湖南师范大学某中学2023届高三二模数学试题（解析版）

湖南师大附中2023届模拟试卷(二)

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足：z(2+i)=l-i,则z在复平面内对应的点在第()象限.

A.一B.二C.三D.四

【答案】A

【解析】三二异==?，所以zJ+gi,在复平面内对应的点为(U)，在第一象限.

2+i(［2一+i")(：2-i))55555

故选：A.

2.已知〃:方程十2一4.，十47—0有实根；函数/(x)=(24)、为增函数，则〃是q的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】方程f-4x+4a=0有实根，故△=16-16aN0,

函数/(x)=(2—为增函数，故2

,(一8,1)真包含于,•.〃是q的必要不充分条件.故选：B

3.设。=O.3g/=O.403,c=loggO-3,则小b,c的大小顺序为()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【解析】指数函数），=0.3,,y=0.4'为R减函数，・•・。=0.304Vo.3°3<0.3°=1，=0.4°3<0.4°=1

•・•基函数），=x03为［0,+3）增函数，・・・0.3°3<0.4°3,・・・。〈力vl,

对数函数y=log04X为（0,+8）减函数，，c=log040.3>log040.4=1,即C>1,

：.u<b<c,故选：A.

4.在-48。中，点O是线段8C上任意一点，M是线段AO的中点，若存在实数/I和4,使得

BM=AAB+/JAC,则人+4=

A.2B.-2

C.1D.--

22

【答案】D

【解析［如图所示，因为点〃在线段■上，所以存在，£R，使得8Q=f8C="AC-AB）,

因为明是线段初的中点,所以：

BM=；（8A+BO）=；（_A8+/AC_zA3）=—；a+l）AB+；/AC,

又8M=448+〃4C,所以4=-」（1+1）,//=-/,

所以%+4=-.故选1）.

【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、

减或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.

5.下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）

A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为不当和S：,$,且

己知工=豆，则总体方差52=g1；+$）

B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数〃越接近于I

C.已知随机变量X服从正态分立N（〃,/），若P（X庞—1）+P（X5）=1,则〃=2

D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,，〃,40,50；乙组：24,小33,44,48,52,若这两组

数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m+〃=67

【答案】C

【解析】对于A项，总体方差与样本容量有关，故A项错误；

对干B项，相关性越强，卜|越接近于1：故B项错误；

对于C项，若P（XN-1）+P（XN5）=1,则P（X2-1）=P（X<5）,所以〃=5+；-1）=2,故c项

正确；对于D项，甲组：第30百分位数为30,笫5（）百分位数为2?，乙组：第30百分位数为〃，第

2

n=3（）“

33+4477〃二30

50百分位数为二——二一，所以37+/〃77»解得：..»故〃7+〃=70.故D项错误.

22------=—m=40

故选：C.

（3、

6.已知函数/（x）=（JJsinx+acosx）cosx的图象关于点-5,7对称，则下列结论正确的是（）

162/

A./（X）的最小正周期是色

2

B./⑴在y,y上单调递增

C.（三,0）是函数/（X）的一个对称中心

D.先将/Ct）图象上各点的横坐标压缩为原来的《，再将所得的函数图象向左平移占个单位长度，得到函

212

/、2

数g(x)=bcos4x+y+二的图象

I6)2

【答案】D

【解析】/(x)=(\/3sinx+acosx)cosx=s'n2x+c.1+—2工

—sin2x+—cos2x4--，

222

因为/“）的图象关于点（―今|卜寸称，所以/（4+工）+《卷一）3,故一升/（0）=3,

m6.(2兀、a(2兀、a、匚匕…3aao

所以——sin----+—cos-----+—+。=3,所以--------+—+。=3,

2[3)2I3J2442

所以/(x)二走sin2x+—cos2x+-=71

所以〃=3sin2^^4

3J2

3

因为当x=-女时，2x卜兀71所以/(%)=班(兀)3

=0，fsin2工+可卜5满足条件,

63I6I3/2

所以函数/(.V)的最小正周期是」二兀，故A错误;

2

27i4兀iitt5577i1

由工£—时、可得+—37t,所以函数/(x)先增后减，故B错误;

33y

因为当x=¥时，2工+巴=兀，/n1,所以：,0不是函数/(<)的对称中心，C错误;

332VJ./

I-兀71)3

先将/(X)图象上各点的横坐标压缩为原来的5,可得y=j3sin4x+-的图象;

3J2

/2冗\3

再将所得的函数图象向左平移三个单位长度，得到函数g(x)=\[3sin^4x+—+耳的图象,

12

sin3-2兀si”71+4—71+3.713一,

gM=y/3cos4.r+-+-,D正确.

