初中数学市级竞赛试卷

初中数学市级竞赛试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：初三年级

试标题是:“初中数学市级竞赛试卷”

一、选择题

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k，k∈Z}，则A∩B等于

A.{1}

B.{2}

C.{1，2}

D.∅

2.不等式组{|x|<3}∩{x+1>0}的解集是

A.(-3，-1)

B.(-1，3)

C.(-3，3)

D.(-1，+∞)

3.已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，若f(1)=0，f(-1)=4，则f(2)的值是

A.-2

B.2

C.6

D.8

4.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则tanC的值是

A.√3/3

B.√2

C.2√2

D.√6

5.已知点P(x，y)在圆(x-1)^2+(y+2)^2=5上运动，则|y|的最大值是

A.1

B.2

C.√5

D.3

6.若方程x^2-px+q=0的两根之差的平方为4，则p与q的关系是

A.p^2-4q=4

B.p^2+4q=4

C.p^2-4q=-4

D.p^2+4q=-4

7.不等式3x^2-5x-2>0的解集是

A.x<-1/3或x>2

B.-1/3<x<2

C.x<-1/3

D.x>2

8.已知函数g(x)=√(x^2+1)，则g(x)在[0，+∞)上的最小值是

A.0

B.1

C.√2

D.2

9.在直角坐标系中，将点A(1，2)先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标是

A.(4，0)

B.(4，-4)

C.(1，0)

D.(1，-4)

10.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则a_5的值是

A.19

B.20

C.21

D.22

二、填空题

11.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(0)的值是________。

12.不等式组{x>1}∩{y<-2}的解集是________。

13.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，BC=6，则AC的值是________。

14.已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=16，则圆心到直线3x+4y-1=0的距离是________。

15.若方程x^2-2x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是________。

16.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)在区间[1，4]上的最小值是________。

17.在直角坐标系中，将点A(1，0)绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是________。

18.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_n的表达式是________。

19.已知集合A={1，2，3}，B={x|x是A的子集}，则B的元素个数是________。

20.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d过点(1，2)，且f(0)=0，f(1)=3，则a+b+c+d的值是________。

三、多选题

21.下列命题中，正确的有

①若a>b，则a^2>b^2

②若x^2=1，则x=1

③若|a|=|b|，则a=b

④若△ABC≌△DEF，则AC=DF

22.关于x的一元二次方程x^2-2kx+k^2-1=0

①有两个相等的实数根

②有两个异号的实数根

③两根之积为-1

④两根之和为2k

23.已知点A(1，2)，点B(3，0)，则下列说法正确的有

①线段AB的长度是2√2

②线段AB的垂直平分线的方程是x+y-3=0

③点C(2，1)在以AB为直径的圆上

④点D(0，4)到直线AB的距离是2√5

24.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则下列说法正确的有

①a_1=1

②a_2=8

③a_n=6n-5

④S_4=48

25.已知函数f(x)=√(x^2-2x+1)，则下列说法正确的有

①f(x)是偶函数

②f(x)在(-∞，1]上是增函数

③f(x)的最大值是1

④f(x)的值域是[0，+∞)

四、判断题

26.若a+b=1，则a^2+b^2=1。

27.函数y=|x|在定义域内是增函数。

28.直角三角形中，若两锐角互余，则这个三角形是等腰三角形。

29.圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的圆心到原点的距离是√(a^2+b^2)。

30.若方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1，则a+b+c=1。

31.奇函数的图像一定关于原点对称。

32.在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。

33.若x^2-px+q=0的两根是α和β，则α+β=p，αβ=q。

34.函数y=kx(k≠0)是反比例函数。

35.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，则a_3=5。

五、问答题

36.已知函数f(x)=x^2-2x+3，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值。

37.已知△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10，求AC和AB的长度。

38.已知数列{a_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，求a_1，a_2，a_3，a_4的值。

试卷答案

一、选择题

1.B

解析：集合A={x|x^2-3x+2=0}={1，2}，B={x|x=2k，k∈Z}，A∩B={x|x∈A且x∈B}，所以A∩B={2}。

2.B

解析：|x|<3表示-3<x<3，x+1>0表示x>-1，所以解集为(-1，3)。

3.D

解析：由f(1)=0得到a+b+c=0，由f(-1)=4得到a-b+c=4，联立方程组解得a=2，c=-2，所以f(2)=4a+2b+c=8。

4.√3

解析：∠C=180°-(∠A+∠B)=75°，tanC=tan75°=tan(45°+30°)=(tan45°+tan30°)/(1-tan45°tan30°)=(1+√3/(√3+1))/(1-1/(√3+1))=√3。

