《空间解析几何》课件 第二章 轨迹与方程

第二章

轨迹与方程§2.1平面方程§2.2

平面的几何特征§2.3

空间直线方程§2.4空间直线、点和平面的相关位置§2.5平面束方程一、仿射坐标系下平面方程

§2.1平面方程三、直角坐标系下平面方程二、平面的简单几何特征问题:在立体几何中，有哪些方式可以确定一张平面(没有垂直)?一、仿射坐标系下平面方程1、两条相交直线2、不在同一直线上的三个点一个点和两个不共线的向量

在

上空间任意点

在平面

上

取仿射坐标系

，设点

的坐标,两不共线向量

的坐标是,由点

及

确定的平面记作

.

与两不共线向量

共面.上式称为平面的向量式参数方程.

如果点M的坐标为(x,y,z)，则以上方程等价于

称为平面的坐标式参数方程.上式称为平面的向量式参数方程.

取仿射坐标系

，设点

的坐标,两不共线向量

的坐标是,由点

及

确定的平面记作

.称其为平面的点向量式方程，他也等价于即Ax+By+Cz+D=0，其中容易看出A,B,C不全为零.

与两不共线向量

共面.说明：空间平面↔Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不全为零)

任给Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不全为零)，

因为A，B，C不全为零，不妨设A≠0，则该方程可写成这是平面的点向量式方程，因此对应一个平面.

定义2.1.1

在仿射坐标系

下，把关于x,y,z的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0

(A,B,C不全为零)叫作平面的一般方程.(2)在应用时，不必将A,B,C,D一一求出，只要得到彼此间的比例关系即可.注:(1)今后在作假设中默认A,B,C不全为零，不再单独强调.将点

的坐标

解

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,

例1

在仿射坐标系下，设平面与三个坐标轴的交点是

对应的坐标为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c).若求平面方程.显然D≠0.不然A,B,C全为零，矛盾.将上述等式代入平面的一般方程，再约去公因子D得代入得

定理2.1.1

在仿射坐标系下，设平面

的方程为Ax+By+Cz+D=0，向量

的坐标为{a,b,c}，则

平行于平面

或在

上的充要条件是Aa+Bb+Cc=0.

于是

平行于平面

或在

上等价于点M在

上，又设点M坐标为,证

取平面

上的定点

，设坐标为

，则即所以Aa+Bb+Cc=0.二、平面的简单几何特征所以

坐标向量

的坐标分别是

平面

经过原点D=0.

平行z轴

平行

且O不在

上平行

且O不在

上平行

且O不在

上(1)

平行x轴

平行y轴

平面与原点、坐标轴的关系设仿射坐标系下平面

方程为Ax+By+Cz+D=0.

和点O均在

上和点O均在

上

和点O均在

上

经过z轴(2)

经过x轴

经过y轴仿射坐标系下，经过点A(1,1,1)且与z轴平行的平面方程是()x+y=2z=1x+y+z=3ABCD提交单选题1分三、直角坐标系下平面方程

问题:有垂直的情形下，可以怎样确定一张平面?过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个.(一定点和一个非零向量)

设平面上任意一点M的坐标为(x,y,z)，则

的坐标为.于是例2

已知仿射坐标系下不共线三点M1,M2,M3的坐标分别是

，求他们确定的平面的方程.解

由条件可知平面上两不共线向量

坐标为.称其为平面的三点式方程.

定义

垂直于平面的非零向量，称为该平面的法向量.说明：法向量不唯一，但相互平行.

取空间直角坐标系

，设定点的坐标为

，一个法向量

的坐标为{A,B,C}.

称其为平面的点法式方程.说明:

点法式方程是直角坐标系下所特有的平面方程.空间上的任意一点M的坐标为(x,y,z)，于是

这正是平面的一般方程.说明:(1)容易看出此时一般方程中x,y,z的系数恰恰就是法向量

的坐标.(2)仿射坐标系下，平面的一般方程中A,B,C未必是法向量的坐标得

，

化简平面的点法式方程其中(课后思考).解

因为向量

垂直于平面

，所以平面

的一个法向量为例3

已知直角坐标系下两点M1(1,-2,3)，M2(3,0,-1)，求线段M1M2的垂直平分面

的方程.

