高中数学讲义-微专题59 新信息背景下的数列问题

微专题59新信息背景下的数列问题

含“新信息”背景的数列问题，以其难度通常位于试卷的最后一题。此类问题有以下儿

个难点：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关

键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点，传统题FI通常在问法上

就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和但新信息问题所问的因为与新信

息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向。三是此类问题在设计

时通常注重几问之间的联系，即前面问题的处理是为了最后一问做好铺垫。但学生不易发现

其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题

难度陡然增加。本节通过10道例题来说明如何对这种“新信息”题目进行理解与分析，如何

寻找到解题的突破口与思路

一、基础知识：

1、此类问题常涉及的知识点

（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式

（2）数列的单调性

（3）放缩法证明不等式

（4）简单的有关整数的结论

（5）数学归纳法与反证法

2、解决此类问题的一些技巧：

（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）间让你熟悉

所创设的定义与背景，第（2）,（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解

决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。抓住“新信息”

的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路

（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一

些基础知识与方法。所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪

个知识点有关，以便找到一些线索。

（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程

中会发现更杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得更杂情况也有章

可循。

二、典型例题:

例1：定义：若对任意•，数列｛4｝的前〃项和S”都为完全平方数，则称数列｛q｝为“完

全平方数列”；特别的，若存在〃£N*,使得数列｛4｝的前几项和S”为完全平方数，则称数

列｛4｝为“部分平方数列”

2.—]

(1)若数列｛%｝为“部分平方数列"，且"一(〃£”)，求使数列｛〃”｝的前〃项

2,〃2

和S”为完全平方数时〃的值

⑵若数列也J的前〃项和7；=5T)21CAT),那么数列他1｝是否为“完全平方数列”？

若是，求出/的值；若不是，请说明理由

(3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列

解：(1)思路：依题意可知先求出S”的表达式，再根据表达式的特点寻找到完全平方式即可

〃=1时，Slt—2

〃之2时，5“=q+%+,,+%=2+2+4+2"-“+纪心=2〃

2-1

.二〃二2女卜£AT)时，=22k=(2人/是完全平方数

(2)思路：若要观察｛圾J｝的前〃项和是否为完全平方数，则要先求出的通项公式。由7；

可求得b=|('一1)'〃斗,因为7；=(〃T)ZWN)为完全平方式，所以若

2n-2t-\,n>2,neNV7

｛WJ｝有些项为也｝中对应项的相反数，则再求和时很有可能不是完全平方数。根据〃22时，

bn=2n-2t-\f可知只有f=lB寸，”恒大于0,即也J="，所以｛|2|｝是“完全平方数列”;

,22时，｛2｝中存在部分项小于0,可知｛MJ｝不是“完全平方数列”

解：〃22时，bn=Tn-7^_,=2/2-2/-1

〃=1时，/?)=Z)=(f—1)'

..心二七心=1

2/z-2/-1,/?>2,〃GN

\2n-2t-l|,/i>2,HGN

当1=1,〃之2,〃EN时，|0|二|2〃一3|=2〃-3二"

二.｛闻｝的前〃项和即为1=(〃一1『，所以版|｝为“完全平方数列”

当92时，闻+冈二(/-1)2+|3—24=/一2，+1+2，-3="一2不是完全平方数

.,・｛四｝不是“完全平方数列”

综上所述：/=1时，｛四｝是“完全平方数列”，122时，｛同｝不是“完全平方数列”

(3)思路：依题意可知该等差数列的前〃项和公式应为完全平方式，由等差数列求和公式

.•.S“=4〃+〃(〃―)4出发,可将其通过配方向完全平方式进行靠拢，可得：

2

而

---eZ7

2

/2>\

幺」］£1__幺+4

S”=n+,所以有.I,再根据

d2)28>d2

式-生+色=0

2d28

是4wZ,---eZ利用卷数的特性求解即可。

2d2

解：设所求等差数列也｝的首项为外,公差为d

d_

〃122I12

若｛%｝为“完全平方数列”

