整式的加减（课件）北师大版数学七年级上册

北师大（2024）版数学七年级上册第三章

整式及其加减3.2.3整式的加减1．合并同类项的法则是什么？合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变2．去括号的法则是什么？第1页：情境导入——整式加减的本质是什么？回顾旧知：我们已经学会了去括号和合并同类项，那么如何计算两个整式的和或差？例：求整式(3x²+2x)与(2x²-3x+1)的和，求整式(5a-b)与(3a+2b)的差；生活类比：超市购物时，把“水果类总价（3x+2y）”和“文具类总价（2x+3y）”相加，就是整式的加法；用“总钱数（10a）”减去“买书花费（3a+2b）”，就是整式的减法；思考：整式的加减运算，其实就是什么运算的组合？第2页：核心定义——整式的加减法则定义推导：整式加法：(a+b)+(c+d)=a+b+c+d（去括号，再合并同类项）；整式减法：(a+b)-(c+d)=a+b-c-d（去括号，再合并同类项）；法则总结：整式的加减运算，实际上就是去括号和合并同类项的综合运用具体步骤：①

去括号（括号前是“-”号时，注意变号；有系数时，先分配系数）；②

合并同类项（只合并系数，字母和指数不变）。一句话口诀：整式加减，去括为先，合并收尾！第3页：实例解析1——整式的加法（不含系数）例1：计算(2x²+3x-1)+(x²-2x+4)步骤：（1）去括号（括号前均为“+”，符号不变）→2x²+3x-1+x²-2x+4；（2）找同类项

→(2x²+x²)+(3x-2x)+(-1+4)；（3）合并同类项

→3x²+x+3；（4）结果：3x²+x+3（二次三项式）。例2：计算(5xy-2y²)+(3xy+y²-x²)解：去括号→5xy-2y²+3xy+y²-x²合并同类项→(5xy+3xy)+(-2y²+y²)-x²=8xy-y²-x²（按x²、y²、xy顺序整理：-x²-y²+8xy）第4页：实例解析2——整式的减法（含符号变化）例3：计算(4a²-3a+5)-(2a²-4a-3)步骤：（1）去括号（括号前为“-”，符号全变）→4a²-3a+5-2a²+4a+3；（2）找同类项

→(4a²-2a²)+(-3a+4a)+(5+3)；（3）合并同类项

→2a²+a+8；（4）结果：2a²+a+8（二次三项式）。例4：计算(3x²y-xy²)-(2x²y+3xy²-x²)解：去括号→3x²y-xy²-2x²y-3xy²+x²合并同类项→(3x²y-2x²y)+(-xy²-3xy²)+x²=x²y-4xy²+x²（整理顺序：x²+x²y-4xy²）第5页：实例解析3——含系数的整式加减（分配律应用）例5：计算2(3x²-x+2)-3(2x²+x-1)步骤：（1）去括号（先分配系数，再变号）→6x²-2x+4-6x²-3x+3；（2）找同类项

→(6x²-6x²)+(-2x-3x)+(4+3)；（3）合并同类项

→-5x+7；（4）结果：-5x+7（一次二项式）。例6：化简3(a²-2ab+b²)-2(a²-ab-b²)解：去括号→3a²-6ab+3b²-2a²+2ab+2b²合并同类项→(3a²-2a²)+(-6ab+2ab)+(3b²+2b²)=a²-4ab+5b²第6页：实例解析4——整式的混合加减（多个整式）例7：计算(x³-2x²+x-4)+(2x³+3x²-5x+1)-(x³-4x+3)步骤：（1）去括号→x³-2x²+x-4+2x³+3x²-5x+1-x³+4x-3；（2）找同类项→(x³+2x³-x³)+(-2x²+3x²)+(x-5x+4x)+(-4+1-3)；（3）合并同类项→2x³+x²+0x-6=2x³+x²-6；（4）结果：2x³+x²-6（三次三项式）。第7页：易错辨析——整式加减“雷区”警示错误类型错误解法（以计算(2x²-3x)-(x²-2x+1)为例）正确解法错误原因去括号漏变号2x²-3x-x²-2x+1=x²-5x+12x²-3x-x²+2x-1=x²-x-1括号前“-”，未改变括号内-2x和+1的符号系数漏乘2(3x-1)-(2x+3)=6x-1-2x-3=4x-42(3x-1)-(2x+3)=6x-2-2x-3=4x-5括号前系数2未乘到-1同类项合并错误3x²+2x²=5x⁴；2x-3x=13x²+2x²=5x²；2x-3x=-x合并时改变字母指数，或系数计算错误整理顺序混乱结果写成-y²+x²+2xy（无错误，但不规范）整理为x²+2xy-y²（按x降幂、y升幂排列）结果未按字母顺序整理，影响可读性第8页：基础练习——整式加减化简计算下列各式：（1）(3x+2y)+(5x-y)（2）(7a-3b)-(4a+2b)（3）2(x²-2x)-3(1-x²)（4）(x³-x²+1)+(x²-2x+5)-(x³-3x)（答案：(1)8x+y；(2)3a-5b；(3)5x²-4x-3；(4)x+6）第9页：提高练习——先化简再求值先化简，再求值：(2x²-xy+3y²)-2(x²+xy-2y²)，其中x=-1，y=2解：化简→2x²-xy+3y²-2x²-2xy+4y²=-3xy+7y²代入→-3×(-1)×2+7×2²=6+28=34已知A=x²-2xy+y²，B=2x²+xy-3y²，求2A-3B的值（其中x=1，y=-1）解：2A-3B=2(x²-2xy+y²)-3(2x²+xy-3y²)→2x²-4xy+2y²-6x²-3xy+9y²=-4x²-7xy+11y²代入→-4×1²-7×1×(-1)+11×(-1)²=-4+7+11=14第10页：生活应用——整式加减的实际场景情境1：一个多项式与2x²-3x+1的和是5x²-2x+4，求这个多项式。解：设这个多项式为M，则M+(2x²-3x+1)=5x²-2x+4→M=(5x²-2x+4)-(2x²-3x+1)=5x²-2x+4-2x²+3x-1=3x²+x+3情境2：用铝合金制作一个长方形窗框，长为(3a+2b)cm，宽为(a-b)cm，制作时需要在窗框四周额外增加2cm的损耗，求制作这个窗框需要的铝合金总长度。解：窗框周长=2×[长+宽]=2×[(3a+2b)+(a-b)]=2×(4a+b)=8a+2b总长度=周长+损耗=(8a+2b)+2=8a+2b+2（cm）第11页：知识小结——整式加减的核心逻辑本质：去括号+合并同类项（两步走，缺一不可）；步骤：①