又所求平面过M1M2的中点M0(2,-1,1)，整理得x+2y-z+1=0.故有§2.2平面的几何特征一、平面划分空间问题二、平面与平面的位置关系三、两平面的夹角四、点到平面的距离

下面将说明集合{P|P的坐标满足Ax+By+Cz+D>0}和{P|P的坐标满足Ax+By+Cz+D<0}分别对应

所划分空间的两个部分.

取定仿射坐标系

，设平面

的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，空间任意一点P的坐标为(x,y,z).一、平面划分空间问题

定理2.2.1

设点

坐标为

，则

平行于平面

或在

上的充要条件是.点f(P)=0.

对于点P，规定法则f使得f(P)=Ax+By+Cz+D，则f是从空间到实数集的一个映射.证

的坐标是

，于是有

平行于平面

或在

上当且仅当

上式等价于

，即

当

三点共线时，如果点

分有向线段的定比为

，即

，那么

坐标为

引理2.2.1如果点

分有向线段

的定比

是

，那么

定理2.2.2空间任意两点

位于平面

两侧的充要条件是

与

异号.从而得

与

异号.证

必要性

因为

位于平面

两侧，所以线段

与

必相交.

设交点为

，此时

分有向线段

的定比.因此

由引理2.2.1得

定理2.2.2空间任意两点

位于平面

两侧的充要条件是

与

异号.因此

与

同号，与条件矛盾.假设

位于平面

同侧.

因此

位于平面

两侧.由必要性可知

与

异号，

与

也异号.证

充分性(反证法)取

的另一侧的点

，

定理2.2.2空间任意两点

位于平面

两侧的充要条件是

与

异号.

于是{P|P的坐标满足Ax+By+Cz+D>0}和{P|P的坐标满足Ax+By+Cz+D<0}分别对应

所划分空间的两个部分.

定理2.2.2空间任意两点

位于平面

两侧的充要条件是

与

异号.二、平面与平面的位置关系两平面的位置关系如下：相交、重合、平行.

在仿射坐标系下，平面

的方程为

定理2.2.3

(1)平面

与

重合(2)平面

与

平行必要性

取坐标为

的向量.证

(1)充分性

显然.

定理2.2.3

(1)平面

与

重合(2)平面

与

平行

向量

平行于平面

或者在

上.或者在

上.由条件

与

重合，所以

平行于

所以

从而证

(1)必要性

因为

不能同时为零.不妨设

再取坐标是

的向量，同理可得

因此

下证

反证法，假设(2)平面

与

平行

定理2.2.3

(1)平面

与

重合证

(1)必要性

设平面

上任意点M的坐标为,则

令

那么所以点M不在平面

上，矛盾，即证.(2)平面

与

平行

定理2.2.3

(1)平面

与

重合证

(2)充分性

因为

不全为零，不妨设

不为零，从而坐标分别为

的两个向量均为非零向量且不共线.他们同时平行于

与

或在

与

上，由(1)知

与

不重合，因此

与

平行.

(2)平面

与

平行

定理2.2.3

(1)平面

与

重合

因为坐标为

、

的向量平行于

或在

上，而

与

平行，因此这两个向量也平行于

或在

上.于是证

(2)必要性

再由(1)知(2)平面

与

平行

定理2.2.3

(1)平面

与

重合例1

在仿射坐标系下，判断下列平面的位置关系.(1)x+2y-

z-

2=0和2x+4y-

2z+1=0;(2)x-

2y+3z+1=0和3x+4y+z+1=0;解(1)平行；(2)相交；(3)3x+4y-

6z+24=0和.(3)重合；三、两平面的夹角

定义2.2.1

空间两平面

与

的夹角记作

，规定如下：(1)当

与

平行或者重合时，则(2)当

与

垂直时，则(3)当

与

相交但不垂直时，则

等于所形成的四个二面角中的锐角.

取空间直角坐标系

，平面

的法向量为

和.

