初中数学分类讨论竞赛试卷

初中数学分类讨论竞赛试卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：初中二年级

试标题:初中数学分类讨论竞赛试卷

一、选择题

1.当m为何值时，方程x^2+mx+1=0有实数根？

A.m≤-2或m≥2

B.m<-2或m>2

C.m≤-2或m≥-2

D.m<-2或m>-2

2.函数y=kx+b与x轴相交于点(1,0)，且k>0，则不等式kx+b>0的解集为？

A.x>1

B.x<1

C.x≥1

D.x≤1

3.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的取值范围是？

A.15°<∠C<75°

B.15°≤∠C≤75°

C.0°<∠C<105°

D.0°≤∠C≤105°

4.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是？

A.1

B.2

C.3

D.4

5.若a>0，b<0，则下列不等式正确的是？

A.a+b>0

B.a-b>0

C.ab>0

D.a/b>0

6.抛掷两个骰子，点数之和为奇数的概率是？

A.1/4

B.1/2

C.3/4

D.1/3

7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，则∠BCA的度数是？

A.70°

B.40°

C.20°

D.10°

8.已知函数f(x)=x^2-2x+3，则f(2)+f(-1)的值是？

A.2

B.4

C.6

D.8

9.若x^2+px+q=0的两根为α和β，且α+β=3，αβ=2，则p+q的值是？

A.5

B.1

C.-1

D.-5

10.在直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标是？

A.(-a,b)

B.(a,-b)

C.(-a,-b)

D.(b,a)

二、填空题

1.不等式3x-7>5的解集是？

2.函数y=-2x+4与y=x-1的交点坐标是？

3.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则△ABC的面积是？

4.若x+1/x=2，则x^2+1/x^2的值是？

5.抛掷一个硬币三次，恰好出现两次正面的概率是？

6.函数y=3x^2-6x+2的顶点坐标是？

7.在等腰直角三角形中，直角边长为a，则斜边长是？

8.若a>b，a^2>b^2，则下列不等式一定成立的是？

9.函数y=x^3-3x的极值点是？

10.在直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=x的距离是？

三、多选题

1.下列函数中，当x增大时，y也随之增大的是？

A.y=2x+1

B.y=-3x+2

C.y=x^2

D.y=1/x

2.在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是？

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.斜三角形

3.下列不等式正确的是？

A.-2<-1

B.3^2>2^2

C.(-3)^2>3^2

D.1/2>1/3

4.函数y=|x|在x=0处的导数是？

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

5.在直角坐标系中，点P(a,b)关于原点对称的点的坐标是？

A.(-a,b)

B.(a,-b)

C.(-a,-b)

D.(b,a)

6.下列函数中，是二次函数的是？

A.y=x^2+2x+1

B.y=2x+1

C.y=x^3

D.y=1/x

7.在△ABC中，若AB=AC，则下列说法正确的是？

A.∠B=∠C

B.BC=AC

C.AD垂直平分BC

D.AD是BC的中线

8.下列命题中，是真命题的是？

A.所有等腰三角形都是等边三角形

B.所有等边三角形都是等腰三角形

C.直角三角形的两个锐角互余

D.斜三角形的两个锐角和小于180°

9.函数y=x^2-4x+4的图像是？

A.抛物线

B.直线

C.双曲线

D.半圆

10.在直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=-x的距离是？

A.√2

B.1

C.2

D.√5

四、判断题

1.若a>b，则a^2>b^2。

2.函数y=x^2+1在整个实数范围内是增函数。

3.在等腰三角形中，底角一定相等。

4.若x=1是方程x^2+mx+2=0的根，则m=1。

5.抛掷一个骰子，出现点数为偶数的概率是1/2。

6.函数y=|x-1|在x=1处取得最小值0。

7.直角三角形的斜边是三角形中最长的一条边。

8.若a+b=0，则a和b互为相反数。

9.函数y=kx+b中，k是直线的斜率，b是直线与y轴的交点。

10.在△ABC中，若AB+AC>BC，则△ABC能构成三角形。

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)>0的解集。

2.在△ABC中，若AB=AC，∠A=50°，求∠B和∠C的度数。

3.已知方程x^2+mx+n=0的两根分别为2和-3，求m和n的值。

试卷答案

一、选择题

1.A.m≤-2或m≥2

解析：方程x^2+mx+1=0有实数根，则判别式Δ=m^2-4≥0，解得m≤-2或m≥2。

2.A.x>1

解析：函数y=kx+b与x轴相交于点(1,0)，说明当x=1时，y=0，即k*1+b=0。由于k>0，直线向上倾斜，不等式kx+b>0的解集为x>1。

3.A.15°<∠C<75°

解析：三角形内角和为180°，∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。由于∠A和∠B的度数是固定的，∠C的取值范围是15°<∠C<75°。

4.C.3

解析：函数y=|x-1|+|x+2|可以分段讨论：

当x<-2时，y=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；

当-2≤x<1时，y=-(x-1)+(x+2)=3；

当x≥1时，y=(x-1)+(x+2)=2x+1。

最小值为3。

5.B.a-b>0

解析：由于a>0，b<0，a-b=a+(-b)>0+0=0，所以a-b>0。

6.B.1/2

解析：抛掷两个骰子，点数之和为奇数的情况有(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)，共18种情况。总情况数为6*6=36种，所以概率为18/36=1/2。