则V〃EN”,S”为完全平方式

n+4

•*'s.=d2)〔2d28J

|^eZ①

2

②

d2

C_幺+《=0③

2d28

由①可令金4=&（女wZ）=d=2&

11

由②令———=m（mGZ）,可得：a=mH■一d=（2m+1）公

d2i2）

代入到③可得:

W）2T2⑵川）

+—2&2=0

2-2k28

n公(2m+1)-_欣2_,新+」公=o

424

nk2nr+mk2^---/nk2--k2+-k2=0

424

nk2m2=0k=0或m=0

当A=0时，4=0,〃=0atl=0

222

当〃?=0时，671=k,d=2kan=ax+｛n—\)d=k(2n—1)

当A=()时，an=0符合上式

综上所述，an=lc(2n-\\k^Z

例2：已知数列｛凡｝的前〃项和为Sn,且满足q=4(〃工3),=S.+3"，设与=S“-3",

HGN4.

(1)求证：数列仍“｝是等比数列；

(2)若/+]24,〃EN”,求实数。的最小值；

3,n=1,

(3)当。=4时，给出一个新数列｛«“｝,其中八设这个新数列的前〃项和为C〃,

b.,n>2.

若。“可以写成/(，,〃£内且，>1,〃>1)的形式，则称。“为“指数型和”.问｛CJ中的项

是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.

(1)思路：证明｛勿｝为等比数列，可以利用条件中的S”,。“作为中间桥梁寻找的关系，

b=S-3n+,

则有:”°，只需找到Se，S〃的关系，由S”.|二S“+q川及4M=S”+3"可得：

也=3-3”

S“+i=2S“+3〃，进而代2解出b“+1=2〃

解：bn=s„-y

•.也.i=Se—3e=S“+a”.「3i

,・・%=S.+3"2=5”—3〃nS”=〃“+3〃

/,+,n+,n+,

/.bn+i=Sn+l-3=2Stl+3"—3=2(。+3")+3"-3=2btl

.•.｛"｝为公比是2的等比数列

b、=S]-3=q-3=〃-3

.也=$2i=(〃_3).2"T

(2)思路：由(1)可解出S“=(a—3)・2"T+3〃，进而可求出

a.n=1

a=,,.,，由〃“+[2可在〃22的情况下得到关于〃的恒成立

〃n[23-十(a-3).2『心2向”

不等式，从而通过参变分离可求出。的范围：a>-9,耳脸证出之卬是否成立即可

解：由(1)可得:S“=〃+3〃=(a-3)・2"T+3”

.,42时，

n22

an=Stl-5”T=■〃-3)・2"T+3〃]一[(a-3)•2-+3"々]=2•3'1+(a-3)•T-

a,n=1

•q=(2.3〃T+(a_3).2/〃z2

2

〃之2时，an+l>an<=>2-3〃+(a-3)♦2"々>2•3”一+(a—3)・T~

A[〃T(Q\n-1

即43"之(。_3)・(一2"-2):.a-3>—^=-S-\-

。之3—8•|—=—9

LJmax

当〃=1时，a2=6+a-3=a+3>a成立

:.a>-9

[3,H=1

(3)思路：。=4时，可代入求出包二2"T,从而,利用“指数型和”的

2n~\n>2

定义，可先求出｛〃｝前〃项和G=2"+1,从而将问题转化为2"+1可否写成〃'的形式，本

题不便将2"+1变形为”的形式，所以考虑利用等式转化为方程是否有解的问题。印判断

2"+1=tp是否有解。2"+1=〃=2〃=〃一],〃为偶数时，tp-

〃为奇数时，tp1=（，l）（r/,_|।tp-2ii/i1）。而2”只是〃个2相乘，所以可通过对

分解后的每个因式能否表示为2"'的形式进行讨论即可。

解:由（1）可得：当。=4时，b“=2”7

3,n=1

r~\n>2

2(2”|

当2时，C=3+2+4++2'i=3+-^---------^=2〃+1

n2-1

〃=1时，C,=3=2'+1

・<=2"+1

假设｛Q｝中的项存在“指数型和”，则方,

使得：〃=2"-1=〃-1=2”