3J226J2I6)22

故选：D.

7.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数,/(x)在［0,+ooi上单调递减，且/(3)=0,则不等式

(21一5)/(工-1)<0的解集为()

A.(f-2)U仔4

B.(4,+oo)U(4,4-00)D.(-00,-2)

。Hl)

【答案】C

【解析】依题意，函数的大致图像如下图:

因为是定义在R上偶函数，在［0,”)上单调递减，且〃3)=0,

所以在(-8,0］上单调递增,且/(-3)=0,

则当1>3或无<一3时，/U)<0；当一3cx<3时，/(x)>0,

2x-5>02x-5<0

不等式(2x—5)/(x—l)<0化为〈

/(-r-l)>0,

2x-5>02x-5>02x-5<0解得—2vx<?或%>4,

所以或1<-3或

x-1>3—3<x—1<32

即原不等式的解集为(-2,1)U(4,+8)；故选：C.

8.已知四棱锥P—A8C。外接球表面积为S,体积为KPA_L平面AB8,R4=4,/ABC=」，且

3

迪WV，则S的取值范围是()

3

A.I(U<SB.20^-<SC.10^<SD.206乃«S

【答案】B

【解析】以四边形A8C。的外接圜为底，布为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.

设内接圆柱的底面半径为八R外接球的半径，，则4=22+产，

144/-r

=~^ARCD,PA=~^^AHCD-~^^,故

SABCD=^ABBCsin^-+^AD-DC=^-(ABBC^AD-Dey

所以48BC+A力OCN4

在一45c中运用余弦定理与基本不等式得：

AC2=AB2+BC2+ABBC>3AB•BC，

在AADC中运用余弦定理与基本不等式得：3AC2=3(AD2+DC2-ADDC)>3ADDC,

上两式相加得：4AC2>3(ABBC+ADDC)>12,故：AC2>3，

o_AC._百”

在_A3C中由正弦定理得：2r--^,，r-TAC，r-3"

sin——

3

因此/?2=22+/25，S=4^/?2>20^->故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.三棱柱ABC-AEU中，棱长均为2,顶点A在底面42C'上的投影为棱4C的中点，。为AC的

中点，E1是BO上的动点，则（）

A.三棱柱A5C—A&C'的体积为1B.AC与平面AZTC'所成的角为?

c.c*八ACD.异面直线A4与座所成角为9

【答案】BC

【解析】三棱柱A3C—A'夕U中，棱长均为2,令AC中点为。，连A。，如图，

依题意AOJ_平面AB'C,有AO=B而SAC'?=,

因此三棱柱ABC—A9C'的体积匕“TEC=S"，sc•%。=3,A不正确；

由AOJ_平面A8C知，NACW是AC'与平面'所成的角，而tanNAC'A=6，贝！

ZAC^=-,B正确；因为。为AC的中点，又AC'=CC'=2,4B=8C=2,

3

所以CD工AC,BD上AC,C'DBD=D,

C'DBOu平面3CO,因此4C_L、F面BCD,而CEu平面BC'O,则。/八AC，C正确；

AD//OC\AD=OC,即四边形AOCO是平行四边形，有CZ>〃AO,则有CO_L平面

又平面ABC//平面A'&C,即有C75JL平面ABC,而8力u平面ABC,则BD_LC'O,因

BDA.AC,

4。0。'。=。,4。,。'。匚平面48’4,于得6。1平面4CCA,而AA'u平面ACCA,

则BOJLA4',而E是B。上的动点，因此异面直线AA'与班所成角为工，D不正确.

故选：BC

10.定义：设/'"）是/（x）的导函数，＞（X）是函数/'"）的导数，若方程/”（幻=0有实数解则称点

（%,/（%））为函数）=/*）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是

三次函数图象的对称中心.己知函数/（幻=以③+人小+1（加7H（））图象的对称中心为（1」），则下列说法中

正确的有（）

1,.

