湖北省云学联盟2025-2026学年高二下学期3月学科素养测评数学试卷（含答案）

高二数学学科素养测评

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知aₙ=3n+4,则{2°}的公比是

A.2B.4C.8D.16

2.定义在R上的函数f(x),若,则

A.-1B.C.2D.4

3.已知点M(a,b)在圆0:x²+y²=2外，则直线l:ax+by-2=0与圆O的位置关系是

A.相切B,相交C.相离D.不确定

4.记正项等比数列{an}的前n项积为T,若a₂4₆=16,则T₇=

A.2⁷B.2¹²C.2¹⁴D.2²8

5.如图，三棱锥O-ABC中，G为△ABC的重心，M是OC的中点，则MG=

A.

B.

C.

D.

6.若函数,数列{an}中；aₙ=f(n)+f(n+1)(n∈N),则a=

A.256B.-324C.400D.-441

7.已知过原点O的直线1与双曲线C:的左、右两支分别交于点M,N,

点F是双曲线C的左焦点，若MO=b,则双曲线的渐近线方程是

A.B.C.D.

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1

8.对于实数x,{x}表示不小于x的最小整数，如{0.5}=1,{2}=2.定义函数f(x)={x·{x}},

当x∈[0,n](n∈N")时，函数f(x)的值域为A,记集合A,中的元素个数为an,数列的

前n项和为S,,则S100=

A.B.C.D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知F₁,F₂为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一动点，则

A.椭圆的离心率

B.△PF₁F₂面积的最大值为2

C.存在4个点P,使得PF·PF₂=0

的最小值为1

10.在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AD的中点，P是线段BD₁上的动点，且

D₁P=λD₁B,则

A.当时，MP⊥BD₁B.|MP|的最小值为√3

c.|PA|+|PC|的最小值为D.当C,C₁,P,M四点共面时，

11.正项数列{a}中，a₁=1,若{aₙ}的前π项和为S,且2S²-2S。Sₙ₋1=a²+1(n≥2),则下列

命题正确的是

A.a₂=√2-1B.a₂026>a₂025

C.数列单调递增

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2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.将1到2026这2026个数中，能被3除余1且被5除余2的数从小到大排成一列构成数列{an},

则a₄=_

13.已知点A(0,1),B(0,4),动点N满足NA=2NB,动点M在直线4x-3y=0上，则MN的最

小值为_

14.数列{a,}的前n项和为Sn,且满足2Sₙ=n(aₙ+a₁)(n∈N),

,则S2026=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数

(1)求曲线y=f(x)在(0,1)处的切线方程；

(2)若P是曲线y=f(x)上一动点，求y=f(x)在P处的切线l的倾斜角θ的取值范围.

16.(15分)

已知数列{bₙ}的前n项和

(1)求数列{bₙ}的通项公式；

记数列{a,}的前n项和为T,求T₂n.

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3

17.(15分)

如图，圆锥P-ABC中，底面圆O的直径AB长为4,C是圆O上异于A,B的一点.设二面

角P-AC-B与二面角P-BC-A的大小分别为α与β,且3(tan²α+tan²β)=(tanatanβ)².

(1)N是BC的中点，证明：BC⊥PN.

(2)求圆锥的高OP;

,求二面角A-PC-B的余弦值.

B

18.(17分)

已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且2S²-(n²+n-4)S。-2(n²+n)=0,正项数列{bₙ}满

,n∈N.

(1)求数列{an}和{b}的通项公式；

(2)设cₙ=a·b,求{cn}的前n项和T;

(3)记,求数列{d。}的前n项和为Qn.

19.(17分)

已知点D(1,0),圆C:(x+1)²+y²=16,P为圆上的一个动点，线段PD的中垂线与PC交于

点Q,当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线I.

(1)求T的方程；

(2)若过定点T(0,1)且斜率存在的直线1与曲线I交于A,B两点，试探究：

①在Y轴上是否存在定点M,使得直线MA,MB的斜率之积为定值?若存在，求出点M

的坐标；若不存在，请说明理由.