p

当〃为偶数时：t-\=A_1J/2+J

p_p_

设〃+1=2=/一1=2。则

.•.28-2"=2=2"5-1)=2

2'=2[/?=1

可解得：

2s~h-1=1[g=2

.•.〃=3,即。3=9=32,为“指数型和”

当〃为奇数时，当一1=("。(产n+,+/+1)

若，为偶数，则/一1为奇数，1丁1+产-2+...+，+1为奇数

.•.产一1为奇数，〃一102〃

若f为奇数，则/一1为偶数，tp-l+tp-2++f+l为p个奇数之和也为奇数

・•・当〃为奇数时，不存在“指数型和”

综上所述；只有g为“指数型和”

例3：如果存在常数。使得数列｛《,｝满足：若/是数列｛4｝中的一项，则Q-x也是数列也｝

中的一项，那么就称数列｛%｝为“兑换数列”，常数4是它的“兑换系数”

(1)若数列：1,2,3,加(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求加和。的值

(2)若有穷递增数列也｝是“兑换系数”为。的“兑换数列”，求证：数列低｝的前〃项和

Sn=~'a

(3)已知有穷等差数列匕｝的项数是〃0(〃。23),所有项之和是8,试判断数列｛%｝是否

为“兑换数列”？如果是，给予证明，并用〃。和8表示它的“兑换系数”；如果不是，请说明

理由

(1)思路：依照“兑换数列”的定义可知，x,a—x应均在数列中，在第(1)问中涉及两个

变量a,〃2,故考虑寻找两个等量，通过方程解决。其最重要的等量关系就是找到。-工是数列

中的哪一项。通过排序可知1<2<4<相，则通过不等式性质可知：

a-tn=\

a-in<a-4<a-2<a-\,此数列一共就4项且单词递增，所以得，，从而解

〃-4=2

得a,m

解：由已知可得：1.2.4,，刀在“兑换数列”中，且1<2<4<根

。一〃—4M-2,1也在该数列中,且。一va-4〈。-2v。一1

a-m=\[a=6

=>

a-4=2[m=5

(2)思路：第(1)问提供了这样一个思路：如果数列是有限数列且单调，则由。-x对应生

成的数列也单调，且单调性相反。由“兑换数列”的定义即可知两个数列中项应存在相等关

系。所以利用这个特征可知在也｝中，由4v〃，v…H.〃一包<…v〃一〃、v〃一々能

b、+b,=a

够得到b、=a-b力、=a-b0…力2=a-bz,即4~,根据首尾和是个常

4+*+i=a

数的特点可知求和时使用倒序相加法即可得到S„

解;不妨设有穷数列色｝的项数为〃

｛〃｝为递增数列

：.b.i<bx、<•••n<bar-ib<a〃-­ib,<••*<a/-<ai-b.

・.瓦

，b\=a-b〃,b?=a_b“7，=a-bn_k+l

即力…=

bx+bn=a,b2+bn_x=a,…4+a

Sn=b｝+b2++bn

s“="+2+,,,+”

.•.2S=(4+2)+(4+〃T)+,.♦+(d+4)=M

.\S=—

2

(3)思路：由(2)可得：若有穷单调数列他｝为“兑换数列”，则要满足

那么在等差数列中，有性质%,++%当

“+bn=4+2_|=…=4+*+io｛c%｝c.=c,,

且仅当〃?+〃=〃+〃，所以就可得到：且等差数列若

q+Cn=C2+Cn_]=••-=Ck+Cn_k+1,

不是常数列，则为单调数列。由这两点并结合(2)的思路则可证明等差数列均为“兑换教列”,

。=q+c“，再通过等差数列前〃项和公式即可解出a=——

数列｛%｝是“兑换数列”，证明如下：

设｛%｝的公差为d若d>0,则｛qj递增

...G<。一-G

设4=G+C%,由G+C“°=。2+%/=•••=G+可得:

.”-4=—小｝

同理，若d<0,则｛%｝递减

二。>。2>"G

a-Q1=Cn』G｛cn]

%T+1In0）

若W-（）,则化力为常数列，只需a=2q即可，则a=2q=如6=至

%%

.•.｛c〃｝为“兑换数列”

?.由（2）可知：3=竺"：.a=—

2«（）

例4：设数列｛〃〃｝满足：①q=1；②所有项a”wN*；③1=4</<…%<«,1+1<….

设集合4=｛川qWm,〃7£N*｝,将集合从中的元素的最大值记为如，即么是数列也｝中

满足不等式％大〃的所有项的项数的最大值.我们称数列｛0｝为数｛4｝的伴随数列.例如，

数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.

（1）若数列｛4｝的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,请写出数列｛〃〃｝；

（2）设a”=3”T,求数列也｝的伴随数列也｝的前30项之和；

（3）若数列｛2｝的前〃项和S“=/+c（其中0常数），求数列｛/｝的伴随数列也｝的前〃?

项和Tm

（1）思路：首先要根据例子及定义理解什么是“伴随数列”，“九是数列｛4｝中满足不等式

%的所有项的项数的最大值”，则意味着加每取一个值（〃z=l,2,3,・），则可通过解不

等式乙W机得到〃的最大值即为加，那么按此规律可知在(1)中，b｝=b2=/?3=l,

b4=b5=hb=2,Z?7=3,说明在｛〃“｝中，小于等于3的只有1项，即q=1,b4=2,则

3</"4,所以。2=4,同理6<%<7,则〃3=7

解:可：1,4,7

(2)思路：由(1)可知：伴随数列｛"｝中的项即为解不等式得到〃的最大值，本题

已知〃“二3"T,则可建立不等式3"7W"7=>〃Wlog?，〃+1,则对〃7取每一个值，计算〃的

最大值即可。例如机=1,则〃W1=>4=1；m-2,则〃Wlogs2+1=>〃W1=>仇=1；

以此类推便可寻找到规律，即〃?£口一0/一1]时，n<k,即0=k,抓住这个规律即可得

到低｝的前30项，进而求和

n

若考虑解关于〃的不等式3-'<m^>n<\+log3m

当1Wm<2,mwN时，=b2=\

当3《8,£N时，b、=bq==b$=2

当9V〃?K26,〃Z£N时，4=A。=…=Z?26=3

当27Km<30,/n£N时，b27=b23=b29=Z?30=4

.•.｛2｝的前30项和为1x2+2x6+3x18+4x4=84

(3)思路：已知S〃即可求出数列｛qj的通项公式=2〃-1,再结合(2)对“伴随数列”

m+1

定义的使用，即可建立不等式2〃一”〃z<----,从而可得到：

2

bx=b2=\.by=b4=2.b2l_t+b2l=t,根据项的的特点可考虑以相邻两项为一组进行求和.

则需对项数进行奇偶分类讨论，进而得到7；

2

Sn=n+c,则S—=(〃-1)~+c(n>2)

an=S”—S-=W+c)—[(〃—+c=2n-\

ai=S]=c+1v=1.•.<?=()

/.an=2n-\

解关于〃的不等式2n-\<rn=>n<丝里

2

:'b\=b2=I,4=Z?4=2,也—=3wN*)

=时，即/=笠1

…+%-=2[1+2+…+(-1)]+/=2l—+f

/小+1丫_(〃2+1)2

4

当机=2(/£%・)时，即/二£

T,n=b\+H++优小+%=2(1+2++r)=2-^-/=r(r+l)

mm,加(〃7+2)

—+1

~212丁

W+以

,m=2t-l,reN*

综上所述:仆=<4

tn(in+2).

