《勾股定理的逆定理》课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理的逆定理前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗？答：题设为：直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．结论为：a2+b2=c2．我们知道一个直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有：a2+b2=c2．反过程，若一个三角形的三边具有a2+b2=c2的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢？今天我们就一起来研究这个问题．问题1据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？答：结论正确．问题2（1）画一画：下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm）画出三角形：①2.5，6，6.5；②6，8，10．（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．问题3命题2的题设和结论分别是什么？命题2和上节学过的命题1有怎样的联系？答：命题2的题设是三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2；结论是这个三角形是直角三角形．我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反．我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．问题4如何证明命题2呢？答：如图，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，求证：△ABC是直角三角形．证明：如下图，画一个Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°．

根据勾股定理，A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2=c2，得A'B'=c．

在△ABC和△A'B'C'中，BC=a=B'C'，AC=b=A'C'，AB=c=A'B'，所以△ABC≌△A'B'C'．因此∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形．这样我们就证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据．问题5如果原命题成立，那么逆命题也成立吗？答：一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如本章中的命题1成立，它的逆命题命题2也成立；命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立．例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15．分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．解：（1）因为，，所以，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．（2）因为，，所以，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形．我们把像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．例2如下图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：从图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．解：根据题意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18QR=30．因为，即，所以

∠QPR=90°．由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°．因此∠2=45°，

即“海天”号沿西北方向航行．1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(a-b)=c2，则（

）．A．∠A为直角

B．∠C为直角C．∠B为直角

D．不是直角三角形解析：∵(a+b)(a-b)=c2，∴a2-b2=c2．∴a2=b2+c2．∴△ABC为直角三角形，∠A为直角．故选A．A2．若三角形的三边分别为a+1，a+2，a+3，则当a=____时，这个三角形是直角三角形．解析：因为这个三角形的最大边是a+3，由勾股定理的逆定理，得(a+3)2=(a+1)2+(a+2)2．解得a=2．2若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是（

）．A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形思路分析：从已知式入手，通过配方法，求出a，b，c的值，再判断△ABC的形状．B1．勾股定理的逆定理是什么？答：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．2．什么是互逆命题？什么是互逆定理？答：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反，那么像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，如果一个定理的逆命题经过证