去括号（辨符号、乘系数）；②

找同类项（字母相同、指数相同）；③

合并（系数相加，字母不变）；④

整理（按字母降幂/升幂排列，规范书写）；关键提醒：去括号时符号是核心，合并时系数计算要细心，结果要简洁规范；衔接：整式加减是后续学习一元一次方程、整式乘除的基础，务必熟练掌握！括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“－”，把括号和它前面的“－”去掉后，原括号里各项的符号都要改变计算：(1)2ab2+3ab2；(2)2x+3y-3(x-y)。(1)2ab2+3ab2=(2+3)ab2=5ab2;(2)2x+3y-3(x-y)=2x+3y-3x+3y=(2x-3x)+(3y+3y)=-x+6y。游戏1：请同学在纸片上写一个两位数，交换个位上的数与十位上的数得到一个新数，将这两个数之和除以个位与十位的数字的和，老师都能马上猜出结果。比如：(15+51)÷(1+5)你知道这是为什么吗？如果用

a，b

分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为：

。交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是：

。

将这两个数相加可得：10a+b10b+a(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=(10a+a)+(10b+b)=11a+11b=11(a+b)

原来不管个位和十位上的数字是几，这两个数字之和肯定是11的倍数，结果不变。游戏2：请同学在纸片上写一个两位数，交换各位上的数与十位上的数得到一个新数，将这两个数之差除以原数个位与十位的数字的差，结果是否也不变？比如：(15-51)÷(1-5)类比游戏将这两个数相减可得：(10a+b)-(10b+a)=10a+b

-10b

-

a=(10a

-

a)+(b

-10b)=9a

-9b=9(a

-

b)类比探究交换前后的两个数字：10a+b、10b+a这两数之差是9的倍数。结果依然不变。探究：在上面的探究过程中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？整式的加减运算去括号合并同类项

进行整式加减运算时，如果遇到括号要先

，再

。整式的加减运算法则：

去括号合并同类项知识要点任意写一个三位数，交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数，两个数相减。(例如：728-

827

=-99)两个数相减后的结果有什么规律？这个规律对任意一个三位数都成立吗？独立探究设原数：100a+10b+c，交换后的数：100c+10b+a。(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100a+10b+c

-

100c

-10b

-

a=99a

-

99c=99(a

-

c)。解：(1)(2x2－3x＋1)＋(－3x2＋5x－7)

＝2x2－3x＋1－3x2＋5x－7

＝2x2－3x2－3x＋5x＋1－7

＝－x2＋2x－6.典例精析例1计算：(1)2x2－3x＋1与

－3x2＋5x－7的和；(2)与

的差。练一练1.已知多项式

3x4－5x2－3

与另一个多项式的差为

2x2－x3－5＋3x4，求另一个多项式。解：设这个多项式为

A，则由题意得(3x4－5x2－3)－A＝2x2－x3－5＋3x4。所以

A＝(3x4－5x2－3)－(2x2－x3－5＋3x4)

＝3x4－5x2－3－2x2＋x3＋5－3x4

＝(3－3)x4＋x3＋(－5－2)x2＋(－3＋5)

＝x3－7x2＋2。2.