~7~

例5：对于数列Ay,,为，若满足4£{0,1}(，=1,2,3,6),则称数列A为“0-1数

列”，定义变换了：将“0-1数列”A中原有的每个I都变成0,1,原有的每个0都变成1,0.

例如：A:1,0,1,则7(4):0,1,1,0,0,1,设为是“0-1数列”，令4=7(4T),A=1,2,3,・*

(1)若数列&：1,0,ojo』,i,0,1,0,0,1,求数列A，4

(2)若数列4共有10项，则数列七中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由

(3)若4：0,1,记数列4中连续两项都是0的数对个数为。次=1,2,3,,求/«关于人的

表达式

(1)思路：依题意可知变换了的特点为1项分裂为2项，所以可将A?中的项两两一组，再

根据规则即可还原为A,照此方法即可得到4

解：由变换7的规则可知：A：0，1，1，0，°，1

（2）思路：首先可先观察两次变换的特点，可知1,0,0/，

1,1,0,发现无论是从1开始还是从0开始，两次变换后均可得到一对相

邻的数，且首尾也相同，这意味着若4中若含相邻的数，则两次变换后这两个数生成的数首

尾也将连接成相邻的数对，例如：1』」~今。,1,0』」~31,（）,（）,1,1,（）,（）,1。进而可知：4共

有io项，那么两次变换后至少会有io对，（例如当4=i，°，1,0/，°J，°，1，°时）

若作两次丁变换：

.•.4中的每一项通过两次r变换均生成一对两项相等的数对，所以至少有io对

（3）思路：依题意可将｛/,｝视为一个数列，则所求即为该数列的通项公式。由数列的知识可

知，求通项公式常用的手段有三种：利用数列中的项寻找规律并证明；通过递推公式；通过

求和公式。所以若不愿列匕具体项寻找规律，则需要先找到关于/★的一个递埴公式，印寻找

第&次变换与前几次变换0,0数对的联系。由（2）可知，若产生0,0数对，则上一步只能为0,1,

所以0,0数对的个数与上一步。』数对（记为打）的个数相同。即廉1=a,再考虑0』数对

的来源，共有两个，一个是由上一步的1得到，一个是由上一步的0,0得到

由7变换的规则及（2）可知：4中0,0数对只能由中的0』数对生成，4中的1共有24T

个（因为每一次变换生戌相同个数的0,1,所以4中含2"T个1,2*7个0）,所以

I=b

联立两个等式可得：1+1"一，消去外即可得到关于的递推公式，

bk=lk_x+2"-',4

kl

bk=lk,+2~

然后再求得｛/J的通项公式即可

解：设中有个数对

4401/,+I=bk①

另一方面：•・・4：o』，且

/.4中。和1的总个数相等，・4中项有个

.,・4中0有2”个，1有2/个

而4中的0』数对从AT处只有两条途径能够得到：一个是由4T中的1得到（2八1个）,

个是由AT中的00得到（心个）

:也=l一+*②

由①@可得:

4+1~^k._.2i_,./_/一2"

.,-I.-I.•"+1一十乙.."+2lk~乙

bk=K+2k

由4：0』，可得：A：i,o,0」出：0」」,0」,o,o,i

•/)=112=1

当k为偶数时

Fk-2_/lk-4=2乙"4

L=2

42-1

=>/..=1+22+24+…+2"2=----L=1(2X-1)

-/=22+24+..+2K-2

2*4-13、7

当％为奇数时;

(T_2=2i

/_/-2卜4

lk-2lk-4~/

24r-11

二./—+2?+…+2"”"=1+2+2?+…+2h2=1+

4-1J]”