定理2.2.4

平面

夹角的余弦等于它们各自对应的一个法向量

夹角余弦的绝对值，即

设直角坐标系下平面

的一般方程为

定理2.2.5

平面

夹角的余弦说明：在直角坐标系下平面

垂直当且仅当平面垂直的条件是什么？两个平面的法向量平行A两个平面的法向量垂直B两个平面的法向量点积为0C两个平面的法向量叉积为0D提交多选题2分例2

在直角坐标系下,(1)若kx+y-

3z+1=0和7x-

2y+4z=0表示两垂直平面，求k；(2)求平面:x+y-

21=0和平面:3x+5=0的夹角；

解(1)由条件得

所以k=2.(2)

定义2.2.2

设空间任意一点为P，平面为

.过P作

的垂线，垂足为点

，则P与

的距离称为点P到平面

的距离，记作d(P,

).四、点到平面的距离

如果P在

上，则P到

的距离为零.

如果P不在

上，

如果P不在

上，如图，设Q和

都是

上任意一点，

为

的一个法向量，起点为点

，

于是P到

的距离为证

设点Q坐标为

，则

坐标为

定理2.2.6

在空间直角坐标系下，设平面

的方程为Ax+By+Cz+D=0,点P的坐标为

，则P到

的距离为所以例3

在空间直角坐标系下，设平面

的方程分为

解

设P为

上任取的点，坐标为,则其中,求

和

的距离.点P到平面

上的距离就是

到

上的距离§2.3空间直线方程一、直线的方程二、标准方程与一般方程的互相转化问题：什么是直线?一、直线的方程(一定点和一定方向可以确定一条直线)点在空间中沿某一方向及其反方向无限运动的轨迹.

取仿射坐标系

，设M0坐标(x0,y0,z0),向量

的坐标

，空间任意点M坐标(x,y,z)，则点M在直线l上

设空间定点为M0，定向量为

，它们确定的直线为l.

与直线平行的非零向量称为直线的方向向量.于是,是直线l的一个方向向量.即存在实数t使得.称上式为直线的参数方程.注：直线的参数式方程不唯一.l的一组方向数

取仿射坐标系

，设M0坐标(x0,y0,z0),向量

的坐标

，空间任意点M坐标(x,y,z)，则点M在直线l上

即称其为直线的标准方程(对称式方程).说明：标准方程与参数方程容易相互转化.例1

设仿射坐标系下，点

的坐标分别为

，求通过他们的直线的方程.解：

是一方向向量，坐标将

作为定点，标准方程为得

设仿射坐标系下两相交平面

的方程为则将它们联立得到的方程组称为直线的一般方程.

任一直线也可以看成是两个相交平面的交线.注：直线的一般方程不唯一.不妨设

，则这便是直线的一个一般方程.二、直线的标准方程与一般方程的互相转化

标准方程

一般方程因向量

和

不共线.不全为0.不妨设令x=t,则平面的一般方程于是有变成关于x，y的线性方程组

标准方程

一般方程说明：解以上方程组，便可得直线的参数方程，再将其转化为标准方程，如下：其中注：以上标准方程中的y0与z0，事实上是在一般方程中令x0等于0，解出的值.所以直线的一个方向向量坐标为{-3,1,-5}.例2在仿射坐标系下，把直线的一般方程化为标准方程.解

因为

令x=0，解得y=-1，z=-1.因此直线的标准方程为

§2.4空间直线、点和平面的相关位置一、空间点到直线的距离二、空间直线与直线的位置关系四、空间直线与平面的位置关系三、空间两直线的夹角与距离

定义2.4.1

点P与直线l上的点之间的最短距离称为P到l的距离,记为d(p,l).一、空间点到直线的距离

如果P在l上，则P到l的距离为零.

如果P不在l上，

如果P不在l上，设l上取过定点

，方向向量

，

垂线段

的长就是P到l的距离d(p,l).

