高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第09讲 2.2基本不等式（教师版）

第02讲2.2基本不等式

学习目标

课程标准学习目标

①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不

等式）的内容，成立条件及公式的证明。通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，

②利用基本不等式的性质及变形求相关函运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问

数的最值及证明。题，会用基本不等式解决简单问题的证明.

思维导图

b6R）,当且仅者时取等号

（2"乜2）（a,bWR）,当且仅当n=b时取等号

基本不等式:

（1迸本不等式成立的条件：。对，粒0.

⑵等号成立的条件：当且仅当时取等号.

公。）其中色；也称为正数.，。的算术平均数，7n称为正数°,白的几何平均数

式

(2~+&2(M>0)

⑴ab

<o>0,b>Q)

知识清单

知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

基本不等式：\/。＞0,力＞。，〃+力22而，（当且仅当4=人时，取“=”号）其中而叫做正数4,8的

几何平均数；竽叫做正数〃的算数平均数.

如果有c，+b222ab（当且仅当a=b时，取“二”号）

特别的，如果。>0力>0,用〃分别代替“力，代入。2十人222。〃，可得：a+bN2”^，当且仅当

。=匕时，"=”号成立.

知识点二：利用基本不等式求最值

①已知工，y是正数，如果积犯等于定值P,那么当且仅当X二）5寸，和x+y有最小值29；

②已知x.y是正数，加果和x+y等干定值s,那么当日仅当x=y时，积孙有最大俏?_：

4

知识点三：基本不等式链

2/」a+b/\cr+b2

i―r"'"7'亍（其中〃〉O，〃:>o当且仅当。二〃时，取“=”号）

ah

知识点四：三个正数的基本不等式

如果〃>0,/?>0,r>0,那么"+”'「2我反（当且仅当〃=〃=，时，取“二”号）

3

题型精讲

题型（）1对基本不等式的理解

【典例1］（2023•全国-高三专题练习）下列不等式恒成立的是（）

A.x+—±2B.a\b>2>/ab

x

c（ci-\-h\ci~+b~2,2

C.---->-----D.a~+b">lab

\2）2

【答案】D

【详解】解：对于A选项，当x<0时，不等式显然不成立，故错•误；

对于B选项，”+力之2而成立的条件为⑦20,故错误；

对于C选项，当〃=-人。0时，不等式显然不成立，故错误；

对于D选项，由于/+82-24〃=|：4一。）2之0,故，/+尸“〃〃，正确.

故选:D

【典例2】（多选）（2023秋•广东广州•高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（）

A.函数），=①1匚的最小值是4

x

B.若a,bwR且ab>0,贝心+袅2

C.若X6R,则r+3+=二的最小值为3

厂+2

D.函数y=2+工+,。<0）的最大值为0

X

【答案】BD

【详解】A.对于函数），=四里匚,当x<0时，y<0,所以A选项错误.

x

B.由J,力>0,所以2>0,2>>。，

ab

所以2+022、耳?=2,当且仅当2=：,/=〃时等号成立，所以B选项正确.

ab\abab

22

c.r+3+^!—=x+2+^!—+l>2jG+2）--r!—+1=3,

X2+2X2+2V）X2+2

但/+2=/_^无解，所以等号不成立，所以C选项错误.

x-+2

D.由于x<0,所以），=2+x+,=2-[（一”+-!-<2-2^（-x）--=0»

当且仅当-x=」-,x=T时等号成立，所以D选项正确.