已知

A＝－6x2＋4x，B＝－x2－3x，C＝5x2－7x＋1，小明和小白在计算时对

x分别取了不同的数值，并进行了多次计算，但所得

A－B＋C的结果却是一样的．你认为这可能吗？说明你的理由．

理由：A－B＋C＝(－6x2＋4x)－(－x2－3x)＋(5x2－7x＋1)＝－6x2＋4x＋x2＋3x＋5x2－7x＋1

＝1。解：可能。由于结果中不含

x，所以不论

x取何值，A－B＋C的值都是1。例2

做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm)长宽高小纸盒abc大纸盒1.5a2b2c(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米？(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？典例精析长方体表面积

=2×长×宽

+2×宽×高

+2×长×高解：小纸盒的表面积是

(2ab

+

2bc

+

2ca)

cm2，大纸盒的表面积是

(6ab

+8bc

+6ca)

cm2.(1)

做这两个纸盒共用料

(单位：cm2)

(2ab

+

2bc

+

2ca)

+

(6ab

+8bc

+6ca)=

2ab

+

2bc

+

2ca

+

6ab

+8bc

+6ca=

8ab

+

10bc

+8ca。(2)

做大纸盒比做小纸盒多用料

(单位：cm2)

(6ab

+8bc

+6ac)

-

(2ab

+

2bc

+

2ca)=

6ab

+8bc

+6ca

-

2ab

-

2bc

-

2ca=

4ab

+6bc

+4ac。()不要忘记括号哦！3.

(渭南期末)

一个菜地共占地

(6m

+

2n)

亩，其中

(3m

+

6n)

亩种植白菜，种植黄瓜的地是种植白菜的地的

，剩下的地种植时令蔬菜，则种植时令蔬菜的地有

亩。时令蔬菜：(6m

+

2n)

-

(3m+6n)

-

(m+2n)=2m

-6n分析：黄瓜：

×(3m+6n)=m+2n，(2m

-6n)解：（1）原式=（x+5x）+（－f－4f）=6x－5f.（2）原式=（2a+6a－8a）+（3b+9b+12b）=24b.（3）原式=（30a²b－15a²b）+（2b²c－4b²c）=15a²b－2b²c.（4）原式=（7xy+5xy－12xy）－8wx=－8wx.

1.合并同类项：（1）x－f+5x－4f；（2）2a+3b+6a+9b－8a+12b；（3）30a2b+2b2c－15a2b－4b2c;（4）7xy－8wx+5xy－12xy．习题3.2解：（1）原式=3x²+3x+1，当x=－5时，原式=61.（2）原式=3x²+3xy－9，当x=2，y=－3时,原式=－15.（3）原式=－pq－m，当m=5，p=,q=－时,原式=－.

2.求代数式的值：（1）6x+2x2－3x+x2+1，其中x=－5；（2）4x2+3xy－x2－9，其中x=2，y=－3；（3）3pq－m－4pq，其中m=5，p=，q=.3.填空：（1）一个长方形的宽为acm，长比宽的2倍多lcm，这个长方形的周长为_________cm;（2）三个连续整数中，n是最小的一个，这三个数的和为_________;（3）某景点的成人票价每张是20元，儿童票价每张是8元．甲旅行团有x名成人和y名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的.两个旅行团的门票费用总和为___________元.（6a+2）（3n+3）（60x+12y）解：（1）AB的长度为2.5x.（2）阴影部分的周长为2(y+3y+2.5x)=8y+5x.（3）阴影部分的面积为2.5xy+3y×0.5x=4xy.4.某种T形零件尺寸如图所示.（1）你能表示出AB的长度吗？（2）阴影部分的周长是多少？（3）阴影部分的面积是多少？解：（1）原式=2xy－3z.（2）原式=－3pr.（3）原式=－3x－2y.（4）原式=－2x+6y－6.（5）原式=4a²b－3ab.（6）原式=2y2－4x+1.

5.化简下列各式：(1)3(xy－2z)+(－xy+3z)；(2)－4(pq+pr)+(4pq+pr)；(3)(2x－3y)－(5x－y);(4)－5(x－2y+1)－(1－3x+4y)；(5)(2a2b－5ab)－2(－ab－a2b)；(6)1－3(x－y2)+(－x+y2).解：（1）原式=x²+3xy－x.（2）原式=x2－y2.6.计算：（1）（3x2+2xy－x）－（2x2－xy+x）；（2）（xy+y2+1）+（x2－xy－2y2－1）；解：（3）原式=2x2y－6xy+10.（4）原式=－2k2+2k+7.

（3）－（x2y+3xy－4）+3（x2y－xy+2）；（4）－（2k3+4k2－28）+（k3－2k2+4k）．解：（1）原式=x²－8x.当x=10时，原式=20.（2）原式=x－y－.当x=，y=时，原式=－.（3）原式=－y，当y=18时，原式=－18.7.求下列各式的值：(1)3x2－(2x2+5x－1)－(3x+1)，其中x=10；(2)(xy－y－)－(xy－x+1)，其中x=，y=；(3)4y2－(x2+y)+(x2－4y2)，其中x=－28，y=18．解：答案不唯一.如4xyz³，xyz³，－xyz³等都是2xyz³的同类项.8.你能写出2xyz3的几个同类项吗？解：有道理.因为a²+a（a+b）－2a²－ab=a²+a²+ab－2a²－ab=2a²+ab－2a²－ab=0，所以无论a，b取何值，代数式a²+a（a+b）－2a²－ab的值都为0.所以小刚的说法有道理.9.张老师让同学们计算“当a=0.25，b=－