高中数学必修四知识点

第一章三角舀教

/正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。

「按边旋转的方向分］零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

角I负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。

的第一象限角｛a|k•360°<a<90°+k・360°,kEZ｝

分「象限角第二象限角｛a|900+k•360°<a<180°+k•360°,keZ｝

类第三象限角｛a|180°+k•3600<a<270°+k・360'，k£Z)

I按终边的位置分4｛

第四象限角｛a|2700+k•360°<a<360°+k・360’，k®Z｝

或{a卜90°+k•3600<a<k•360°,k£Z}

媪1上角(象间角):当角的线边与坐标轴重:合时叫轴上角，它不属于任何一个象限.

2.终边相同角的表示：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={B|B=a+k・360°,k《Z}即

任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和。

3.几种特殊位置的角：

⑴终边在x轴上的非负半轴上的角：a=k-360°,kGZ

⑵终边在x轴上的非正半轴上的角:a=180°+k・360°,k£Z

⑶终边在x轴上的角：a=k•180°,kGZ

⑷终边在y轴上的角：a=90°+k•180°,kez

(5)终边在坐标轴上的角:a=k-90c,keZ

⑹终边在y=x上的角：a=45n+k•180n,kez

⑺终边在产-x上的角：a=-45°+k-180°,kez或Q=135°+k-180°,kez

⑻终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：a=k-45°,k£Z

4.弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。

5.一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是().

6.如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为/,那么，角a的弧度数的绝对值是|a|二，

r

相关公式：(1)/=—―-=\a\r(2)S=—/r=———=—|er|r2

18023602

7.角度制与弧度制的换算：⑴(2)lrad=(—)°

180几

8.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。

9.利用单位圆定义任意角的三角函数：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)那么:

(Dy叫做a的正弦，记作sina即sina=y

(2)x叫做Q的余弦，记作cosQ,BPcosa=x

⑶工叫做a的正切，记作tana,即tana:工(xWO)

XX

10.rF方关系：sin2a+cos2a=1=>sina=±vl-cos2a；cosor=±5/l-sin2a

同角三角函数的基本关系|

〔商的关系【当aWkn+Z(kez)］：组区=tana

2cosa

11.三角函数的诱导公式:

公sin(a+h2;r)=s；ina

公sin(乃+a)=-sina公sin(-a)=一sina

式cos(a+"2不)=cosa

式cos(乃+a)=-cosa式cos(-a)=cosa

tan(a+k•24)=tana

二tan(4+a)=tana三tan(-a)=-tana

【注】其中ZwZQ

彳公式一四可以概括如下：a+人2万（人Z）,

-a,乃士。的三

公sin(乃一a)=sina

角函数值，等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原

式cos(乃一a)=-cosa

函数值的符号。

四tan(乃一a)=-tana

兀]

公=cosa公sin—+a=cosa0TT

、,2J公式五和公式六可以概括如下：一±。的正弦（余弦）

//\2

式cos——a=s\na式cos卜一sina函数值，分别等于a余弦（正弦）函数值，前面加上一

(2父个把a看成锐角时原函数值的符号。

-L(兀\7t【奇变偶不变，符号看象限】

ILtan----a=cota/\tan—+a=-cot<7

(2[2>

12.三角函数的图像与性质:

正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanx

定义域RR

{x|x*—+k^,kGZ}

值域[-1,1]（有界性）[-1,1](有界性)R

零点

{x|x=k〃，k€Z}{x|x=]+k;r,keZ}{x|x=k万，kGZ)

周期性T=2nT=2nT=JI

奇偶性奇函数偶函数奇函数

单增区间71717171

[一一+2k^,-4-2k^](kGZ)[-7T+2k;r,2k7r](keZ)(一一+k^-,-+k^)(keZ)

调2222

性减区间

[-+2k^,—+2k^](keZ)[2k;r,4+2k^](kGZ)

22

对对称轴

x=—+k^-(keZ)x=(kGZ)