-x

故选:BD

【变式1]（2023•高一课时练习）下列不等式中正确的是（）

A.ci+—>4B.x2+—r>2>/3C.\[ab>-D.a2+b2>4ab

ax~2

【答案】B

4

【详解】A.当a<0时，6/+-<0,故错误；

B./+三22h・之=26,当且仅当丁=3，即x=土近时，取等号，故正确；

JCV厂厂

C.当。>0.6>0时，4^b<—,故错误；

2

D.由重要不等式得/+从大？。-故错误；

故选：B

题型02由基本不等式比较大小

【典例1】（多选）（2022秋•江苏南京•高一南京师大附中校考期中）设“涉为正实数，必=4,则下列

不等式中对一切满足条件的。力恒成立的是（）

A.a+b>4B.a2+/?2<8C.—+71D.\[a+4b<2>/2

ab

【答案】AC

【详解】A选项，由基本不等式得〃痴=4,当且仅当。=6=2时等号成立，A选项正确.

B选项，a=\,b=4H'j,ab=4,但4+〃=17>8，B选项错误.

C选项，由基本不等式得_1+」22，匚1=1,,当且仅当工=[。=〃=2时等号成立，C选项正确.

ab\abab

D选项，a=l,b=4时，ab=4,怛&i+\/^=3>2->fl,D选项错误.

故选：AC

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）已知。/e（O,l）且山〃，下列各式中最大的是____.（填序号）

①/+/；②2疝；③2而；@a+b.

【答案】④

【详解】因为a,be（0.1）,所以/<〃，/<〃，a<4a>h<y/b

所以a?+〃va+/?,ab<\[ab,当a।〃时，

由基本不等式可知等,，石，所以a+b>2疯，

由上可知，a+b>2\[ab>2ab»a+b>a+//,所以四个式子中〃十〃最大.

故答案为：

【变式1]（多选）（2022秋•广东汕头•高一汕头市聿怀中学校考期中）若〃>0,。>0.且〃+。=4,则下

列不等式恒成立的是（）

A.0<-y<-yB.4ob<2

ab4

【答案】CD

【详解】誓）《吗^,当且仅当。=〃=2时等号成立,

则而J打=4或臼、3，

⑶⑴2

则I?!，疝42,/+6

ab4a"+b-8

即AB错误，D正确.

=£4=,

对TC选项，-+T^=4^X7«C选项正确.

ababab4

故选：CD

题型03由基本不等式证明不等关系

【典例1】（2023春•上海嘉定•高一统考阶段练习）已知。力是实数.

22

⑴求证：a+b>2a-2b-2t并指出等号成立的条件；

(2)若ab=l,求a2+46的最小值.

【答案】(1)证明见解析，当且仅当。=1,b=・l时，不等式等号成立

(2)4

【详解】(1)证明：因为/+从一(2。一2〃-2)=々2+/一2。+2/>+2

=(<7-1)2+(Z>+1)2>O,

所以4+6之2〃-2/?—2，

当且仅当4=1，力=-1时，不等式中等号成立.

(2)a2+4b2=a2+(2b)2>2a(2b)=4ab=4,

a=V2

当且仅当4=乃，即〈点时，不等式中等号成立.

~T

所以/+4Z?2的最小值为4.

【典例2】(2023秋•陕西榆林•高一统考期末)已知。>0,b>().

(1)若力=6-‘，求的最大值；

aa

⑵若a-+9b2+2ah=a2b2,证明：ab>S.

【答案】(1)9

(2)证明见解析

【详解】⑴因为6=6」，所以〃+'=6.

aa

当且仅当〃=’,4=:，。=3时，等号成立，

a3

故2的最大值为9.

a

(2)证明：因为/+96+2ab“.萌+2ab=8ab，

所以〃2力228曲,又a>0力>0,

解得他28,

当且仅当4=2卡力=亚时，等号成立.

3

故R*8.

【变式1](2023•全国•高三专题练习)已知X，)'都是正数，且门儿

求证：（1）-+->2

x丁;

（2）—<7^.

x+y

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】（1）x>0,y>0,,-.->0,^>0,.-.2+£>2^=2,由于当且仅当工=2,即时取等号，

yxxyxy

但“儿因此不能取等号，•*+2>2：

xy

2Yy2xy/

（2）;QO,）〉。，.•“+），之2而，•••大"五羡二J",当且仅当x=y时取等号，但xxy,因此不能取等

号，<7^.

