探索三角形全等的条件第2课时北师大版七年级下册

第四章

三角形4.3探索三角形全等的条件（第2课时）

学

习

目

标1.探索并正确理解三角形全等的条件：“ASA”和“AAS”;（重点）2.会用三角形全等的条件“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等；（难点）3.在给出两角及其夹边的条件下，能够利用尺规作出三角形.知识回顾（SSS）2.几何语言在△ABC和△A'B'C'中，△ABC≌△A'B'C'∴A'B'C'ABC

对应相等的两个三角形全等，简写为

.1.三角形全等的条件:“边边边”AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'.∵“边边边”或“SSS”三边注意：在列举两个三角形全等的条件时,一般是把同一个三角形的三个量放在等号的同一侧.情境引入

由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的。如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？有两种情况：①两角及其夹边；

②两角及其中一角的对边.每种情况下得到的三角形都是全等的吗？下面我们一起来探究吧！

如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢？小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形。新知探究

探究一：三角形全等的条件：“角边角”(“ASA”)一定全等.80°例如,三角形的两个内角分别是60°和80°,它们所夹的边为2cm.60°2cm你作的三角形与同伴作的一定全等吗？新知探究三角形全等的条件:“角边角”知识归纳两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.几何语言：ABCDEF

∵

新知探究1.已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明：△ABC≌△DCB．BCAD解：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），∵新知探究

回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.

如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。

已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的.新知探究请按照给出的作法作出相应的图形：作法图形△ABC就是所要作的三角形。1.作∠DAF=∠α。2.在射线

AF上截取线段

AB=c。3.以点B为顶点，以BA为一边作∠ABE=∠B，BE交AD于点C。DAFBEC作法思路：先作一角，截一边，在边同侧的另一端作另一角.另一种作法是先作一边，再在边的两端同侧分别作角.还有其他作法吗？新知探究2.如图所示,已知线段a和∠α,用尺规作△ABC,使BC=a,∠B=∠α，∠C=2∠α.解:如图,△ABC就是所求作的三角形.

如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,情况会怎样呢?你能将它转化为“尝试·思考”中的条件吗?与同伴进行交流.新知探究

探究二：三角形全等的条件：“角角边”(“AAS”)如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，两个三角形全等。能将它转化为“尝试·思考”中的条件，根据三角形内角和为180°，可以求出第三个角，这样就可以转化为已知两角及其夹边得到三角形全等了.你能证明你的结论吗？新知探究

在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E

，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？∴△ABC≌△DEF（ASA）.解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理

∠F＝180°－∠D－∠E.又∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，

BC＝EF，

∠C＝∠F.∵新知探究三角形全等的条件:“角角边”知识归纳

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写为“角角边”或“AAS”。几何语言：

ABCDEF

∵

新知探究3.如图所示,AC是∠BAE的平分线,D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD.试说明:△BAC≌△DAE.证明：∵AC是∠BAE的平分线,∴∠BAC=∠DAE.∵∠BAC=∠DAE,

∠C=∠E,

AB=AD,∴△BAC≌△DAE(AAS).在△BAC和△DAE中,新知探究说明三角形全等时寻找等角的方法：知识归纳(1)公共角相等、对顶角相等、直角相等；(2)等角加(减)等角,其和(差)相等；(3)同角(或等角)的余角(或补角)相等；(4)根据角平分线、平行线得角相等.典例分析

如图所示，AD，BC分别平分∠CAB，∠DBA，且∠1=∠2，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由.例1解:AC=BD.理由:因为AD,BC分别平分∠CAB,∠DBA,所以∠CAB=2∠1,∠DBA=2∠2.又因为∠1=∠2,所以∠CAB=∠DBA.在△ABC与△BAD中,因为∠2=∠1,AB=BA,∠CAB=∠DBA,所以△ABC≌△BAD(ASA),所以AC=BD.典例分析

如图所示,点C,F,E,B在同一条直线上,AF∥ED,CF=BE,请你在不作辅助线的情况下添加一个条件,使△ABF≌△DCE,并说明理由.例2解:答案不唯一,如添加∠A=∠D.理由:因为AF∥ED,所以∠AFB=∠DEC.因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,因为∠A=∠D,∠AFB=∠DEC,BF=CE,所以△ABF≌△DCE(AAS).巩固练习1.如图所示,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,则直接判定△ABD≌△CBD的依据是 (

)A.SSS B.ASA C.AAS D.以上均不正确B2.△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则下列补充的条件中错误的是（

）A．AC＝DF

B．BC＝EF

C．∠A＝∠D

D．∠C＝∠F

A巩固练习3.如图所示,在△ABC中,F为AC的中点,E为AB上一点,D为EF延长线上一点,∠A=∠ACD,则CD与AE的关系为(

)A.相等B.平行C.平行且相等D.以上均不正确C4.如图是作△ABC的作图痕迹,则此作图的已知条件是(

)A.已知两边及夹角B.已知三边C.已知两角及夹边D.已知两边及一边的对角C7.如图所示，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，AD⊥AB于点A.若BC=AE，AD=5，则AB=

.

6.如图所示，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=∠DAC,请补充一个条件

，使△ABC≌△ADC.

巩固练习5.如图所示，已知点D，E分别在BC，AC上，AC=BC，请添加一个条件，使△ACD≌△BCE.(1)根据“ASA”需添加条件

;

(2)根据“AAS”需添加条件

.

∠A=∠B∠ADC=∠BECAB=AD(答案不唯一)5巩固练习8.如图所示，在小明的一张地图上,有A,B,C三个城市,但是图上城市C已被墨迹污染,只知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β,你能用尺规帮他在图中确定城市C的具体位置吗?解:如图所示，点C即所求作的点。巩固练习9.如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB.试说明:△ABE≌△FCD.解:因为∠EBC=∠FCB,∠EBC+∠ABE=180°,∠FCB+∠FCD=180°,所以∠ABE=∠FCD.在△ABE与△FCD中,因为∠A=∠F，AB=FC，∠ABE=∠FCD,所以△ABE≌△FCD(ASA).巩固练习10.如图所示，点B，F，C，E在同一条直线上，FB=CE，AB∥DE，AC∥DF，AD交BE于点O.试说明:(1)△ABC≌△DEF；(2)AO=DO.解:(1)因为AB∥DE,所以∠B=∠E.因为AC∥DF,所以∠BCA=∠EFD.因为FB=CE,所以BC=EF.在△ABC和△DEF中,因为∠B=∠E,BC=EF,∠BCA=∠EFD,所以△ABC≌△DEF(ASA).(2)因为△ABC≌△DEF,所以AC=DF.在△ACO和△DFO中,因为∠AOC=∠DOF,∠ACO=∠DFO,

AC=DF,所以△ACO≌△DFO(AAS),所以AO=DO.11.如图所示,∠BAC=90°,AD是∠BAC内部一条射线,若AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.试说明:AF=BE.巩固练习解:因为∠BAC=90°,所以∠BAE+∠FAC=90°.因为BE⊥AD,CF⊥AD,所以∠BEA=∠AFC=90°,所以∠BAE+∠EBA=90°,所以∠EBA=∠FAC.在△ACF和△BAE中,因为∠AFC=∠BEA,∠FAC=∠EBA,AC=BA,所以△ACF≌△BAE(AAS),所以AF=BE.