式2-1）,女为偶数

综上所述：1*=<

?2*+1）次为奇数

例6：已知数列4：《，4，””（〃22/£7・）是正整数1,2,3,・・,〃的一个全排列，若对每个

4e{2,3,〃}都有除一生」=2或3,则称4“为“数列

（I）写出满足％=5的所有H数列4

（2）写出一个满足%=5%（左=12,403）的“数列.&0I5的通项公式

（3）在“数列匕”中，记4=%（4=1,2,…，403）,若数列他}是公差为d的等差数列，

求证：d=5或d=-5

解：（I）A：3,1,4,2,5或4：2,4』,3,5

（2）思路：4013中的项为L2,3,,2013的一个全排列，所以在构造4。”最好符合一定的规

律，以便于写出通项公式，由（1）的启发可知4013的前5个数可为第（1）问中的一种情况，

因为鼠一41=2或3,即只关心相邻两项的差，故46M7M可为6,7,8,9,10的一个

排列，且4+5—%=5,这样就保证了在第2组46M7，%M9,4o中，相邻项的差均符合条件，

只需脸证。6-%即可：以A：3』,4,2,5为例，则4=8,可知。6一%=3符合题意。按此规

律构造，5个数为一组，第，组的数为第，一1组对应的数加上5,从而得到4（心

解：由（】）可知&:3,1,4,2,5,记为&（心的笫一组数

考虑构造数列满足4+5=%+5,则对任意的Ze{1,2,3,,403},iw{2,3,4,5}

I*一=|（4+5々）一（%+5』=k-%==2或3

且当i=1时，|阳+「阳|=|（q+5攵）一（为+5攵-5）1=-牝+5|=3符合要求

/.%t+i=卬+5k=3+5k',a5k+2=a2+5k=}+5k;a5k+3=a3+5Z=4+5%

%«+4=4+5A=2+5伫％«+5=%+5%=5+5〃

n+2,n=5k+1

n-I,//=5k+2

综上所述：qn+I,/:=5k+3,k邑N

〃一2,〃=5Z+4

小〃=5攵+5

（3）思路：若｛仇｝的公差为d,则d=bk+]-bk=a5k+5-4…因为。”中相邻项的差为±2,±3,

所以。5八5一%i必然由若干个±2，±3组成，但不会同时出现±2且不会同时出现±3（否则数

列会出相同项，不符题意）印d可以写成2x+3y的形式，且国+|y|=5,由此可解得

（3」y|）二（0,5）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,（5,0）,然后根据X,），的取值分别进行脸证，看也｝

中的项是否在4（心中（主要抓住2。3），即可判断出〃的值只能是±5

解：｛4｝为等差数列

=bk+i-bk=a5k+5-a5k

a5k^5~a5k=（%+5-々5（-4）+3人+4一阳+3）+（%+3-”5A+2）+（々5A+2-4&+1）+（。”+1-'

且由同一41Tl=2或3,可得：4-4_]=±2或±3

.,.d=2x+3y（x,yEZ）且区+”|=5

・•.（国,加=（0,5）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,（5,0）

①若（国，田）二（0,5）,则4=±15.•.既3=4±402x15=4±603（）2A。一不符题意

4

②若（国,加=（1,4）,则4=±10,±14.•.%3=4±°2d£4（n5,不符题意

③若（|乂，3）=（2,3）,则4=±13,±5

当4=±13时，.仇03二4±402"£4015，不符题意

当4=±5时，.•.403二A±402d=4+2010或4—2010,所以可以找到这样的儿叱使之

成立（例如第（2）问中的结论）

④若（国，卜|）二（3,2）,则1=±12,0,可得.•.％）3二4±402”史Am不符题意

⑤若（国,3）=（4/），则4=±5,±11

当〃=±11时，d03=々±402〃/4（心，不符题意

当4=±5时，同③可以找到这样的4ois使之成立（例如第（2）问中的结论）

⑥若（M|y|）二（5,o），则。=±1。.•也3=4±402d任小,不符题意

综上所述，若低｝为等差数列，则d=5或d=—5

例7：若有穷数列4M2，，4（〃之3）满足：（1）£q=0；⑵£同=1，则称该数列为

1=1/=1

“〃阶非凡数列”