题型04利用基本不等式求积的最大值

【典例。（2023•全国•高三专题练习）已知则函数广却一2幻的最大值是（）

}_

D.

9

【答案】C

【详解】•「0<x<g,/.l-2x>0,

,,c、1c八c、，12x+(l-2x)1

x(l-2.v)=-x2x(1-2,x)<—x[r---------=P—

2228

当且仅当2Z3时，即I1时等号成立,

因此，函数>'="1一2工）,（0<工<:）的最大值为：,

28

故选：C.

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）5（3-。）（。+6）,（-6<。<3）的最大值为.

9

【答案】；/4.5

【详解】因为-6<a<3,所以3-。>0,〃+6>0,由基本不等式可得

依-粗小）/-。：…*,当且仅当3-。=。+6,即。=—微时，等号成立.所以J（3—硕〃+6）,

Q

（-6<々<3）的最大值为（

乙

g

故答案为：晟.

【变式1］（2023♦全国•高三专题练习）已知0<X<孝，则xji—2f的最大值为，

【答案】①

4

【详解】0<x<—x2>0,1-2x2>0»

2

，而M邛.甚诉彳考如（1.2.小冬2/+三2邛,

当且仅当2/=1-2%2,即x=；时等号成立.

故答案为：也.

4

题型05利用基本不等式求和的最小值

〃4-4

【典例1】（2023春•北京•高二北京市陈经纶中学校考期中）设。〉0,则。十的最小值为（)

a

A.5B.3C.4D.9

【答案】A

【详解】因为。>o,所以。+土吧=。+3+12

aa

4

当且仅当。="，即。=2时取等号，

所以〃+土心的最小值为5,

a

故选:A.

4

【典例2】（2023•贵州贵阳•校联考模拟预测）若x>0,贝1卜+一的最小值为__________.

x+1

【答案】3

【详解H因为人>0,由基本不等式得：x+—=x+I+—--1>2J（X+1）--1=3,

X+lA+lvX+l

4

当且仅当Z=百，且即I时等号成立.

故答案为：3

【变式1】（2023•全国•高三专题练习）已知机,〃eR.,若"?（〃-2）=9,则〃什〃的最小值为.

【答案】8

【详解】因为〃?，〃cR+，且切（〃-2）=9,所以〃=2+2,则机一〃=加+2+222」“2+2=8,当且仅当

mmVm

9

m=—,即m=3时等号成立,则〃2+〃的最小值为8.

in

故答案为：8

题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值

【典例1】（2022•高一课时练习）已知,41,则”-3〃+11的最小值为___________

67-1

【答案】5

【详解】令/=〃-1（»。），则〃=/+1,

所以〃-3〃_]1=（/+1）’_3（/+1）-11=/'_/+9=/+2_]之后_]=5,当且仅当/=2,即/=3时取等号,

a-\Il/V/t

所以L-3a+ll的在最小值为5

a-\

故答案为：5.

4

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）（1）求函数），="二7（1>1）的最小值及此时x的值；

（2）已知函数），=互22,2,y），求此函数的最小宜及此时工的值.

x+2

【答案】（1）函数）'的最小值为5,此时x=3；（2）函数丁的最小值为5,此时x=0.

【详解】

v=x+^—=x-l+^—+l>2J（x-l）-^—+1=4+1=5,

'x-Ix-\V7x-l

4

当且仅当x-----即x=3时，等号成立.

x-l

故函数V的最小值为5,此时x=3；

（2）令f=x+2（/>0）,

将2代入得：

）,二（L2）、5（L2）十1。="加,

tt

/>0,

/.y=/+-4-1>2^/­—+1=4+1=5,

4

当且仅当，=一，

t

4

即R+2=---.

即x=0时，等号成立.

故函数y的最小值为5,此时x=o.