7.A.70°

解析：在等腰三角形中，底角相等，∠B=∠C。三角形内角和为180°，∠A+∠B+∠C=180°，40°+2∠B=180°，解得∠B=70°，所以∠BCA=70°。

8.C.6

解析：f(2)=2^2-2*2+3=3，f(-1)=(-1)^2-2*(-1)+3=6，所以f(2)+f(-1)=3+6=9。

9.D.-5

解析：根据韦达定理，α+β=-p，αβ=q。已知α+β=3，αβ=2，所以-p=3，q=2，p=-3，q=2。p+q=-3+2=-5。

10.A.(-a,b)

解析：点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标是将x坐标取相反数，所以对称点的坐标是(-a,b)。

二、填空题

1.x>4

解析：不等式3x-7>5，移项得3x>12，解得x>4。

2.(3/2,1/2)

解析：联立方程组y=-2x+4和y=x-1，解得x=3/2，y=1/2，所以交点坐标是(3/2,1/2)。

3.20

解析：根据海伦公式，s=(5+7+8)/2=10，面积S=√[s(s-AB)(s-AC)(s-BC)]=√[10*5*3*2]=20。

4.5

解析：x+1/x=2，平方两边得x^2+2+1/x^2=4，所以x^2+1/x^2=2。

5.1/8

解析：抛掷一个硬币三次，恰好出现两次正面的情况有C(3,2)种，即(正正反)，(正反正)，(反正正)，总情况数为2^3=8种，所以概率为3/8。

6.(1,-1)

解析：函数y=3x^2-6x+2的顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)，其中a=3，b=-6，Δ=(-6)^2-4*3*2=12，所以顶点坐标为(1,-1)。

7.√2a

解析：在等腰直角三角形中，直角边长为a，根据勾股定理，斜边长为√(a^2+a^2)=√2a。

8.a>b

解析：由于a>b，两边平方得a^2>b^2，不等式成立。

9.x=±1

解析：函数y=x^3-3x的导数为y'=3x^2-3，令y'=0，解得x=±1，所以极值点是x=±1。

10.√2/2

解析：点A(1,2)到直线y=x的距离公式为d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，其中直线方程为Ax+By+C=0，即x-y=0，A=1，B=-1，C=0。所以d=|1*1+(-1)*2+0|/√(1^2+(-1)^2)=√2/2。

三、多选题

1.A.y=2x+1,C.y=x^2

解析：y=2x+1中，k=2>0，y随x增大而增大；y=x^2中，k=2x，当x>0时，y随x增大而增大。所以A和C正确。

2.B.等边三角形

解析：在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则每个角都是60°，所以△ABC是等边三角形。

3.A.-2<-1,B.3^2>2^2,D.1/2>1/3

解析：-2<-1显然成立；3^2=9，2^2=4，9>4成立；1/2=0.5，1/3≈0.333，0.5>0.333成立。所以A、B、D正确。

4.A.0

解析：函数y=|x|在x=0处取得最小值0，导数为0。

5.C.(-a,-b)

解析：点P(a,b)关于原点对称的点的坐标是将x和y坐标都取相反数，所以对称点的坐标是(-a,-b)。

6.A.y=x^2+2x+1

解析：y=x^2+2x+1是二次函数的标准形式。y=2x+1是一次函数；y=x^3是三次函数；y=1/x是分式函数。

7.A.∠B=∠C,C.AD垂直平分BC,D.AD是BC的中线

解析：在等腰三角形中，底角相等，所以∠B=∠C；顶角的角平分线AD也是底边BC的中垂线，所以AD垂直平分BC，AD也是BC的中线。

8.B.所有等边三角形都是等腰三角形,C.直角三角形的两个锐角互余,D.斜三角形的两个锐角和小于180°

解析：所有等边三角形都是等腰三角形，因为等边三角形的三条边都相等，所以也满足等腰三角形的定义；直角三角形的两个锐角和为90°，互余；斜三角形的两个锐角和小于90°，小于180°。

9.A.抛物线

解析：函数y=x^2-4x+4可以化简为y=(x-2)^2，是二次函数的标准形式，图像是抛物线。

10.A.√2

解析：点A(1,2)到直线y=-x的距离公式为d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，其中直线方程为x+y=0，A=1，B=1，C=0。所以d=|1*1+1*2+0|/√(1^2+1^2)=√2。

四、判断题

1.错误

解析：当-1<a<1，-1<b<1时，a^2<1，b^2<1，但a^2可能小于b^2，例如a=0.5，b=0.8，此时a^2=0.25，b^2=0.64，a^2<b^2。所以a>b不一定导致a^2>b^2。

2.错误

解析：函数y=x^2+1的导数为y'=2x，当x=0时，y'=0，此时函数取得极小值1。当x<0时，y'<0，函数递减；当x>0时，y'>0，函数递增。所以函数在x=0处取得极小值，不是在整个实数范围内增函数。

3.正确

解析：等腰三角形的定义是两边相等的三角形，所以底角相等。

4.错误

解析：若x=1是方程x^2+mx+2=0的根，则1^2+m*1+2=0，即m+3=0，解得m=-3，不是1。

5.正确

解析：抛掷一个骰子，出现点数为偶数的情况有(2,4,6)，共3种情况。总情况数为6种，所以概率为3/6=1/2。

6.正确

解析：函数y=|