称2

性对称k7T

(k^-,O)(kGZ)(-+k^-,0)(keZ)(—,0)(keZ)

中心21

图*>

1

Ayf

r\,\/JfJf1——吵—

V/.1J

■\Jr

像Af

注意：y=sinx周期为2冗;y=|sinx|周期为九;y二|sinx+Z|周期为2"；y=sin|x|不是周期函数。

13.得到函数y=Asin(ox+9)图像的方法:

①y=sinx-y=sin(x+@)—>y=sin(ox+(p\—y=Asin(/x+夕)

②y=sinx-」>y=sin<wx-----------"----->y=sin(GX+0)一,…>y=4sin(ox+°)

14.简谐运动

①解析式：y=Asin(d>x+e),x£[0,+8)

若函数的最大值为〃，最小值为b,

②振幅：A就是这个简谐运动的振幅。，a-b.a+b

则有A=——，k=------

③周期：T=—22

CD

④频率：f=-=—

T2n

⑤相位和初相：3X+。称为相位，x=0时的相位。称为初相，

第二章平面向量

1.向量：数学中，我们把既有人小，又有方向的量叫做向量.

数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。

2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。

有向线段三要素：起点、方向、长度。

3.向量的长度(模)：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|。

4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0,零向量的方向是任意的。

单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量。、b是两个平行向量，那么通常记作。〃方。

平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量。，都有0〃。。

6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量。、〃是两个相等向量，那么通常记作

7.如图，已知非零向量。、b,在平面内任取一点A,作AB=〃,BC=/?,则向量AC叫做。与/7的和，记作〃+〃，

即a十〃一AB十二AC。

向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。

8.对于零向量与任一向量4,我们规定：4+0=0+。=。

9.公式及运算定律：①AiAz+A2A3+...+AnA；=0

"W

@a+b=h+ci

10.相反向量：①我们规定，与。长度相等，方向相反的向量，叫做。的相反向炭:，记作-。。。和-。互为相反问

量。

②我们规定.零向量的相反向量仍是零向量。

③任一向量与其相反向量的和是零向量，即。+(-4)=(-〃)+〃=0。

④如果〃、是互为相反的向量，那么〃=-〃，b=-a,〃+b=0。

⑤我们定义〃-〃=〃+(-〃)，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。

II.向量的数乘：一般地，我们规定实数、与向量。的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作力。，它的

长度与方向规定如下：①②当人＞0时，％。的方向与。的方向相同；当入＜0时，的方向与。的

方向相反；入=0时，Aa=0

12.运算定律：①2(fid)=(②+③4(〃+Z?)=Aa+Ab

@(-X)a=一(％。)=2(-ci)@/Xa-b)=Aa-Ab

13.定理：对于向量。(〃H0)、b,如果有一个实数入，使/?=%，那么。与力共线。相反，已知向量〃与。

共线，aWO,且向量b的长度是向量。的长度的u倍，即|Z?|二u|〃|,那么当。与Z?同方向时，有。=〃〃；当。

与人反方向时，有匕:-则得如下定理：向量向量。(aWO)与8共线，当且仅当有唯一一个实数人，

使b=2。。

14.平面向量基本定理：如果e；、e；是同•平面内的两个不共线向量，那么对于这•平面内的任意向量。，有且

只有一对实数为、Q，使。=Hiei+/l2e2。我们把不共线的向量ei、ez叫做表示这一平面内所有向量的一组基

底。

15.向量。与的夹角：己知两个非零向量。和作OA=Q,OB=人，则N4OB=e(0°W8W18O。)叫

做向量。与b的夹角。当0=0°时，。与/?同向：当。=180°时，。与〃反向。如果〃与Z?的夹角是90°,我们

说。与〃垂直，记作4_1,6。

16.补充结论：已知向量。、［是两人不共线的两个向量，且m、n£R,若〃?。+，力=0,则m=n=0。

17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

18.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。即若4=(科川,〃=*”2),则

67+/?=(xi+12,y\+yi),a-b=(x\-xi,y\-yi)

19.实数与向显的积的坐标等于用这个实数乘原来向最的相应坐标。即若a=(xi,产)，则4。=(痴,右。

A

C

20.当且仅当xiy2-X2yi=0时，向量。、b（bWO）共线

21.定比分点坐标公式：当PP=/IPP2时，P点坐标为

xi+义工2y\+Xyi

1+2'1+）

①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，入>0

②当点P在线段P|P2的延长线上时，P叫线段P|P2的外分点，入</；

当点P在线段PP2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1VAV0.