【变式1】（2023•全国•高三专题练习）函数y=（*+5）（X+2）_［）的最小值为___________.

A+1

【答案】9

【详解】因为,则x+l>0,

所以_f+7x+10_（X+1）2+5（K+1）+4

4I4―

=（x+l）+---+5^2J（x+l）----+5=9，

x+1Vx+l

4

当且仅当x+l=」7即x=I时等号成立，

x+l

•••已知函数的最小值为9.

故答案为：9.

题型07利用基本不等式求条件等式求最值

【典例1】（2023春•河南•高一校联考期中）己知正实数。，力满足2々+/?-9向=0,则〃+2的最小值

为（）

A.3B.1C,9D.1

【答案】B

I2

【详解】因为勿十8-9"=0,变形得一+工=9.

ab

由题意9，—珈仁+力）5+吊+与5+24］，当且仅当竺=当，即〃=〃=!时，等号成立.

a+2/?=-------------=--------->------=1ab3

999

故选:B.

【典例2】（2023•全国•高一专题练习）已知x>0,y>0,若x+3y+4.q，=6,贝ljx+3y的最小值为.

【答案】3

【详解】因为x>0,y>。，x+3y+4不，=6,

4

所以4孙=6-（工+3），），即§xx.3y=6—（x+3y）；

因为gxxBywg（三答J,当且仅当彳=3），时取到等号，

所以号么6不+3），），

解得x+3/3或x+3”-6（舍）

所以当x=3=g1时，％+3y有最小值3.

故答案为：3

【变式1】（2023秋•广东•高三统考学业考试）若正数x,），满足x+），=D,则x+2y的最小值是（）

A.6B.3+2&C.2+3夜D.2+26

【答案】B

【详解】因为正数x,），满足“+产

当且仅当土=互，即*=&+1N=马亚时，等号成立,

yx2

所以彳+2），的最小值为3+2拒

故选：B

题型08基本不等式中的恒成立问题

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）已知x>0,>'>0,且x+y+个=3,若不等式x+y2加一机恒

成立，则实数力的取值范围为（）

A.-2<m<lB.-\<m<2

C.m<-2^/«>/D.m<-\^tn>2

【答案】B

【详解1AJ=3-（x+y）<（”丁2,当且仅当x=y=i时等号成立，

解得“+”2,即（x+y）1nhi=2.

因为不等式％+y>m2-m恒成立，

2

所以nr—m<（x4-y）1nto，即m-m<2»解得—14〃?V2.

故选:B

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）已知〃、也），若+成立，则实数义的取值范

aba+b

围为（）

A.2>5B.2>9C.2<5D.A<9

【答案】D

【详解】因为〃、8£（0,也），由已知可得4W（a+》）（5+2）,

因为（_L+±］（a+〃）=2+色+522，&•"+5=9,当且仅当〃=为时等号成立,

\ah）ab\ab

故实数丸的取值范围为（f,9］,

故选：D.

r

【典例3】（2023•高三课时练习）若对任意x>0,一。恒成立，则”的取值范围是.

【答案】a*

【详解】vx>0,

A1,11

—-------=<-=—

2

A+3x+ix+i+32rr+35,当且仅当x=［,即、=i时等号成立，

二・Q2—.

5

故答案为：6f>|.

2|

【变式1］（2023•全国•高三专题练习）已知工>0,y>0,且一+—=1,若x+2y>〃?2恒成立，则实数加的

xy

取值范围是（）

A.m<—2夜或m>2B.m<—4或m>2

C.-2<w<4D.-272<m<242

【答案】D

21

【详解】v>0且一+—=1,

xy

-，c、（21/4vx、，八（4yx

A+2y=（x+2y）-+—=4+—+—>4+2/—•—=8,

y）xy\xy

当且仅当匕=2，即x=4,y=2时取等号，

（x+2y）min=8f要使x+2.y>/〃2恒成立，

2

只需（x+2y）min>m恒成立，即8>小，解得一2夜<m<272.

