命题点8整式与因式分解(必考)

第一章数与式课标要求①了解整数指数幂的意义和基本性质.②理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整

式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之

间和一次式与二次式的乘法)；③理解乘法公式(a＋b)(a－b)

＝

a2－b2，(a±b)2

＝

a2±2ab

＋

b2，了

解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理.④能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指

数为正整数).命题点8整式与因式分解(必考)要点归纳

1.

整式的相关概念(1)单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，如a2b，2a；单独一个数

或一个字母也叫单项式，如6，x.①系数：单项式中的数字因数，如a2b的系数为1，2a的系数为2.②次数：所有字母的指数和，如2a的次数为1，a2b的次数为3.

(3)整式：单项式和多项式统称为整式.2.

整式的运算(1)加减运算：①同类项：多项式中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，

如－2m2n与4m2n是同类项；②合并同类项：③去括号法则：a＋(b＋c)＝

⁠，a－(b＋c)＝

⁠，简记为“－”变“＋”不变；④加减运算可归纳为：先去括号，再合并同类项.a＋b＋ca－b－c(2)幂的运算：①同底数幂相乘：底数不变，指数相加，am·an＝

(a≠0，

m，n为整数)；②同底数幂相除：底数不变，指数相减，am÷an＝

(a≠0，

m，n为整数)；③幂的乘方：底数不变，指数相乘，(am)n＝

(a≠0，m，n为整

数)；④积的乘方：(ab)n＝

(ab≠0，n为整数).am＋nam－namnanbn(3)乘法运算：①单项式乘单项式：把系数和同底数幂分别相乘，结果作为积的因式，

只在一个单项式出现的字母连同其指数作为积的因式，如2a3·3ab2

＝

⁠；②单项式乘多项式：6a4b2如图1，m(a＋b)＝

⁠；③多项式乘多项式：如图2，(m＋n)(a＋b)＝

⁠.ma＋mbma＋mb＋na＋nb3.

乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.①公式推导：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2；②几何背景如图1，图2：(2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.①公式推导：和的完全平方公式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋

2ab＋b2；差的完全平方公式：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－

2ab＋b2.②几何背景如图3，图4：4.

因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式.(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝

⁠.(2)公式法(常用公式来分解)：①a2－b2＝

⁠；②a2＋2ab＋b2＝

⁠；③a2－2ab＋b2＝

⁠；④x2＋(a＋b)x＋ab＝

⁠；⑤a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；⑥a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).m（a＋b＋c）（a＋b）（a－b）（a＋b）2（a－b）2（x＋a）（x＋b）(3)因式分解的一般步骤：一提：有公因式，先提公因式.二套：没有公因式，两项考虑平方差公式法，三项考虑完全平方公式

法，四项及以上考虑分组分解法.三检查：检查因式分解是否彻底.命题点8整式与因式分解(必考)随堂检测

1.

(2025河北邯郸二模)如图，若x≠0，在给出的四个运算中，结果为x8

的是(

D

)A.

①B.

②解析：①x4·x2＝x4＋2＝x6≠x8；②（x3）5＝x3×5＝x15≠x8；DC.

③D.

④③x4＋x4＝2x4≠x8；④x10÷x2＝x10－2＝x8.2.

下列说法中正确的是(

B

)A.2不是单项式B.

－

的系数是－

C.3πr2的次数是3D.

多项式5a2－6ab＋12的次数是4B

3.

若x2＋(k＋1)x＋1是一个完全平方式，则k的值是(

C

)A.

－3B.1C.

－3或1D.

±2解析：∵x2＋（k＋1）x＋1是一个完全平方式，∴k＋1＝±2，解得k＝1或k＝－3.故选C.

C

A.

2

B.9C.

3

D.6

C

A.100＝102，是102×17×2×5的因子，可使结果为整数，不符合

题意，B.50＝5×10，是102×17×2×5的因子，可使结果为整数，不符

合题意，C.17是102×17×2×5的因子，可使结果为整数，不符合题意，D.3不是102×17×2×5的因子，不可使结果为整数，符合题意.D6.

计算下列式子：(1)a2·a4＝

⁠；(2)2a·3ab＝

⁠；(3)(－a)3＝

⁠；(4)(2a2)3＝

⁠；(5)2a10÷a2＝

⁠；(6)6x3y6÷2xy2＝

⁠；(7)2a(a－b)＝

⁠；(8)(2a＋b)(a－b)＝

⁠.a66a2b－a38a62a83x2y42a2－2ab2a2－ab－b27.

将下列各式分解因式：(1)x2y－y3；（1）x2y－y3＝y（x2－y2）＝y（x＋y）（x－y）；(2)－x2－y2＋2xy；（2）－x2－y2＋2xy＝－（x2＋y2－2xy）＝－（x－y）2；(3)9a2(x－y)＋4b2(y－x)；（3）9a2（x－y）＋4b2（y－x）＝9a2（x－y）－4b2（x－y）＝

（x－y）（9a2－4b2）＝（x－y）（3a＋2b）（3a－2b）；(4)(a＋2b)2＋2(a＋2b－1)＋3.（4）（a＋2b）2＋2（a＋2b－1）＋3＝a2＋4ab＋4b2＋2a＋4b－2

＋3＝a2＋4ab＋4b2＋2a＋4b＋1＝（a＋2b）2＋2（a＋2b）＋1＝

（a＋2b＋1）2.8.

(2025河北唐山二模)下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中

A、B是关于n的多项式.(1)直接写出：①A＝

，B＝

⁠；②原式的运算结果为

⁠；BBn＋6n＋1n2－6例：先去括号，再合并同类项：n(A)－6(

B)解：n(A)－6(

B)＝n2＋6n－6n－6＝……解析：（1）①n（A）－6（B）＝n2＋6n－6n－6＝n（n＋6）－6

（n＋1），则A＝n＋6，B＝n＋1，故答案为：n＋6，n＋1；②n（A）－6（

B

）＝n2＋6n－6n－6＝n2－6，故答案为：n2－6；(2)若n为任意正整数，试说明(A＋B)2－4n2的值总能被7整除.（2）证明见解析解析：（2）（A＋B）2－4n2＝[（n＋6）＋（n＋1）]2－4n2＝（2n＋7）2－4n2＝4n2＋28n＋49－4n2＝28n＋49＝7（4n＋7）.即n为任意正整数，（A＋B）2－4n2的值总能被7整除.9.

已知多项式A＝3x2－x＋1，B＝kx2－(2x2＋x－2).(1)当x＝－1时，求A的值；解：（1）把x＝－1代入A＝3x2－x＋1，得A＝3x2－x＋