第40讲新定义与阅读理解型问题

第四篇综合与实践第十章数学问题探究第40讲新定义与阅读理解型问题解决阅读理解型问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法：1.

认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词.2.

全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息.3.

对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答.

类型一

应用型：阅读－理解－建模－应用例1

定义：有一边长是另一边长的两倍的直角三角形叫作倍边直角三角形.（1）若倍边直角三角形较短直角边长为1，则斜边的长为

2或

.（2）如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P在线段AD上，连结CP.

②如图1所示，△PDC是倍边直角三角形，求AP的长.

【解后感悟】本题先考查对“倍边直角三角形的定义”的理解，再考查对此定义的性质应用.题中主要涉及分类讨论.

A.

m＝2，n＝7B.

m＝－4，n＝－3C.

m＝4，n＝3D.

m＝－4，n＝3B类型二

猜想型：阅读－理解－归纳－验证例2

在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1＋x2＝y1＋y2时，称点N是点M的“等和点”.（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，－1），N3（0，－2）中，是点M的“等和点”的有

N1和N3

.N1和N3

（2）若点M（3，－2）的“等和点”N在直线y＝x＋b上，求b的值.【答案】（2）设点N的横坐标为a，∵点N是点M（3，－2）的等和点，∴点N的纵坐标为3＋a－（－2）＝a＋5，∴点N的坐标为（a，a＋5），∵点N在直线y＝x＋b上，∴a＋5＝a＋b，∴b＝5.

【解后感悟】遵循解决此类问题的一般步骤，先阅读了解“等和点”的定义；再理解学会简单计算和运用；最后归纳核心要素，综合运用.

③

类型三

概括型：阅读－理解－概括－拓展例3

定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC.

求证：四边形ABCD为邻等四边形.【答案】（1）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝180°－∠A＝90°，∵对角线BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠CBD＝∠CDB，∴CD＝CB，∴四边形ABCD为邻等四边形.（2）如图2所示，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D.

【答案】（2）如下3个图，点D，D'，D″即为所求.（3）如图3所示，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.

若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长.

【解后感悟】通过前面问题的解答积累经验，再概括，最后拓展解决新问题.

【阅读探究题】综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形.（1）操作判断.用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有

②④

（填序号）.②④

（2）性质探究.根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.如图2所示，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线.①写出图中相等的角，并说明理由；【答案】（2）①∠ACD＝∠ACB，理由如下：延长CB至点E，使BE＝DC，连结AE，如图1，∵四边形ABCD是邻等对补四边形，∴∠ABC＋∠D＝180°，∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠D，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴∠E＝∠ACD，AE＝AC，∴∠E＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB；②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）.

（3）拓展应用.如图3所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形.