5.D

解析：圆心(1，-2)，半径√5，点P到y轴的距离最大为1+√5，所以|y|的最大值为3。

6.A

解析：设方程的两根为α和β，则(α-β)^2=4，即(α+β)^2-4αβ=4，p^2-4q=4。

7.A

解析：解方程3x^2-5x-2=0得到x=-1/3或x=2，所以解集为x<-1/3或x>2。

8.B

解析：g(x)=√(x^2+1)在[0，+∞)上最小值在x=0时取得，为g(0)=√1=1。

9.A

解析：点A(1，2)向右平移3个单位得到(4，2)，再向下平移2个单位得到(4，0)。

10.B

解析：a_5=S_5-S_4=2(5^2)-3(5)-[2(4^2)-3(4)]=20。

二、填空题

11.3

解析：f(0)=|0-1|+|0+2|=1+2=3。

12.∅

解析：{x>1}∩{y<-2}表示x>1且y<-2，不存在这样的x和y，所以解集为空集。

13.2√3

解析：由正弦定理得到AC/BC=sinB/sinA=√3/2，所以AC=6×√3/2=3√3，由余弦定理得到AB^2=AC^2+BC^2-2AC×BC×cosA=27+36-36√3/2=9，所以AB=3，由勾股定理得到AC=2√3。

14.4

解析：圆心到直线3x+4y-1=0的距离d=|3×2+4×3-1|/(√3^2+4^2)=25/5=5。

15.k≤1

解析：判别式Δ=(-2)^2-4×1×k=4-4k≥0，所以k≤1。

16.1

解析：f(x)=(x-2)^2+1在[1，4]上是增函数，最小值在x=1时取得，为f(1)=0^2+1=1。

17.(0，-1)

解析：点A(1，0)绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是(0，-1)。

18.a_n=n(n+1)

解析：a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。

19.8

解析：A的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共8个。

20.6

解析：由f(1)=2得到a+b+c+d=2，由f(0)=0得到d=0，所以a+b+c=2，又由f(1)=3得到a+b+c+d=3，所以a+b+c+d=6。

三、多选题

21.④

解析：①反例a=1，b=0；②反例x=-1；③反例a=1，b=-1；④正确，全等三角形的对应边相等。

22.①③

解析：Δ=(-2k)^2-4(k^2-1)=4-4k^2+4=8-4k^2，①当Δ=0时，k=±√2，方程有两个相等的实数根；③两根之积为αβ=(k^2-1)/1=k^2-1。

23.①②④

解析：AB=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√8=2√2；垂直平分线过中点(2，1)，斜率为-1，方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0；圆心(2，1)，半径√2，点C到圆心距离为√(2^2+1^2)=√5，所以点C在圆上；点D到直线AB的距离为|3×0+4×4-2×2-2|/(√3^2+4^2)=12/25√5=2√5。

24.①②③④

解析：a_1=S_1=3(1)^2-2(1)=1；a_2=S_2-S_1=12-6-1=8；a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5；S_4=3(4)^2-2(4)=48。

25.①③④

解析：f(x)=|x-1|，f(-x)=|-x-1|=|x-1|=f(x)，是偶函数；在(-∞，1]上，f(x)=1-x是减函数；f(x)的最大值是1；值域是[0，+∞)。

四、判断题

26.×

解析：反例a=1，b=0，a^2+b^2=1，但1+0≠1。

27.×

解析：在(-∞，0]上是减函数，在[0，+∞)上是增函数。

28.×

解析：等腰直角三角形两锐角都是45°，但不一定是等腰三角形。

29.√

解析：圆心到原点的距离为√(a^2+b^2)。

30.√

解析：由f(1)=a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d=2得到a+b+c+d=2，又由f(0)=d=0得到a+b+c+d=2。

31.√

解析：奇函数的图像关于原点对称。

32.√

解析：等腰三角形的底角相等。

33.√

解析：这是根与系数的关系。

34.×

解析：y=kx(k≠0)是正比例函数。

35.√

解析：a_3=(a_1+a_5)/2=10/2=5。

五、问答题

36.解：f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在区间[-1，3]上，当x=1时，f(x)取得最小值2；当x=3时，f(x)取得最大值3^2-2×3+3=6。

37.解：由∠A=60°，∠B=45°得到∠C=75