A.a=-,b=-[B.函数/（x）既有极大值又有极小值

3

C.函数./V）有三个零点D.在区间（1,2）上单调递减

【答案】ABD

(解析】f(x)=ax'+bx2+g(abw0),/'(x)=3aP+2bx,f[x}=60r+lb,

令/〃Cr)=6at+2/?=0,得工二-2,因为函数/(工)=以3+〃/+2(彷/。)图象的对称中心为，

3a3

b

3a解得。=2•力=-1,正确;

因此A

/(1)=6/+/?+|=3

1

显然/(x)=g为3—丁+g,/'(x)=Y-2x=x(x-2),且当工<。或大>2时，/'(大)>0,当0cx<2

时，八对＜（）,于是/*）在（-8,0）和（2,+0。）上都是增函数，在（0,2）上是减函数，D正确;

函数/（“）既有极大值/（0）=|,又有极小值/（2）=g,B正确；

函数/（%）极小值/（2）=g＞0,曰三次函数的性质知，f（x）只有一个零点，C错误.

故选：ABD.

11.已知点P为双曲线左=1（。＞0/＞0）上任意一点,片、鸟为其左、右焦点，。为坐标原点.过点。

向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、M则下列所述正确的是（）

A.为定值B.O.P、M、N四点一定共圆

C.历/6的最小值为一从D.存在点P满足P、M、"三点共线时.P、N、F2

三点也共线

【答案】ABC

【解析】设〃（不，几），点〃（不，儿）到渐近线y=的距离为IPM，

aar+Zr

y

MZ

F,\AF2x

，♦■%

•,%•

同理IPNI」"；。：%,则|P/W|.|PNJ"%-。J。1

\lcr+b-a~+b~

...工—"=],即62片一/y；=a2/，」PM|.|PN|=-^=（定值），故A正确；

a~b~a-+b~

当M、N均不与。重合时，由NOA仍=/。\丁=90°,.•.二和△ONP均直角三角形,

故M,N两点在以。尸为直径的圆上；

当M、N有与。重合时，也满足。、P、M、N四点共圆.故B正确；

22

由双曲线的对称性可知PFCPF2=^PO+OF^\PO-0力=|PO『-\OF^=\PO|-C,

其中。2=/+〃，

.•.尸£/月2/一/成立，故c正确；

如图，

利用双曲线的对称性，不妨设直线6M垂直一条渐近线，垂足为M；

直线8N垂直另一条渐近线且交双曲线于点P,易知直线6M与直线与N的交点始终落在），轴上，故D不

正确.

故选：ABC.

12.若直线戈二。与两曲线），=9、），=lnx分别交于A、B两点,且曲线y=e'在A点处的切线为川，曲线

y=lnx在8点处的切线为〃，则下列结论正确的有（）

A.存在〃£((),+oo),使m//〃B.当mJ/n时＞\AB\取得最小值

C.|AB|没有最小值D.|AB|>ln2+log2

【答案】ABD

【解析】对于A选项，由直线x与两曲线y=e'、y=lnx分别交于A、8两点可知。>0.

曲线y=e'上A点坐标(6"')’可求导数)，'=e"贝彻线机斜率3二e",

曲线)，=lnx上A点坐标(a,ln。)，可求得导数)，',则切线〃斜率勺.

令幻=心,则e"二’，令ga)=ej'(x>0),则8'(力=寸+』>0,

CIXX

所以函数g(x)在(0,也)上为增函数，

因为g-=氏-2<0,g(l)=e-l>。，所以由零点存在定理，36/e-,1使g(a)=。，即^/>O,

使£”=%“，即，川/〃,故A正确；对于BC选项,|AB|=e"Tn4,令〃(x)=e*-Inx,其中x>0,则

rx

h(x)=e--=g(x)t由A选项可知,函数〃'(x)=g(x)在(0,+⑹上为增函数，

X

且力=&-“(l)=e—l>0,所以存在％£(4,1)使得〃'(4)=0,即e%=,，

12/\2)4

当0<XV小时，/Z(x)<0,此时函数力(力单调递减,

当工>〃。时，/Z(x)>0,此时函数〃(x)单调递增，

故当x=〃o时,〃(力取最小值，即当加/〃时，|用取得最小值，故B正确,C错;

对于D选项,由4*=，■可得q=一.4，则M却min=e%-5为='+4o

a0

令P")=X+Lg,1)上为减函数,

•X

^(ln2)=e,n2—-^-=2-loge>0,且g(%)=。，

囚为,g2

IZ7\JHl/

又因为函数g(x)在(o,+8)上为增函数，所以，6/0<ln2,

所以MB1mhi=e阳Tn/=—+%=p(rz0)>/?(In2)=ln2+—=ln2+log2e,D对.

inz

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：求函数最值的方法:

(1)求函数/(“在闭区间力］上的最值：

①求出函数/(X)的导数广(力；②解方程r(“=o,求出使得r(x)=o的所有点；

③计算出/(X)在区间以上使得ra)=o的所有点以及端点的函数值；

④比较以上各个函数值，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值.