故选:D

【变式2］（2023•全国•高三专题练习）当工>2时，不等式x+一1之。恒成立，则实数。的取值范围是（）

x-2

A.6/<2B.a>2C.a>4D.«<4

【答案】D

（详解】当x>2时,x+—=x-2+—^—+2>2^（x-2）—^+2=4（当且仅当x=3时取等号），「.a《4,

即a的取值范围为（-8,4].

故选:D.

3.（2023・全国•高三专题练习）对任意的正实数式，》,不等式x+4y之〃?而恒成立，则实数加的取值范围

是（）

A.0</«<4B.0<in<2C.m<4D.m<2

【答案】C

【详解£】解：x+4y>mylxy,

UPw<4,

故加e(-oo,4].

故选：C.

题型09基本不等式的应用

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产

品可获得的总利润）'（单位：万元）与机器运转时间元（单位：年）的关系为¥=-2+版-25（X€N）,则每

台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是万元.

【答案】8.

【详解】每台机器运转x年的年平均利润为2=18-竺），而x>0,故2418-2后=8,当且仅当x=5

-V\XJX

时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.

故答案为：8

【典例2]（2023秋-内蒙古通辽-高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，

坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应末气候变化，

协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展.某乡政府也越来越重视生

态系统的重建和维护.若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项

目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（x）（单位：百万

元）：”（力=肃°；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（x）

（单位：百万元）：N（x）=：x.

（I）设分配给植绿护绿项目的资金为X（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y（百万元），

写出'关于x的函数解析式;

（2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋.试求出y的最大值，并

求出此时对两个生态项H的投资分别为多少？

【答案】⑴/果一%+1°°'山。'4001

（2）y的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（白

万元）.

【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为400-x百万元,

rII

则"(“=赤=，/V(400-x)=-(400-x)=100--x

Qf)1

y=-^v---x+100,4(X)1.

20+x4LJ

（2）解：由（1）可得，y=-^-^+100=180-i.r-^l

20+x4420+A

=段，鼠+20）+理］“侬」、「。+办理=145,

4「720+xJ2V20+x

当且仅当20+x=黑9,即x=6）时等号成立，此时400—x=340.

所以）'的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340

（百万元）.

【变式1】（2023春•湖南•高三校联考阶段练习）某社区计划在•块空地上种植花卉，已知这块空地是面枳

为1800平方米的矩形A8CO,为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行

通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（）

A.1208平方米B.1448平方米C.1568平方米D.1698平方米

【答案】C

【详解】设|的=%米,。＞0）,

（1\7200

则种植花卉区域的面积S=a-4）；---------2=-2x--+1808.

IxJx

7200/_____

因为x>（）,所以2.1+——>27144（X）=240,当且仅当％=60时;等号成立，

x

则54-240+1808=1568,即当|明=60米，忸C|=30米时,

种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米，

故选：C

【变式2］（2023•全国•高一专题练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重

庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区4片62,该项目由图书陈列区A8C。（阴影部分）和四周休息区

组戊.图书陈列区ABC。的面积为lOOOm,休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品

阅读区A4GQ面积最小时，则图书陈列区8c的边长为（

A.20mB.50mC.10V10mD.100m

【答案】B

【详解】设8c=・xm,（x>0）,则42=幽

m,

.X

所以阅读区A4G。的面积s=*+1（））（峭+4）

K)O(X)

=1040+4%+

=1440.

当4x=^22,即*=50时取等号,

X

当校园图书馆精品阅读区A片G。面积最小时，则图书陈列区成?的边长为50m,

故选：B.

题型10对钩函数

【典例1】（2023春•辽宁朝阳•高二北票市高级中学校考阶段练习）“〃»4”是“函数），=x+；（x>0）

的最小值大于4”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】解：若6>4,则/（.r）=x4•里（r>0）的最小值为25>2石一4；

若y=x+'（x>。）的最小值大于4,则〃?>0,且2标>4,则〃>4,

X

故选：C.

