24.4.2利用仰角、俯角解直角三角形（教学课件）数学华东师大版九年级上册

华东师大版·九年级上册24章解直角三角形24.4解直角三角形的实际应用24.4.2利用仰角、俯角解直角三角形

第二十三章

相似三角形

学

习

目

标123理解仰角和俯角的概念，能利用仰角、俯角结合解直角三角形的知识解决实际测量问题。通过实际问题的探究，经历“实际问题-数学建模-求解验证”的过程，培养学生的建模思想、逻辑推理能力和应用意识。感受数学与实际生活的紧密联系，体会数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力。复习回顾解直角三角形的概念：由直角三角形除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程。解直角三角形的依据：勾股定理a2+b2=c2两锐角互余∠A+∠B=90°锐角三角函数

知识导入在测量或观测时，我们经常会从下向上看或者从上往下看，此时视线与水平线会形成一定的夹角，这些夹角在数学中有什么定义？又如何利用这些夹角和直角三角形的知识解决实际测量问题呢？今天我们就来学习仰角、俯角的概念以及它们在解直角三角形实际应用中的作用。新知探究探究1仰角和俯角的概念问题1：什么是仰角和俯角？视线水平线仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角视线府角：从上往下看，视线与水平线的夹角新知探究探究2利用仰角、俯角解直角三角形的实际应用

如图24.4.4,为了测量旗杆的高度BC,在离旗杆底部10米的A处,用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°.求旗杆BC的高.(精确到0.1米)例31.分析实际问题，构建数学模型：Rt△CDE测量旗杆的高度BC=BE+CE，BE=DA（已知）,转化为求CE已知仰角α=52°，既∠CDE=52°离旗杆底部10米即AB=10米，则DE=AB=10米新知探究探究2利用仰角、俯角解直角三角形的实际应用

如图24.4.4,为了测量旗杆的高度BC,在离旗杆底部10米的A处,用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°.求旗杆BC的高.(精确到0.1米)例32.梳理条件：在Rt△CDE中，∠CED=90°，∠CDE=52°，DE=10米，求CE的值新知探究探究2利用仰角、俯角解直角三角形的实际应用

如图24.4.4,为了测量旗杆的高度BC,在离旗杆底部10米的A处,用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°.求旗杆BC的高.(精确到0.1米)例33.解答过程：解：在Rt△CDE中,∵CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80,∴BC=BE+CE=DA+CE≈1.50+12.80=14.3(米).答:旗杆BC的高度约为14.3米数学思想：本题运用了建模思想，将实际的测量旗杆高度问题转化为矩形和直角三角形的组合问题，再利用正切函数的定义求解，体现了将实际问题转化为数学问题的转化思想。新知探究探究2利用仰角、俯角解直角三角形的实际应用变式1：

如图24.1.2,站在离旗杆BE底部10米处的点D,目测旗杆的顶部,视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°,并已知目高AD为1.5米.旗杆的实际高度是多少.DE=10米，即AC=DE=10米+BC的距离解：在Rt△ABC中,∵BC=AC×tan∠BAC=10×tan34°≈6.75,∴BE=BC+CE≈6.75+1.5=8.25(米).答:旗杆BC的高度约为8.25米新知探究探究2利用仰角、俯角解直角三角形的实际应用

如图,某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地面控制点B的俯角α=16°31′.求A处到控制点B的距离.(精确到1米)变式2：△ABC为直角三角形已知一边已知一角解：∵地面与水平视线平行∴∠ABC=α=16°31′在Rt△ABC中,答:A处到控制点B的距离4221米。

新知探究探究2利用仰角、俯角解直角三角形的实际应用变式2：

两座建筑物DA与CB,其地面距离DC为50.4米,从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°,测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.(精确到0.1米)解：过点A作AE⊥BC于点E，由题意可知：四边形ADCE是矩形∵因为AD⊥DC，BC∥DC，AE⊥BC，∴AE=DC=50.4米，AD=EC。仰角α=20°（从A看B的仰角），俯角β=35°（从A看C的俯角）。新知探究探究2利用仰角、俯角解直角三角形的实际应用变式2：

两座建筑物DA与CB,其地面距离DC为50.4米,从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°,测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.(精确到0.1米)1.求BE的长度

新知探究探究2利用仰角、俯角解直角三角形的实际应用变式2：

两座建筑物DA与CB,其地面距离DC为50.4米,从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°,测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.(精确到0.1米)2.求EC的长度

新知探究探究2利用仰角、俯角解直角三角形的实际应用变式2：

两座建筑物DA与CB,其地面距离DC为50.4米,从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°,测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.(精确到0.1米)3.求CB的长度CB=BE+EC≈18.35+35.29≈53.6米∴甲建筑物的高度为35.3米，乙建筑物的高度为53.6米。课堂练习1.如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m.又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°，则教学楼的高度为

m.

35tan29°课堂练习2.如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点间的距离是

.

课堂练习3.如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部点B的仰角为45°.（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；解：（1）∵∠BDC=45°，∠ACD=90°，∴BC=DC=20米.答：建筑物BC的高度为20米.课堂练习（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度.（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）

课堂练习4.开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m；参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）.课堂练习

课堂练习5.某校课外活动小组在距离湖面7m高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖面的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？课堂练习解：设过点A的水平线交PP′于点D，则DC=AB=7，设AD=x.则PD=AD·tan37°≈x.P′D=AD·tan53°≈x