测得C。的长为100m.小组成员利用测角仪

已测得乙4圆=二，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度A8的是（）

A./BCD、NBDCB.ZACD.ZADC

C./BCD、ZACDD./BCD、AADC

【答案】ABD

【详解】解：对于A选项，如图，根据C£>,N8CD,N3DC,可利用正弦定理求得C8,从而求得AB,故A

正确：

对「B选项，根据CR/AC。，ZADC,利用止弦定理可求得AC,从而求得48,故B正确；

对于C选项，根据四个条件，无法通过解三角形求得A8,故C错误；

对于D选项，由/ACB,/3c。借助在角三角形和余弦定理，用的表示出CB.8RACA。，然后结合

CD/4。。在三角形4OC中利用余弦定理列方程，解方程求得A4,故D正确.

故选：ABD.

A

6.已知ABC,内角A,B,C所对的边分别是%Ac,c=l,NC的角平分线交A8于点O.若

sinA+sin4=2sin/ACB,则CQ的取值范围是

【答案】

对sinA+sin4=2sin/A8用正弦定理，可得a+/?=2c=2,设CO=x,ZACD=NDCB=。,由于2。为

一人r，」n.iz!(八.c.ce—r/jbxsin6t/xsin0abs\n26

二角形内角，则，W,由14CD+&.BCD~S.AC8"JM，~~~>整理好，

\)222

2abcos02abcos0,___人——e、，,

x=------------=-----------=46cos0,对y\BC,由余弦定理，一labcos2。=c~=1,即

a+b2

r33

(a+b\-lab-labcos20=1,故2ab(\+cos26)=3,gpab=--------—•=-----7—,J-是

\72(1+cos20)4cos-0

x="cose=7j,根据基本彳等式，_A_=d/,<f£±^Y=i,即cos2ezg,结合ewo,1，解得

4cos6>4cos之。V2J4、

生8S6<L即2A4C—于是户鼻(1叵

4'~r

故答案为：（玄乎

7.在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图"CO所示为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四

边形ABC。区域中，将三角形A3。区域设立成花卉观赏区，三用形BC。区域设立成烧烤区，边AB、BC、

⑴如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏(精确到0.1

米)？

⑵考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形A8C。区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉

观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？

【答案】(l)247.4m

⑵应使得AB=AD=100x/5m,ZC=|来修建观赏步道.

【详解】(1)S口=g8CCOsinC=；xl00x200sinC=960。，

24

解得：sinC=—,

囚为C是钝角，所以cosC=一1.

由余弦定理得：BD=dBC2+CD^-28CCQCOSC

22

=4'100+200-2X100X200Xf--K247.4,

故需要修建247.4m的隔离防护栏；

(2)解法一：5fiCO=|BCCDsinC<^CCD=10000,

当且仅达C=5时取到等号，此时80=100石m,设=,

100石_200

AD_AB、、

在△A3。中，s\na.(21.n3

sin—7T--aJsm-

(3

解得：AO=T代访/48=200/-z.(2

:---V15sin-n-a

313

故S-AD・小d陋也…2

-n-a

23(3

25000x/3fI(2N

3[2I3))

因为aw(0,：兀,所以20一|兀€(_1兀,|兀)，

故当2a-|k0,即a=g兀时，cos(2a-gj取的最大值为1,

53«25"牝口+1)=125006

当且仅当时取到等号，此时AB=AD=100方

答：修建观赏步道时应使得AB=AO=100晶，NC=].

解法二：S•on\c.tny=-2BCC2D-sinC<-BC-CD=\(XXX),

当且仅达c=5时取到等号，此时40=10()6，

设A8=x,AQ=y.则由余弦定理，

BD=y1AB2+AD2-2ABAD-cos4=^Jx2+y2-2xy-^=100>/5,

故由平均值不等式，50000=/+/-孙之不，，

从而SABD=〈I2500,

等号成立当且仅当x=y=100石.

答：修建观赏步道时应使得AB=AD=1006m,ZC=^.

8._ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,设屈sinA=c42+cos8).

⑴求B；

⑵若y8C的面积等于G，求/BC的周长的最小值.