②若N为平面内一动点，直线NA,NT,NB斜率的倒数成等差数列，则点N是否在某定

直线上?若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由.

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4

高二数学学科素养测评

评分细则

题号1234567891011

答案CABCDCADABDACACD

12.5213.114.4052

15.(1)由导数的定义及几何意义可得

注：直接根据求导法则计算也可，即f'(x)=x²-6x+10,则f'(0)=10分

所以在P(0,1)处的切线方程为y-1=f'(0)(x-0),整理得y=10x+1……7分

(2)在P处的切线斜率为

即k=f'(x)=(x-3)²+1≥1,由斜率k=tanθ,k≥110分

且θ∈(0,π)得，………………13分

注：(1)若按过点P(0,1)来做，求得两条直线，扣2分

(2)因第一问都已得到f/(x),故得到k≥1才能得3分，θ范围写成[π/4,π/2],扣2分；其他

的错答扣3分

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16.(1)当n=1时，………………1分

当n≥2时，,则bₙ=Sₙ-Sₙ-1=3”,………4分

经检验，当n=1时也满足该式.综上，bₙ=3”(n∈N)………6分

(2)由题意知，数列{a}的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得

T₂n=(b₁+b₃+b₅+…+b₂n-1)+(a₂+a₄+…+a₂π)

…………15分

17.(1)由题意可得，OP⊥平面ABC,由线面垂直的性质可得OP⊥BC;

又N是BC的中点，则ON⊥BC,所以BC⊥平面PON,

又PNc平面PON,则BC⊥PN………4分

(2)分别取AC,BC的中点M,Q,由PA=PB=PC,则PM⊥AC,PQ⊥BC.

连接OM,OQ,由OP⊥平面ABC易得OP⊥OM,OP⊥0Q.

又AB是底面圆O的直径，则AC⊥BC,OA=OB=OC=2,OM⊥AC,0Q⊥BC.

则∠PMO=α,∠PNO=β.在Rt△POM与Rt△POQ中，

由3(tan²α+tan²β)=(tanatanβ)²得，OP²=3(OM²+OQ²)=30C²=12,则OP=2√3.

………………9分

(3)因为·即所以OM=√30Q,即BC=√3AC.

∵AC²+BC²=AB²,∴BC=2√3,AC=210分

以点O为坐标原点，ON,OM,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(-1,√3,0),B(1,-√3,0),C(1,√3,0),P(0,0,2√3).

所以AC=(2,0,0),PC=(1,√3,-2√3),BC=(0,2√3,0).

设平面PAC的法向量为m=(x,y,z),则即

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不妨取y=2,则x=0,z=1,此时m=(0,2,1)…………12分

设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则即

不妨取a=2√3,则b=0,c=1,此时n=(2√3,0,1).…………………14分

所以二面角A-PC-B的余弦值为……………15分

18.(1)由题意可得，[2Sₙ-(n²+n)]·(Sₙ+2)=0,又Sₙ≠2,所以

当n=1时，S₁=a₁=1;当n≥2时，aₙ=Sₙ-……………….3分

显然n=1时也满足上式，综上可得a=n(n∈N)…………………分

得，当n≥2时，

所以log₂(b₁b₂b₃…bₙ)-log₂(b₁b₂b₃…b)=log,

则bₙ=2+¹,又log₂b₁=2,则b₁=4,也满足，即b=2”+¹(n∈N)7分

(2)由(1)可得，Cₙ=n·2”+1.

所以Tₙ=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+(n-1)·2”+n·2”#,

则2T=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+(n-1)·2”+n·27+2,……………9分

所以Tₙ=(n-1)·2ᵗ+²+4…………12分

(3)由(1)可得，…………14分

…17分

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19.(1)由题意可得，QP=QD,则QC+QD=QC+QP=PC=4>CD=2,

故点P的轨迹为椭圆，且2a=4,2c=2,所以b²=a²-c²=3,

则曲线I的方程为………………………4分

(2)①设直线1的方程为y=kx+1,点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(0,m).

联立·,消V可得(3+4k²)x²+8kx-8=0,

.……….…………