（1）分别写出一个单调递增的“3阶非凡数列”和一个单调递减的“4阶非凡数列”

（2）设ZwAT,若“2Z+1阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式

（3）记“〃阶非凡数列”的前〃?项的和为黑（加=123,…,〃），求证：

①闻4

,11

②<------

£i22〃

解：（1）3阶非凡数列：一士0」4阶非凡数列：1,0,--,--

22288

（2）思路：首先明确其通项公式应该是关于攵和序数〃的表达式，要求得通项公式，关键要

确定,因为非常数列的等差数列为单调数列，所以由之《二0一方面利用等差数列性质

可得到&句=0,另一方面也可知该数列以=0为分界线，左右两侧分为正项与负项（与

”的符号有关），可分d>0,4<0进行讨论。当〃>0时，上｝为递增数列，从而可知

〃1

々I，%，…，4为负项,4+2，%3，M2A+1为正项。再由£同=1可得%+。2

-2，

从而用左可表示出d,另一方面％=a』-kd=kd,进而均可用人表示，所以可求得

其通项公式。按同样的方法可求出dvO时的通项公式

解：设等差数列的公差为d

。、2k（2k+1）,八

•••£《=（2k+l）q+----;-----d=0

/.%+Zd=0即ak+i=0

当d>0时,｛4｝为递增数列

=—"；"=4+2<%+3<2Al

:.a}<a2<---<ak<0,且为。

:.a1=ak-(A:-\)d=-kd

•・•£《=。且£同=1

»=i

ii

a.+a.,-kd-d,

/+%++%=—-------k=-----------k

222

a=a.+(〃一\]d=-kd+-l)d=-----

"lt1k7I，攵(攵+1)

当，/vO时，｛4｝为递减数列，同理可得:

:.a+a+>-+a=

l2k22

—kd—(111

即---------k=—=>d=-------------

22Z(k+1)

fl—k—1

n1V7V7氏(&+l)

(3)①证明：当机二〃时，|S1==0

当〃2c〃时，=°

f=l

a

=4++'.+m=一(4”+1+a，，?+2+.•.+〃〃)

•[S/=何+%+•+am=\am+i+am+2+…+可

〃

，2|sJ=何+/+…+q』+k!"+4"2++%K2同=1

Z=1

②思路一：本题的难点在于不知｛2｝中各项的符号，但从（1）（2）问可得到一个规律，任

意“归化数列”｛〃“｝,其正项和为;，负项和为一；，进而可以考虑在求和时正项一组，负

项一组进行放缩。

解：依题意可得：｛q｝中的项有正有负

设中的正项为〃负项为〃/，丐,，丐」零项为名,/=0

｛qj4，q,,…,〃4,，…q=st

4+4++4=0=(4+42++4.)+(%；+%2+一+%m)=0

⑷+|生|+一+|。〃=1=(4…+。八+・一+〃晨)

11

+a

•.•%+%+―+%=5，殁+〃〃+Jm=-2

111111(11

・；

；=：%十一cil+••■1—a+7町+：生>,+…十7%

V.4'4J\J\J2Jm

而:气++：%<%++%=3（所有系数放大为1）

‘1”2lk乙

11

—a.—a：+…+-~(aA+ah++”)1（所有系数变为L）

2/7n

11111

a.+—a^+-a.++—a<--------

12-33nn22n

考虑%=>-

思路二：本题从通项公式入手，从而

nn

s?-S|+S3-s?+.।Sn-S〃-1I

二5f合并同类项即可得到：

*=1123n

S]।s?S

空二+…+Si+工，联想到裂项相消,且由第①问可知6/wg,

1x22x3n(n-1)n

11]1

可利用放缩及绝对值不等式得到<1—+-----+■+u

/=1I21x22x3

S2—S、S3—S2s-s.