(2)求函数/(“在开区间或无穷区间上的最值：先求出函数在给定区间上的极值，再结合强调性、极值

情况、函数的正负情况作出函数的大致图象，结合图象观察分析得到函数的最值.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(2x+‘)的展开式中各项系数的和为243,则这个展开式中F项的系数是__________.

【答案】80

【解析】在2x+±中令x=l得展开式中各项系数的和为3"=243,求出〃=5.

的展开式的通项=25-r-C；-x5-2r,

1X)\x)

令5—2r=3,得r=1,=2'•C；•V=80x3.

14.已知直线/经过点24,-2),且被圆_?+),2=25截得的弦长为6,则直线/的方程是.

【答案】3%一4》-20=0或大=4

【解析】由题可知圆心(0,。)，半径，・二5,弦长。=6,设弦心距是d,

则/=与+八解得d=4,

若；斜率不存在，直线是x=4,符合题意，

若【斜率存在，设直线方程y+2=k(x-4),即依一尸4攵-2=0,

则"=竿兽=4,解得2=',

42+14

3

直线/的方程为》+2=—“一4),即31一4》-20二。，

*4

综上，所求直线方程为3/一4)-20=0或x=4.

15.若曲线。1：/（尤）二炉+。和曲线C2：g（x）=21nx恰好存在两条公切线，则实数。的取值范围为

【答案】（T”）

2

【解析】由题意得f\x）=2x,g\x）=-,（x>0）,

X

设与曲线/*）=/+。相切的切点为（X1,X；+。），与曲线g（x）=21nx相切的切点为（w，21nx2），

则切线方程为y=2%（工一天）+其+a,即y=2xlx-x；+a,

22

y=—（x-x,）+2lnx2,g|jy=—x+21nx2-2,

-

x2x2

由于两切线为同一直线，所以｛为',得〃nd-Zhl菁一2（K>0）.

-x~+Q=21ILV2-2

令9（x）=x2-21nx-2（x>0），则（p\x）=2x-—=——，

XX

当Ovxvl时，e（x）<0,。（后在（0,1）单调递减，

当上>1时,（p\x）>0,。（戈）在（1,XQ）单调递增.

即有％=1处0（x）取得极小值，也为最小值，且为奴

又两曲线恰好存在两条公切线，即。=例幻有两解，

结合当X―0时，/趋近于o,Mx趋于负无穷小，故以幻趋近于正无穷大，

当工—-时，/趋近于正无穷大，且增加幅度远大于Mx的增加幅度，故。（x）趋近于正无穷大，

由此结合图像可得a的范围是（-1,依）,

16.已知直线4%一），+1=0过抛物线父=2/切（〃>0）的焦点F,设抛物线的准线/与V轴的交点为P,过

厂的直线与抛物线交于A、“两点.若以线段6P为百杼的圆过点A,则|AB|=.

【答案】2+2岳

【解析】由题意可知，/0,日在直线4工一），+1=0上，则一5P+1=0,可得〃=2,

2

所以，抛物线方程为f=4），，其准线为/:y=-1,易知点尸（0,-1）,

设点A（X[,y）、B（x2,y2）,由题意可知，PA±AB,

若直线A8的斜率不存在，则直线A8与抛物线只有一个交点，不合乎题意，此时，芭力%，

所以，直线A8的斜率存在，设直线A8的方程为），="+1,

[y=依+1、、

联立〈./可得/_4米—4=0，4=16公+16>0,

[x~=4y

由韦达定理可得玉+々=4k,xxx2=-4,

因为）,「必=守=（芯72）『+々）,

孙=（%一巧，凹―匕），尸八=（%,y+l）,

（…）+（"）（…）=（…）匠?…ML。,

所以（X+1）（内+工2）+4%=4左（依]+2）+4=442%+8Z+4x=0,

2k7k2I-z22k\-k2

所以玉二——k，则）,二"+1=-上1+1=—即点A

\+k2力11+公1+公、\+k2'\+k2）

4224（1一&2）,整理可得公+22一1=0,解得z2二避二1

因为点A在抛物线上，则7——-T-MA?

