提公因式法课件2025-2026学年苏科版八年级数学下册

八年级下册9.2提公因式法教学目标1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式2.能用提公因式法分解因式，进一步强化运算能力；进一步理解因式分解的意义，感受整体思想的运用3.通过类比数的公因数，类比乘法分配律，经历探索提公因式法的过程，体会因式分解与整式乘法的互逆关系问题情境我们在小学学过整数运算和分数运算，但在学习分数运算前，需要学习因数、公因数、分解质因数．类比是我们学习数学重要的方法．进入初中，我们学习了整式（单项式、多项式）、整式的运算，理解数式相通.问题1

4和12的因数分别有哪些？它们的公因数又有哪些？对12如何分解质因数？问题情景如何把多项式ab＋ac＋ad分解因式？abcdabcada从左往右看，可以得到

a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad

①从右往左看，可以得到

ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d)②因式分解整式乘法追问1

ab和ac的因式分别有哪些？它们的公因式是什么？

多项式ab＋ac＋ad的因式分别有哪些？它们的公因式是什么？公因式的定义：多项式各项都含有的因式，称为各项的公因式．

整数的运算

因数

公因数

分解质因数

分数的运算

整式的运算因式公因式因式分解分式的运算问题情境活动找出下列多项式各项的公因式．（1）a2b＋ab2；

（2）3x2－6x3；

（3）9abc－6a2b2＋12abc2．问题2

如何确定多项式中各项的公因式？数学活动定系数：取各项系数的最大公因数；定字母：取各项都含有的相同字母；定指数：相同字母取次数最低的那一个。＝ab·a＋ab·b＝ab(a＋b)＝3x2·1－3x2·2x＝3x2(1－2x)＝3ab·3c－3ab·2ab＋3ab·4c2＝3ab(3c－2ab＋4c2)活动找出下列多项式各项的公因式．（1）a2b＋ab2；（2）3x2－6x3；（3）9abc－6a2b2＋12abc2．追问1

如果多项式的第一项系数是负数，比如将（2）变式为－3x2＋6x3，公因式的符号该如何确定？数学活动公因式的符号通常取与首项系数相同的符号，即负号；此公因式为：−3x2确定公因式方法当多项式的各项系数都是整数时：公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．注：特别的，当多项式的第一项系数为负数时，通常把负号作为公因式的符号．数学活动提公因式法如果多项式的各项含有公因式，那么就可以采用添括号的方法把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．

符号语言：ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d).数学建构例1

把5x3－10x2分解因式．追问

分解因式的方法是什么？如何确定公因式？如何检验结果是否正确？例题分析解：

5x3－10x2＝5x2(x－2)．＝5x2·x－5x2·2把分解后的式子重新展开，看是否和原式一致例2

把下列各式分解因式：（1）12ab2c－6abc

；（2）－8m2＋12m．追问

首项系数是负数的多项式，其公因式的系数如何确定？如何检验结果是否正确？例题分析解：原式＝6ab·2bc－6ab·1＝6ab(2bc－1)；

原式＝－4m·2m＋(－4m)·(－3)

＝－4m(2m－3)．如果第一项系数是负数时，应把

“－”提取作为公因式的符号．拓展把下列各式分解因式：（1）15x(b＋c)－5y(b＋c)；（2）ab＋a＋b＋1．追问1

这个多项式的公因式与之前的有什么不同？追问2

（2）可以转化成与（1）类似的形式吗？追问3提取多项式公因式时，方法与提取单项式公因式有区别吗？例题分析公因式可以是数字、也可以是单项式、多项式．如果把前两项、后两项分别结合（括到括号里），此时ab＋a＝a(b＋1)，与后一个括号内的(b＋1)形成公因式．

公因式：5a公因式：-3p公因式：5xy

解：原式=3ab(2a-3b+5)解：原式=3y(a²-a+2)解：原式=-2a²(2a²+3a-1)解：原式=-4y(6x²+3xy-7y²)3.把下列各式分解因式：(1)(a+3b)a-5b(a+3b)；

(2)4ab(2x-y)+b(2x-y)；(3)(2c-1)d-c(1-2c)；

(4)(m+n)a+7(m+n)b4.把下列各式分解因式：(1)(x-y)²+5(x-y)；

(2)8(v+w)²-6(w+v)；(3)12(x+y)²-9(x+y)；

(4)-4(x-y)²-5(y-x)。解：原式=(a+3b)(a−5b)解：原式=b(2x−y)(4a+1)解：原式=(2c−1)d+c(2c−1)=(2c−1)(d+c)解：原式=(m+n)(a+7b)解：原式=(x−y)(x−y+5)解：原式=2(v+w)[4(v+w)−3]=2(v+w)(4v+4w−3)解：原式=3(x+y)[4(x+y)−3]

=3(x+y)(4x+4y−3)解：原式=−4(x−y)2+5(x−y)=(x−y)[−4(x−y)+5]=(x−y)(−4x+4y+5)5.证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数证明：设三个连续自然数分别为n、n+1、n+2（n为自然数）则前两个数的乘积为n(n+1)，后两个数的乘积为(n+1)(n+2)它们的和为：n(n+1)+(n+1)(n+2)=(n+1)[n+(n+2)]=(n+1)(2n+2)=2(n+1)2

因为2(n+1)2是2的整数倍所以该和一定为偶数1.本节课你学到了哪些知识？

2.如何确定公因