解:v券二%+乎会,,・+9=S++4-n

f=lI23n

S“T

++H----

1x22x3-1)n

＜蜀网|\..||\|

S----1----+…H---;-----T---

1x22x3/?(/?-1)n

力Sjw；,(〃?=1,2,，〃-1),且S〃=0

n

7f.1f111、

Zi211x22x3/?(/?-!))

即不等式得证

小炼有话说：(1)对于“新概念”的题目，要善于利用具体实例或者前面的小问掌握其规律,

为最后一问做准备。在本题中通过前两问所总结出的“正项和为,，负项和为一!”即为第

22

三问的突破口

(2)从一个已知数列中抽出若干项形成新数列，要善于运用双字母进行书写。可参考本题中

的写法。A，乙,,4可以表示出新数列的项源自于｛4｝的第几项，而1,2,,攵表示新数列中

该项的序数。一种写法，两个含义均显现其中。

例8：对于数列｛4｝,把《作为新数列｛〃,｝的第一项，把％或f(i=2,3,4,.，〃)作

为新数列｛"｝的第，项，数列｛包｝称为数列｛《,｝的一个生成数列.例如，数列1,2,3,4,5的一

个生成数列是1,-2,-3,4,5.已知数列(2｝为数歹I｛J｝(〃G1ST)的生成数列，5„为数列出」

的前〃项和.

(1)写出S3的所有可能值；

(2)若生成数列｛〃｝满足S3〃=〈(l-J),求数列｛，｝的通项公式；

78

(3)证明：对于给定的〃EN*，S〃的所有可能值组成的集合为

2k—1

(1)思路：由“生成数列”的定义可知也｝的前三项可能的值为々=；也=±；也=±L

进而通过不同的组合可求得邑

解:由已知可得：4=-,且也；|二」7

2

/.b、=±—=±—

48

3111511

S]可能的求和为：—+—+—=—4--=—,1--------------=—,----------------------=—

2488248824882488

1357

邑可能的取值为一，二，一,一

8888

(2)思路：本题已知S3.的表达式，可类比在数列中已知S”求数列通项的方式，得到

$3〃一=4〃-2+4”-1+4”，计算可得：4”+瓦—+公-2=j，由｛"｝为，1

■生成

O2”

数列可得：么“=±2=±/也，1=±1=±飙14

E-2=-23n-2=±—,通过合理组合

，O8〃

111

即可得到：b=,从而得到"通项公式

3ll-2Qin-l

当〃=1时，b+b+h=—

]2y8

-11-11

当〃N2时，b3n+b3n7+%“-2=S3n-S3n.3=~

718”一8”

数歹U{2}为数歹U{£}("eN4)的生成数列

•••&=±*=±5也1=土121

7=土谕也，，-2二±=±

OF

・二4〃++么〃_2=J(±l±2±4)

o

若4”+4,I+4“_2=J，则以上各种组合中，只有

O

&+〃3“T+4〃-2=j(T-2+4)=J

oo

111

23〃23〃-2

1

,n=3k—2

T

b"=,,kwN.

---手3k—2

2"

⑶思路：由生成数列的定义可知"=±/(〃之2)，所以其S〃=J士最±最±-±《共

计2"T中情况。而观察A中元素的个数恰好也为2”T个(〃从1取到2”T个)，且本题无法一

一计算出S“，故从S”可取的值的个数与A元素个数相等作为突破口，若要证S”取值集合所

给集合相等，则可通过两个步骤证明：一是证明S“的值一定都在A中，可通过

++1_2〃7±2"-2±...士1

,其中2'1±2"一2