0+的2

所以|A8|=y+%+2=Z（玉+々）+4=4公+4=2（逐-1）+4=2不+2.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.若数列｛A｝满足4,川=则称数列｛4｝为“平方递推数列”.已知数列｛q｝中，6=9,点

(q,q川)在函数/(x)=r+2x的图象上，其中〃为正整数，

(1)证明：数列｛%+1｝是''平方递推数列”，且数列｛lg(4+l)｝为等比数列;

/、\a,a<b,

⑵设〃=敢4+1)©=2〃+4,定义。虫2个且记…2求数列｛4｝的前〃项和

s..

【解析】(1)•点(4,4”)在函数/*)=/+2x的图象上，，。"小壮+2风，

「•4m+1=(4+1『，，｛%+1｝是“平方递推数列”•

•・•】g(4+1)=lg(9+l)=1>0,对q+[+1=(q+1)2两边同时取对数得怆(。向+1)=21g(q,+1),

二数列｛怛(q+1)｝是以1为首项，2为公比的等比数列•

(2)由(1)知"=lg(q+l)=lx2'i=2'i,

由数列｛〃｝、｛c〃｝的通项公式得，

当〃“4时，bn<cn；当刀>4时,bn>cn.

a,a<b,

又由a*b=<,,d.=bjq,,得

b,a>b.2/7+4,〃>4,neN

i-2n

W

当三4且〃eN时,S〃=4++^M=—=2-1；

当〃>4且〃eN'时，S“=b[+&+4+%+C5+。6+•••+4

:(2Jl)+5-4"+2〃+4)=〃2+5i],

2”-1,〃v4且〃wN：

综上，Sn=<

n2+5/7-21,H>4且〃GN*.

18.某高中学校开展生涯规划教育，对今年的1200名考生(其中女生540人)进行调查，统计知：有意向

报考师范专业的学生有200人(其中女生120人).

(1)完成下面的列联表，并依据小概率值2=0.001的独立性检验分析判断报考师范专业意向是否与性别

有关?

报考意向人数

报考意向合计

师范专业非师范专业

男生

女生

合计

（2）对有报考师范专业意向的学生按男女分层抽样得一个容量为10的样本，从样本中任意抽取5人，记

抽取到的男生人数为X,求X的分布列与期望值.

附:

a().150.100.050.0250.010O.(X)5O.(X)1

42.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-be)2

(其中n=a+h-\-c+d).

(a+Z?)(cTd)(a+c)3+d)

【脩析】（1）列联表如下:

报考意向人数

报考意向合计

师范专业非师范专业

男生80580660

女生120420540

合计20010001200

零假设"o报考师范专业意向与性别无关,

1200(80x420-120x580)2

b21.818〉10.828；

200x1000x540x660

・•・依据小概率值a=0.001的独立性检验分析判断“。不成立，即报考师范专业意向与性别有关，且这个

判断错误的概率不大于0.001.

（2）据题已知，样本中男生为4人，女生为6人,

则X可取0、1、2、3、4.

✓"iOz~i515C2C?10

—,P(X=2)=^=—

P(X=O)=-^=—,P(X=I)=-4JL

C：。42或21C：o21

P(X=3)=[S=；P(X=4)=c^=1

所求的分布列为:

X01234

151051

P

42212?2142

其期望值・5

E(X)=l-3+2•3+34--=2

21212142

C・cT4

或：X服从超几何分布,其分布列是P（X=A）=次=0,1,2,3,4,E(X)=5•—=2.

19.在“8C中，内角4民。的对边分别为〃,仇。,已知边。=6,且sinA+sin区=2sinC.

（1）求面积的最大值；

（2）设当乂8。的面积取最大值时的内角C为夕，已知函数/（x）=sin（5-e）（切>0）在区间（0段）上

恰有三个零点和两个极值点，求。的取值范围.

【解析】（1）（法一）由题意知c=|A例=6,

由sinA+sin8=2sinC得：a+b=2c,|CA\+1CB|=12>|AB|,

则顶点。的轨迹是以A8为焦点的椭圆（除去长轴的两个端点），

当顶点。为椭圆的短轴的端点时的面积最大，

7T

此时。=〃=。=6,-43C是等边三角形，C=-,

3

所以（S..）ma、=；•6?♦sin9=96.