【典例2】（2023•高三课时练习）设-2<x<0,则的取值范围是.

X

【答案】（f,-2]

【详解】设函数/（x）=x+L则当xw[-2,T]时，/（x）=x+4单调递增，此时八幻以",—2）；

xx2

当了£（一1,0）时，/（x）=x+上单谎递减，此时/（不）£（一8,—2）,

X

故工«-2,0）,则x+L的取值范围是（7）,-2],

故答案为：（-8,-2]

4

【变式1]（2023秋•江西吉安・高一江西省万安中学校考期末）已知函数），=x+-（x<0）,则下列结论正确

x

的是（）

A.y有最小值4B.丁有最大值4c.y有最小值tD.y有最大值t

【答案】D

【详解】解：QxvO,.x>0.

4

当且仅当（-”=三，即x=-2时取等号,

\/（X）有最大值-4.

故选：D.

【变式2]（2023・全国•高三专题练习）函数/"）=三二生心（工>2）取得的最小值时，x的值为.

【答案】4

【详解】/（x）=x+±=x-2+±+222G+2=6.当且仅当x—2=士，即x=4时，

'7x-2x-2x-2

等号成立.故/（"的最小值为6.

故答案为：4

题型11重点方法之凑配法

【典例1】（2023•全国•高一专题练习）已知实数x满足0vxv:，则），=8x+—!—的最大值为（）

22x-\

A.-4B.0C.4D.8

【答案】B

【详解】由0<x<g得至1」一1<2工一1<0,则0<l-2x<l,

y=8x+—!—=4（2x-1）+—!—+4=-[4（1-2x）+—!—]+4<-2,4（1-2x）——!—+4=0,

■2x-l2x-ll-2xVl-2x

当且仅当工=。上式取等号，则），=84+h二的最大值为0.

42x-l

故选:B.

【典例2】（2023•陕西榆林•统考三模）若不等式〃2_6x+3>0对&£R恒成立，则。的取值范围是

9

_________,a+3的最小值为__________.

fl-1

【答案】（3,物）7

【详解】当。=0时，不等式-6x+3>0对"xwR不恒成立，不符合题意（舍去）；

当〃工0时，要使得ar之一61+3>0对xwR恒成立，

则满足口八，解得。>3,所以实数〃的取值范围为⑶+00）.

因为a>3,可得。一3>0,所以。+_2_=4-1+2+122内+1=7,

a-1a-1

9

当且仅当。=4时，等号成立，所以。+3的最小值为7.

a-\

故答案为：（3,+8）；7.

Q

【变式1】（2023•全国•高三专题练习）当时，2x+——的最小值为10,则。=（）

x-a

A.1B.72C.2&D.4

【答案】A

【详解】当时

QQIQ

2X4-——=2（x-a）+——+2a>2J2（x-a）x——+2a=8+2a,

x-ax-aVx-a

即8+2a=10,故。=1.

故选:A.

4

【变式2]（2023•全国•高一专题练习）已知x>0,则x-4+—的最小值为（）

x

A.-2B.0C.1D.2夜

【答案】B

【详解】•「x>0,二工+：-422Kl—4=0,当且仅当工=:即工=2时等号成立.

故选：B.

题型12重点方法之换元法

【典例1]（2023・全国・高三专题练习）若实数X，）,满足犷-2孙-），2=],贝Mr；；产的最大值为

【答案】@

4

【详解】令x+y=/,则3/-2岁一9=4£―12+24，+V）=4/2-2=1,即4/=1+/，

x+y_x+y_t_t

所以'5/+2,9+）?4.r2+（x2+2Ay+y2）（l+r）+r1+2产，

当Y0时，二7W0;

1+2广

t_1

当1>0时，币产=丁二1，

-+Z/

t

因为:+2/22产1=2&,当且仅当;=2/,即/=乎时，等号成立，

x+y_1<1_&

2

所以5.r+2封+）?l+2f~5/24.

t

所以<22的最大值为—.

