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类型1整式乘法中的整体代入思想类型解读:整体代入思想方法是一种在数学中常用的技巧,特别是在代数式运算中。当给出的条件不是字母的具体值,而是以某种式子的形式出现时,我们可以将这个式子(或变形后与需要求值的式子相关)看作一个整体,直接代入到需要求解的式子中进行计算,从而简化问题,快速得到答案。专题聚焦(一)【培优】数学思想在整式乘法中的应用角度1整体思想在幂的运算中的应用1.若m,n均为正整数且2m·2n=32,(2m)n=64,则mn+m+n的值为()A.10 B.11 C.12 D.132.已知2x+3y-3=0,求3·9x·27y的值。B角度2整体思想在整式乘法中的应用3.已知m+n=3,mn=-6,则(1-m)(1-n)的值为

。

4.阅读下列文字,并解决问题。已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值。分析:考虑到满足x2y=3的x,y的可能值较多,不可以逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入。解:2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24。请你用上述方法解决问题:已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值。-8解:因为ab=3,所以(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)=-4a3b3+6a2b2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab=-4×33+6×32-8×3=-78。角度3整体思想在乘法公式中的应用5.阅读例题的解答过程,并解答(1)(2)两个问题。例:计算(a-2b+3)(a+2b-3)。原式=[a-(2b-3)][a+(2b-3)] ①=a2-(2b-3)2 ②=a2-4b2+12b-9。

③(1)例题求解过程中,利用了整体思想,其中①→②的变形依据是

,②→③的变形依据是

(填整式乘法公式的名称);

平方差公式完全平方公式(2)用此方法计算(a+2x-y-b)(a-2x+y-b)的值。解:(2)(a+2x-y-b)(a-2x+y-b)=[(a-b)+(2x-y)][(a-b)-(2x-y)]=(a-b)2-(2x-y)2=(a2-2ab+b2)-(4x2-4xy+y2)=a2-2ab+b2-4x2+4xy-y2。类型2整式乘法中的换元思想类型解读:整式乘法中的换元思想方法的实质是“转化”的数学思想,主要体现在将复杂的整式看作一个整体,用一个新变量代替,从而简化计算过程。这种方法在处理复杂的整式运算时非常有效,能够显著降低问题的复杂性。6.已知(2024-a)(2026-a)=2025,求(2024-a)2+(2026-a)2的值。解:设2024-a=x,2026-a=y,则xy=2025,x-y=-2,所以(20

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