《正方形》课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

正方形1．欣赏下面的图片，你发现它们都是什么图形？正方形2．从上面各种图片看出，正方形在我们日常生活中有广泛的应用，那么正方形的四条边有什么关系？四个角呢？正方形四条边都相等，四个角都是直角．

3．正方形是矩形吗？是菱形？正方形和它们是什么关系？矩形正方形====邻边相等正方形是矩形，矩形当邻边相等时就是正方形．3．正方形是矩形吗？是菱形？正方形和它们是什么关系？一个角是直角正方形也是菱形．菱形有一个角是直角时就是正方形．菱形正方形一个角是直角一组邻边相等平行四边形矩形菱形一组邻边相等一个角是直角正方形正方形与矩形和菱形的关系:你能给正方形下一个定义吗？正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．1．由定义可知正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．那么正方形又有哪些性质呢？（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相

等，每条对角线平分一组对角．（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．定义法：（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；菱形法：（2）有一个角是直角的菱形是正方形；矩形法：（3）有一组邻边相等的矩形是正方形．2．正方形既是矩形也是菱形，那么正方形又有哪些判定方法呢？可以以平行四边形，矩形和菱形为基础来考虑．平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1．正方形菱形

2．一内角是直角正方形的判定方法：定义法菱形法矩形3．一组邻边相等正方形矩形法【例】求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．

O

A

B

C

D

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

O

A

B

C

D

【例2】如图，在△ABC中，

ABC＝90°，BD平分

ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE//AB．同理可得DF//BC．∴四边形BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，四边形BEDF是平行四边形．∴四边形BEDF是正方形．1．如图，在正方形ABCD的内部作等边△BCE，则∠AEB的度数为（

）．A．60°B．65°C．70°D．75°解析：∵△BCE为等边三角形，四边形ABCD为正方形，∴AB＝BE．∴∠BAE＝∠BEA．又∵∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－60°＝30°．∴，故选D．D2．如图，正方形ABCD的对角线长为

，E为AB上一点．若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF＋EG＝________．解析：设AC与BD相交于点O．由正方形的性质易知△BEG是等腰直角三角形，四边形EGOF是矩形．∴有EF＝GO，EG＝BG．∴EF＋EG＝GO＋BG＝BO＝3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由．四边形CEDF是正方形．理由：如图，作DG⊥AB于点G．∵AD平分

∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG．同理可得DG＝DE．∴DF＝DE．∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DF＝DE，∴四边形CEDF是正方形．1．判断下列说法的对错．（1）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角

形．

（

）（2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．（

）（3）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形．（

）（4）正方形一定是菱形．（

）（5）矩形一定是正方形．（

）（6）正方形是轴对称图形，一共有2条对称轴．（

）√√√√××2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．四个角相等B．对角线互相垂直平分C．对角互补

D．对角线相等3．正方形具有而菱形不一定具有的性质（

）A．四条边相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．对角线相等DB4．下列命题正确的是（

）A．四个角都相等的四边形是正方形B．四条边都相等的四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的矩形是正方形D5．下列说法中错误的是（

）．A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形B（1）本节课学习了哪些内容？（2）正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联系与区别？它有什么性质？怎样判定？（3）回忆从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的学习过程，我们研究这些图形的次序是什么？其中体现了什么思想？作业1．判断下列说法的对错．（1）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．（

）（2）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是

正方形．

（

）（3）正方形一定是矩形．

（

）（4）菱形一定是正方形．

（

）（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形．

（

）（6）四个角都相等的四边形是正方形．

（

）×××√√√2．已知：正方形