集合复习课件-高三数学一轮复习

第1节集合核心考点20212022202320242025Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1卷2卷1.集合T1T2T1T1T1T2T1

T2T32.充分条件与必要条件

T7

3.全称量词与存在量词

T2

4.不等式的性质

T7

5.解不等式

T1

T1

T46.基本不等式

T12

近年来全国高考试题中,本章内容通常以1至2道小题形式考查,具有以下特点:(1)高频考点:集合概念、关系、运算等每年必考,常与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式及指数、对数函数结合命题;(2)考查方式:多数知识点不单独命题,常与其他知识(如函数、方程等)综合考查,或在解答题中作为条件出现;(3)难度定位:整体属于中低档难度,是试卷中的基础得分题.1.夯实基础:准确掌握核心概念,如元素、子集、空集、集合运算、充要条件等,熟练掌握不等式性质及基本不等式的应用;2.强化工具意识:重视集合与不等式的工具性作用,其在函数、方程等后续学习中具有基础性地位,培养转化思想,灵活运用集合语言描述数学问题;3.提升思辨能力:针对充分必要条件判断类问题,注重反例和特例的积累与应用,通过典型错例辨析加深对概念的理解;4.构建知识网络:重点把握集合与函数、方程、解析几何的知识交汇点,强化函数、方程、不等式三位一体的转化思想在实际解题中的应用.课标解读

1.了解集合的含义,了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系,理解集合之间包含与相等的含义.3.能求两个集合的并集与交集,能求给定子集的补集.4.能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引

强基础•固本增分1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性:

、

、

.

(2)元素与集合的关系是

或

,用符号

或

表示.

(3)集合的表示方法:

、

、

.

(4)常见的数集集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N+)

确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法ZQR2.集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作

.

(2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作

.

(3)相等:若A⊆B,且

,则A=B.

(4)空集:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为⌀.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.A⊆B(或B⊇A)A⫋B(或B⫌A)B⊆A3.集合的基本运算

运算集合语言图形语言记法并集

交集

补集

{x|x∈A,或x∈B}

A∪B{x|x∈A,且x∈B}A∩B{x|x∈U,且x∉A}∁UA常用结论1.子集的传递性A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.2.补集的常见结论及等价关系∁U(∁UA)=A,∁U⌀=U,∁UU=⌀,A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U.3.有限集子集个数的结论若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.4.两个常用性质(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1}.(

)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(

)(3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1.(

)(4)对任意集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B).(

)×解析

{x∈N|x3=x}={0,1}.×解析

{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}={y|y≥1},{(x,y)|y=x2+1}为点集.×解析

当x=1时,x2=x=1,不符合集合中元素的互异性.√2.(2023·上海,13)已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x∉Q},则M=(

)A.{1}

B.{2}C.{1,2} D.{1,2,3}A解析

由x∈P,得x=1或x=2,由x∉Q,得x≠2且x≠3,因此x=1,所以M={1}.故选A.3.(苏教必修一教材习题)满足{1}⊆A⫋{1,2,3}的集合A的个数为(

)A.2 B.3C.8 D.4解析

满足条件的集合A有{1},{1,2},{1,3},共3个.故选B.B4.(2024·北京,1)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N=(

)A.{x|-1≤x<1}B.{x|x>-3}C.{x|-3<x<4}D.{x|x<4}C解析

根据数轴(图略)得M∪N={x|-3<x<4}.故选C.5.(2025·全国2,3)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(

)A.{0,1,2} B.{1,2,8}C.{2,8} D.{0,1}D解析

由题意得B={-1,0,1},所以A∩B={0,1}.故选D.6.(北师大必修一教材习题)已知全集U={x∈N*|-2<x<9},M={3,4,5},P={1,3,6},那么{2,7,8}是(

)A.M∪∁UP B.∁U(M∩P)C.(∁UM)∪(∁UP) D.(∁UM)∩(∁UP)D解析

全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M∪∁UP={3,4,5}∪{2,4,5,7,8}={2,3,4,5,7,8},A项不符合题意;M∩P={3},∁U(M∩P)={1,2,4,5,6,7,8},B项不符合题意;(∁UM)∪(∁UP)={1,2,6,7,8}∪{2,4,5,7,8}={1,2,4,5,6,7,8},C项不符合题意;(∁UM)∩(∁UP)={1,2,6,7,8}∩{2,4,5,7,8}={2,7,8},D项符合题意.故选D.7.(苏教必修一教材习题改编)设x为实数,A={1,2,3},B={1,x}.若A∪B=A,则x的值为

.