此时d(p,l)等于以向量

和

为邻边的四边形在底

上的高，即说明：在直角坐标系下，如果有点P的坐标和直线l的标准方程，带入上式就可求出P到l的距离.二、空间直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系共面(包含平行、相交、重合)异面直线

与

共面当且仅当向量

和

共面.

在仿射坐标系

下，设空间直线

上定点,方向向量为,空间直线

经过定点,方向向量为.

定理2.4.1

在仿射坐标系下，空间直线

和(1)共面的充要条件为(2)异面的充要条件为

定理2.4.2

在仿射坐标系下，对于共面的两直线

和

，(1)相交的充要条件是

和

不对应成比例.(2)平行的充要条件是

且和

不对应成比例.(3)它们重合的充要条件是

且

又{3,9,1}和{-1,2,3}不共线，因此他们相交.例1在仿射坐标系下,判断下列直线

和直线

的位置关系.解

由条件可知直线

所过定点和方向向量的坐标为(-1,1,2)、{3,9,1}，直线

经过定点和方向向量的坐标为(0,2,1)、{-1,2,3}，则

所以直线

和

共面.(1)当

时，则

定义2.4.2

设向量

和

分别是空间直线l1和l2的一个方向向量，记作l1和l2的夹角为

，规定它们等于方向向量夹角中不大于90o的那个角，即(2)当

时，则.三、空间两直线的夹角与距离

定理2.4.3

直线l1、l2夹角的余弦等于它们对应的一个方向向量

夹角余弦的绝对值，即

取定空间直角坐标系,设直线l1和l2的标准方程为

和于是

定理2.4.4

在空间直角坐标系下，直线l1和l2夹角的余弦

所以.例2在空间直角坐标系

下，求下列直线

和

的夹角.解

直线l1和l2的一个方向向量坐标分别为{-1,1,2}、{-2,4,-3}.因为

，

如果两直线相交或者重合，它们的距离等于零.

定义2.4.3

空间两直线l1和l2上的点之间的最短距离称为这两条直线之间的距离，记为

.

定义2.4.4

与空间两不相交直线l1和l2均垂直且相交的直线称为他们的公垂线，设两个交点分别为M和N，称线段MN为l1和l2的公垂线段.说明：(1)异面直线的公垂线是唯一的.(2)公垂线段的长就是两异面直线的距离.(2)公垂线段的长就是两异面直线的距离.

定理2.4.5

设两异面直线l1和l2分别经过定点P1和P2，他们的方向向量分别为

，则

证

公垂线一个方向向量是

，

于是几何意义：两条异面直线l1和l2之间的距离等于以向量

和

为邻边的平行六面体高(底面是以

向量

为邻边的平行四边形.

定理2.4.5

设两异面直线l1和l2分别经过定点P1和P2，他们的方向向量分别为

，则

说明：在直角坐标系下，如果有直线l1和l2的标准方程，带入上式就可求出他们的距离.

定理2.4.5

设两异面直线l1和l2分别经过定点P1和P2，他们的方向向量分别为

，则

例3已知直角坐标系下两直线方程

，试证明l1和l2为异面直线，并求他们的距离.解

由条件知l1和l2上的定点分别为,方向向量分别为

则

所以l1和l2异面.异面直线的公垂线的方程(直角坐标系)由直线l1和l0决定的平面.由直线l2和l0决定的平面.联立上述就是公垂线l0的一般方程.由点向量式可得平面

的方程:例3(续)已知直角坐标系下两异面直线方程求公垂线方程.解

由条件知l1和l2上的定点分别为,方向向量分别为

则

在仿射坐标系下，设直线l过定点

，方向向量为,其标准方程为四、空间直线与平面的位置关系平面

的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0.直线与平面有如下位置关系：相交、平行、l在

上

定理2.4.6

在仿射坐标系下，直线l和平面

的位置关系为(1)相交的充要条件是(2)平行的充要条件是同时满足(3)l在

上的充要条件是同时满足

将仿射坐标系下直线l的标准方程化成参数方程再将参数方程代入平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0可得交点对应的参数t，从而确定交点坐标.4.1直线与平面的交点投影直线：(1)如果l与

的交于点P，过P作与

垂直的直