22.从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，

则OC=A,OA+/.lOB,其中人+u=1

23.数量积（内积）：已知两个非零向量。与〃，我们把数量出|cos。叫做。与人

的数量积（或内积），记作。•〃即。•b=\a\\b\cosO0其中。是〃与人的夹角，

141cos0（|Z?|cosO）叫做向量。在/?方向上（/?在。方向上）的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量

积为0。

24.〃・〃的几何意义：数量积。•〃等于。的长度|。|与〃在〃的方向上的投影|〃|cos。的乘积。

25.数量积的运算定律：①。・b=Z?・。②（入。）・。=入（。・Z?）•（人力）③（a+b）•c=a•c+b•c

④（。+〃）2=。+2ab+b®（a-b）2=a-2ab+b®（a+b）-{a-b）=a-b

26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即二天用+）：工。则：

①若〃=（x,y）,贝1」|〃|2=戈2+9，或|3=J'+j.如果表示向量〃的有向线段的起点和中点的坐标分别为

（司，y）、（x2,工）,那么。=（苍一乙，又一X），\a\=）2+（弘一乂）2

②设a=（t，y）,b=5,y2）,Lb<=>xtx2+y{y2=0<=>d•/?=0

27.设4、〃都是非零向量，〃=（%,y）,b=（苍，工），。是。与〃的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表

一一r,u八a-bx.x,4-y.

不可得：cosO=---------=/「丁九

⑷助J-?十），：正十工：

第三章三角恒等交换

1.两角和的余弦公式【简记Cdcos（a+0=cosacos尸-sinasin尸

2.两角差的余弦公式【简记C（…3：cos（a-/?）=cosacos/?+sintzsinp

3.两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号。②同名函数之积的和与差。③a、B叫单角，a±B

叫复角，通过单角的正、余弦求和1差）的余弦值。④“正用”、“逆用”、“变用”

4.两角和的正弦公式【简记S(一)】：sin((z+/7)=sinacos/7+cosasin/?

5.两角差的正弦公式【简记StaB，】：sin(a-£)=sinacos/7-cosasin£

6.两角和(差)正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同。②右方是异名函数之积的和与差，且正弦值

在前，余弦值在后。

用途：可以由单角的三角函数值求复角(和角与差角)的三角函数值。

7.两角和的正切公式【简记Td：tan(a+A)=1a+广

1-tanatanp

8.两角差的正切公式【简记T<tan(ez-/g)=tana-tan^

1+tancrtanp

9.两角和(差)正切公式的公式特征及公式变形：①左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母

运算符号相反。②。W2万+工,/7。火;r+生,。+/7工攵万+三(ZwZ)

222

公式变形：①tan«-tan/?=tan(cr-4)(1+tanatan(3)@tana+tan/?=tan(cr+4)(1-tanatan/3)

10.辅助角公式：acosx+Z?sinx=Ja2+〃(/4=cssx+/)-sinx)

>Ja2+b2y/a2+b2

b

令sin。=,COS0=

yja2+b2\la2+b2

acosx+bs\nx=\la2+b2sin。+9)

其中。为辅助角，tan6?=—

b

II•倍角的正弦【简记S2a】、余弦【简记C2，】、正切【简记T2。】公式(升幕公式):

sin2a=2sine?cost?

cos2a=cos2er-sin2a=2cos2«-l=l-2sin2a

、2iana,,兀八,7t,，江、

tan2a=---