（法二）由sinA+sinB=2sinC得：a+b=2c=l2,

22

八a+b-3C）（。+。）2—36—2。。54—〃。

♦：cosC=--------------=------------------------=----------，

2ab2abab

sinC=>/l-cos2C=—d3ab-,

ab

所以S«Bc=；"sinC=3j3小81<—81=98，

当且仅当a=〃时取等号，此时“3C是等边三角形，C=p/8C的面积的最大值为9石.

Tt

(2)由(1)有/(x)=sincox-

3J

rI7CtI7[TtCOTtTt

当0,一时，COX一一G

I23W万一可

函数/(x)=sin(s—。)(0>0)在区间(o£)上恰有三个零点和两个极值点，

…ccon兀，5兀14,17

则2兀<-------<—,解得—<0<—.

23233

20.如图，四边形43co是边长为2的菱形，且NA8C=60'，BMJ_平面48cO,BM\DN,

A

(1)证明：平面E4C_L平面BMND；

(2)若NAEC的最大值是等，求三棱锥M—24。的体枳.

【解析】(1)因为BMJ_平面ABCO,则

又四边形ABC。是菱形，则AC18。，又BM=B,

所以AC_L平面BMND,因为AC在平面E4C内，

所以平面E4CJ_平面BMND.

⑵设AC与8。的交点为。，连结EO.因为AC_L平面BMND,则AC_LOE,又O为AC的中点,

则AE=CE,由余弦定理得COSNAEC=2-£-=1一-ZAECe(O^).当AE最短时

2AE2AE2'>

NAEC最大，此时CEA.MN,ZAEC=—,因为AC=2,AE=冬区,0E=@.取MN的

中点H,分别以直线OA,OB,OH为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

设ND=a,则点A(1,O,O),N|0,-V3,a)M仙石,2a),AN—i,—>/3,aj,

AM二（一.设平面AMN的法向量〃=（x,y,z）,

.AM〃=O-x-y]3y+az=03aGa)

则：，即《L，取Z=1，则〃=

AM・〃=O一x+J3y+2oz=0

3a6a]

同理求得平面CMN的法向量相HF斗

因为NAEC=?是二面角A—MN—C的平面角，则

9az3a2.

436=r解得“二等或a=等.

|cosZAEC|=|COS(/H,H)|=

9/3/

——4-——+1

436

由图可知水0E=@,故a="(舍去)，a=叵,

3210

./2DNm~9厉ALQ1.2・2114、行6

因为M4KNT=，a+BD=J-----F12=-------,AE=-------，S=—AE~sin—=—x—x—=—,

V20103⑼■232323

工隆MN，Bx巫二更.

则VM-NAC=Vw-E4C+Vv-EAC

35K331010

【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查几何体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

22

21.如图，椭圆C:二十工=1（。〉2）,圆O：r+y2=1+4,椭圆c的左、右焦点分别为百，居.

a~4

⑴过椭圆上一点P和原点。作直线/交圆。于M,N两点，若|刊讣「用二6,求IPMHPNI

值；

(2)过圆。上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直.

【思路分析】(1)设2(%,%)，根据题意，由椭圆的定义和两点距离公式计算可得

222

xl+yl=2a-c-6=a-2t结合图形,则|PMPN|=|OMf—|0P『，即可求解；

(2)设&则/一4=/一〃?2易知切线斜率不存在时满足题意；设斜率存在时切线方程为

y=lc(x-m)+n^nr),联立椭圆方程，由△=0可得-/快？-2〃?nZ+〃2-4=0,何是此

方程的两个根，结合韦达定理即可求解.

【解析】⑴设P(x0,)，o),由于历|+俨曰=2an|P用?+归周2+2户川归段二4/,

而|PKH尸段=6,则小+ip+北+(陶一4+无+12=4〃2,

所以片+3；=2〃2-。2-6=〃2-2(其中°2一°2=4),

|PM|.|/W|=(|OM|-|OP|)(|ON|+|OP|)=|OM|2一|OP|2=a2+4_(x；+N：)

(2)设则m2+“2=〃2+4，即力2—4=/—〃/，

设过点R的圆。的切线斜率都存在时的方程：)，=攵。一，〃)十几(，〃2代入椭圆方程得:

4x2+/[&2(x-〃z)2+//4-2k(x-/n)n]-4t/2=0,

整理得：（4+/%2卜2一2妨2（卜〃一〃》+。2（灯〃一〃）2-4/=0,

则A=4〃4A：2（女〃2—〃猿一4（4+a"2）［c/（/777—〃了-4不=0,

g|J（km-〃了-a2k2-4=0=>（"『-a2^k2-2mnk+-4=0,