2或3解析

因为A∪B=A,所以B⊆A,所以x=2或x=3.研考点•精准突破考点一集合的含义与表示

C

(2)(多选题)(2025·广东阳江模拟)下列各组中M,N表示不同集合的是(

)A.M={4,-3},N={(4,-3)}B.M={(3,2)},N={(2,3)}C.M={y|y=x-2,x≥2},N={(x,y)|y=x-2,x≥2}D.M={y|y=2k+1,k∈Z},N={y|y=2k-1,k∈Z}ABC解析

对于A,M为数集,N为点集,两集合不同;对于B,(3,2)和(2,3)是两个不同的有序实数对,所以两集合不同;对于C,M为数集,N是点集,两集合不同;对于D,两集合均表示全体奇数.故选ABC.规律方法

解决集合含义问题的关键点(1)明确集合的代表元素;(2)界定元素的约束条件;(3)把握元素的互异性,处理含字母集合时务必检验.[对点训练1](1)(2025·江苏南通模拟)已知集合A={-2,0,1,3},集合B={x|-x∈A且3+x∉A},则B=(

)A.{0,3} B.{-2,1} C.{2,-1} D.{0,1,3}C解析

当-x=-2,即x=2时,3+2=5∉A,满足条件,当-x=0,即x=0时,3+0=3∈A,不满足条件,当-x=1,即x=-1时,3+(-1)=2∉A,满足条件,当-x=3,即x=-3时,3+(-3)=0∈A,不满足条件.所以B={2,-1}.故选C.

BC

考点二集合间的基本关系

D

(2)[一题多变](2025·山东聊城模拟)已知集合A={x|0≤x≤a},B={x|x2-2x≤0},若A⊆B,则实数a的取值范围是(

)A.(0,2) B.[0,2]C.(-∞,2) D.(-∞,2]D解析

因为A={x|0≤x≤a},B={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2},当a<0时,A=⌀,则A⊆B,符合题意;当a≥0时,A≠⌀,因为A⊆B,则0≤a≤2.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,2].故选D.AI变式[变式1](改变包含关系)本例(2)中的条件“A⊆B”改为“A⫋B”,其余条件不变,求实数a的取值范围.解

当a<0时,A=⌀,则A⫋B,符合题意;当a≥0时,A≠⌀,因为A⫋B,则0≤a<2.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,2).[变式2](改变集合顺序)本例(2)中的条件“A⊆B”改为“B⊆A”,其余条件不变,求实数a的取值范围.解

因为B⊆A,所以A≠⌀,且a≥2,故实数a的取值范围是[2,+∞).规律方法

1.判断两集合关系的方法

2.根据两集合的关系求参数的注意事项(1)空集是任何集合的子集,在问题涉及集合关系时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

B解析

∵A⊆B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A⊆B成立.故选B.(2)(多选题)(2025·江苏南京期中)下列各个选项中,满足{x|x2-2x-3=0}⊆A⫋{-1,0,1,3}的集合A可以为(

)A.{-1,3} B.{-1,1}C.{-1,0,3} D.{-1,0,1,3}AC解析

由x2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,解得x=3或x=-1,即有{-1,3}⊆A⫋{-1,0,1,3},所有满足条件的集合A为{-1,3},{-1,0,3},{-1,1,3}.故选AC.考点三集合的基本运算考向1

集合的运算例3

(1)(2025·全国1,2)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为(

)A.0 B.3 C.5 D.8C解析

由题可得,∁UA={2,4,6,7,8},有5个元素.故选C.教考衔接(人A必修一教材例题)设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求∁UA,∁UB.解

根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁UA={4,5,6,7,8},∁UB={1,2,7,8}.

D

(3)(2024·新高考Ⅰ,1)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(

)A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}A

规律方法

解决集合运算问题的三个注意点

考向2

利用集合的运算求参数的值(范围)例4

(1)(2025·辽宁沈阳模拟)已知集合M={x|-4<x<a},N={x|x2-4x+3<0},且M∪N={x|-4<x<3},则a的取值范围为(

)A.[1,3] B.(1,3)C.[1,3) D.(1,3]D解析

(1)由已知得N={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},因为M∪N={x|-4<x<3},M={x|-4<x<a},所以1<a≤3.故选D.(2)(2026·浙江杭州模拟)已知集合A={x|-2≤x≤10},B={x|1-m≤x≤1+m}.若B∩(∁RA)=⌀,则实数m的取值范围为(

)A.(-∞,3] B.(-∞,9]C.(-∞,3]∪[9,+∞) D.[3,9]A

规律方法

利用集合的运算求参数的方法(1)若已知集合的运算结果(实质是集合间的关系)求参数的值(或范围),一般先确定不同集合间的关系,即元素之间的关系,再列方程或不等式求解,在求解过程中要注意空集的讨论,避免遗漏;(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,以简化计算过程.[对点训练3](1)(2025·山东青岛高三期末)若集合M={(x,y)|y2=2x},N={(x,y)|x2+y2=0},则(

)A.M∩N=M B.M∪N=MC.M∪N=N D.M∩N=⌀B解析

因为M={(x,y)|y2=2x},N={(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)},所以N⊆M,所以M∩N={(0,0)}=N,M∪N=M.故选B.(2)(2023·全国乙,理2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|