5x+2xy+y4

故答案为：走.

4

【典例2】（2023♦江西•高一宁冈中学校考阶段练习）d：；：+7（x>l）的最大值为.

【答案】y

【详解】令x-l=z,贝ijx=/+l,/>0,

x-\tt1,11

所以/—4X+7。+1）2-4（1+1）+7r-2/+4f+4_29[^_22,当且仅当，=?,即/=2时，等

号成立.

所以9]1+7（*>1）的最大值为上

故答案为：；.

题型13重点方法之“1”的妙用法

【典例1】（2023春•湖南•高一校联考期中）已知正实数。，〃满足〃+功=4,则'+广二的最小值是

ab+1

()

in333+2近口l+G

L.1D.----U.-----------\）.--------

2863

【答案】C

【详解】由已知可得，。+2（〃+1）=6,所以\|>+2（〃+1）］=1.

又出〃>0,

所以卜白—+—!—］x,x「a+2（/?+l）］=，x1+2+2x"।+b+\

ah+\）6L'7J6a

L.b+\a-Jx（2夜+3）=三台.

2j2x------x-------+3

4、Vab+\

当且仅当2X"1=£,即〃=6>反一6,。=5-3夜时，等号成立.

a〃+1

所以，工+1工的最小值是t@2.

ab+\6

故选：C.

【典例2】（2023春•江西宜春•高三江西省丰城中学校考开学考试）己知正数满足。+勖=3恒成立,

I2

则币+g的最小值为（）

3

A.C.2D.3

2

【答案】B

【详解】由a+2b=3得（a+l）+%=4,

,彳（）（）

12（12］（。+1）+2〃2«+l2b1IT/J2a+1~2b9

于是甚？+石_［於+石1F1+4+-------+------->—1+4+2J--------x------

4b6/+14Vba+\4

当且仅当2（"+1）=丝,且a>0,b>0,即a=1，b=上等号成立..

ba+\33

I29

所以ar+石的最小值为“

故选：B.

【典例3］（2023•全国•高三专题练习）己知正数X、）‘满足?；=1,求工+2），的最小值为.

【答案】3+2V2/2V2+3

【详解】因为正数x、y满足'+1=1,

3+至+43+2J京d=3+2g

所以x+2y=（x+2y）-+-

.Vxy\xy

1+1=1

；,”,即x=&+l,)，=l+立时，取等号,

当且仅当《

x

所以工+2），的最小值为3+2正，

故答案为：3+2&・

【变式】】（2。23・海南海口,校联考模拟预测）若正实数X,「满足"+3y=L则f+（的最小值为（）

A.12B.25C.27D.36

【答案】C

【详解】解：因为x+3y=l,所以"+L=（E+_l]（x+3y）=15+&+2.

xyIxyjxy

因为x,y＞0,所以迎+土22,陛d=12,当且仅当也=二，即X=],y=＜时，等号成立,

xyYx），xy39

所以，上+,的最小值为27.

xy

故选：c

【变式2]（2023•全国•高三专题练习）已知正数X、V满足1+；=1,求一+2），的最小值为

【答案】3+2V2/2V2+3

-+2y=f-+2>-Yx+-|=3+—+2^>3+23(20)=3+2夜,

【详解】

%5Ay)肛\xy

当且仅当，=2邛，即工=&_1,）,=1±2时取等号，

92

.」+2），的最小值为3+2忘.

x

故答案为：3+2&.

题型14重点方法之消元法

【典例1】（2023♦全国•高三专题练习〉已知町00,且小十2个一1,贝!]/十J的最小值为

【答案】今

【详解】因为外＞0,所以xwO,

又炉+2町=1,所以）,=匕匚

2x

「Li”