【答案】(1)8=与

(2)4+2^

【详解】(1)解：y/3bsinA-a(2+cosB),

所以Gsin4sinA=sinA（2+cosB）,

因为sinA>0,

所以V5sin5-cos3=2,

所以2sin（8q）=2,

兀）,所以8法］.

6I66J

er*r»兀兀c27r

所以8—7=7，/.B=—；

623

（2）解：依题意避竺=75,「."=4,

4

所以〃+cN2疝=4,当且仅当a=c=2时取等号，

又由余弦定理得从=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac>3ac=12»

:・bN20当且仅当〃=c=2时取等号，

所以的周长最小值为4+26.

9.某农户有一个三角形地块ABC,如图所示.该农户想要围出一块三角形区域A3。（点。在8C上）用来养

一些家禽，经专业测量得到A4=3,cosy.

（1）若,求A。的长；

2

（2）若8。=2。。,出上”@=4&,求△A0C的周长.

sin/CAD

【答案】（1）4

⑵3+6夜+回

【详解】（1）解：在一ABC中，8s4=：,且840,万），所以siW=竽.

因为c—=等4—（。㈤，所以-8等

ADAB

在△A8O,由正弦定理可得

sinBsin/ADB

ABsinli

所以AO=

sin^ADB

2

S

(2)因为区。=2力C,所以瞪皎二2,

,△ACO

-AB-AD-sin^ABD

ABsin^ABD3sinZABD今

所以+-=2,即:-------------=--------------=2可得AC=6jL

-ADAC-sinZCADACsin^CADACsinZCAD

2

在,A8C中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB.

所以3c2—28。-63=0,解得8c=9或8c=—7（舍去）.

因为4D=2£>C,所以BO=6,OC=3.

在△ABO中，由余弦定理可得4犷=A82+8D2-2A8-80COSB=33

所以AAOC的周长为3+6夜+a.

10.在①a+4cosc=V5csinA,②(。+〃+。)(。+人一。)=3aZ?,(3)(«-/?)sin(/?+C)+/>sinB=csinC.

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知锐角三角形A8C的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,,且SA^=JL

(1)求角C的俏：

⑵求。的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.

【答案】(1)。=5

(2)(夜,2夜)

【详解】（1）选择条件①.

d+i7cosC=5/3csinA»

「•由正弦定理，ft1sinA+sinAcosC=\/3sinCsinA.

/0<4<-,/.sinA>0,

2

1+cosC=>/3sinC»>/3sinC-cosC=I»

印—sinC--cosC=—,

222

选择条件②.

由（a+Z?+c'）（a+b-c）=3",得+-c2=a2+b2+2ab-c2=?>ab,

a2+b2-c1=ab.

得C°sC=X^abI

则由余弦定理,=

2ab2ab2

选择条件③.

A+B+C=TIFB+C=n-A,

结合（4-〃）sin（B+C）+Z?sin8=csinC,得（a-〃）sinA+Z?sinB=csinC.

由正弦定理，得（。一/?”+从=。2,^a2+h2_c2=（jh

a2+h2-c2ah1

则由余弦定理,得cosC==2ab=2

lab

*/0<C<-,C=—.

23

（2）S,.=—«/?sinC=-ab­—=ab=4.

222

・•.为锐角三角形，且C=],

&27c（兀）n„271

3I2j63

£0<8<一,—<B<—，.二tan8>.

2623

由正弦定理」4=昌，得1=皿?，

sinAsinBsinB

4—cosB+sinB

22点~+2

__v_______________;

sinBsin8tanB

「.2</<8，/.0<a<2式,即〃的取值范围为（a,2及）

题组C培优拔尖练

1.在中，BC=&AC，/8AC=（,点。与点6分别在直线AC的两侧，且A£>=1,DC=6则8。

的长度的最大值是（）

A.&B.36C.3D.巫

2

【答案】B

【详解】由8C=Ji4C=生=3=tanN84C可知，工8c是NA3C二三，乙48二g的直角三角形，如

AC62

图所示：

设AC=x,BC=&x，ZADC=3,则由余弦定理

得AC?=AD?+