课时1导数与函数的极值课件高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2

课时1导数与函数的极值第五章

一元函数的导数及其应用我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．问题

如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？在

x1，x3，x5处是山峰，在

x2，x4处是山谷这就是我们今天要研究的函数的极值追问1如图，函数在a、b点的函数值与它附近的函数值有什么关系？Oxy函数

f(x)在

x＝a的函数值比它附近的函数值都小.函数

f(x)在

x＝b的函数值比它附近的函数值都大.►课本P90追问2y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？Oxyf′(a)＝0f′(b)＝0►课本P90追问3在这些点附近，函数y＝f(x)导数的正负有什么规律？Oxy在

x＝a附近左侧

f′(x)＞0右侧

f′(x)＜0在

x＝b附近左侧

f′(x)＜0右侧

f′(x)＞0►课本P90Oxy（1）函数y＝f(x)极值点：a

叫做极大值点，b

叫做极小值点；（2）函数y＝f(x)极值：f(a)叫做极大值，f(b)叫做极小值；（3）极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.极大值极小值►课本P91知识点一：极值点与极值

观察函数

y＝f(x)在定义域[a，b]上的图象，回答以下问题：(1)找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？(2)极大值一定大于极小值吗？(3)极值点能在区间端点取吗？yabx1x2x3x4Ox

f(x2)

f(x1)

f(x4)

f(x3)大大小小(1)如图；(2)不一定；(3)不能.思考1：一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？概念提升不一定思考2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上述图,xyOy＝x3概念提升不一定思考3：

导数为

0的点都是极值点吗？不一定，如

f(x)＝x3

→f′(x)＝3x2→f′(0)＝0但

x＝0不是该函数的极值点；要判断一点是否为函数的极值点，除了要看该点的导数值为0，还要看该点两侧的导数符号是否相反。xyf(x)

x3O概念提升结论：若f′(x0)＝0，但

x0不一定是极值点.思考4：f′(x0)＝0是函数在x＝x0处取得极值的什么条件？f′(x0)＝0

x0是函数

f(x)的极值点x0左右两侧导数异号

x0是函数

f(x)的极值点结论：f′(x0)＝0是可导函数在

x0处取得极值的必要而不充分条件.f′(x0)＝0

概念提升【知识归纳】极值是一个局部概念：由定义可知，函数的极值只是反映了函数在某一点附近的大小情况，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小；极值点是自变量的值，极值指的是函数值；函数的极值不是唯一的，在整个定义域内可能有多个极大值和极

小值；【知识归纳】极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.若

f′(x0)＝0，则

x0不一定是极值点，只有函数

y＝f′(x)的变号零点才是函数的极值点．单调函数一定没有极值．典例1.函数

f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，试找出函数

f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.解：极值点有x2和x4，其中极大值点为x2，极小值点为x4.abxyx1Ox2x3x4x5x6y＝f′(x)►课本P92自主练

函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为（

）A解：由图象知在(-∞,c),(d,b)上

f′(x)≥0,所以函数

f(x)在(-∞,c),(d,b)上↗,在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上↙，所以x＝c时，函数取得极大值，

x＝d时，函数取得极小值，则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.A.1 B.2 C.3 D.4自主练

设函数

f(x)在R上可导，其导函数为

f′(x)，且函数

y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A.函数

f(x)有极大值

f(2)和极小值

f(1)B.函数

f(x)有极大值

f(－2)和极小值

f(1)C.函数

f(x)有极大值

f(2)和极小值

f(－2)D.函数

f(x)有极大值

f(－2)和极小值

f(2)解：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；

当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.

由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值D

解方程

f′(x)＝0，当

f′(x0)＝0时，①如果在

x0附近的左侧

f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是

；②如果在

x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么

f(x0)是

.极大值极小值知识点二：求函数极值的方法►课本P91

解：f

′(x)=x2

–4=(x+2)(x

–2)，令

f

′(x)=0，解得

x

=2或

–2；

当

x

变化时，f

′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞，−2)−2(−2，2)2(2，+∞)f′(x)+0−0+f(x)单调递增

单调递减−

单调递增

O–2xy

2函数图象【方法归纳】(1)求导：写出函数的定义域及导数

f′(x)；(2)求临界点：令

f′(x)＝0，解方程；(3)列表：将

x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；(4)求极值：由

f′(x)在各个开区间内的符号判断极值情况：

如果左正右负，那么函数

f(x)在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么函数

f(x)在这个根处取得极小值。求函数极值的步骤自主练

求函数

f(x)=6x2–x

–2的极值.

x(−∞，)(，+∞)f′(x)–0+f(x)单调递减–

单调递增

►课本P92►课本P92自主练

求下列函数的极值：(1)

f(x)＝x3－27x；

(2)

f(x)＝6＋12x－x3.解：(1)函数f(x)的定义域为R，且

f′(x)＝3x2－27.令f′(x)＝0，得x＝±3当

x

变化时，f′(x)与

f(x)的变化情况如下表：x(–∞，–3)–3(–3，3)3(3，+∞)f'(x)00f(x)54－54–++单调递增单调递减单调递增所以，f(x)在x=－3时取得极大值，且极大值为f(－3)=54；

f(x)在x=3时取得极小值，且极小值为f(3)=－54.►课本P92自主练

求下列函数的极值：(1)

f(x)＝x3－27x；

(2)

f(x)＝6＋12x－x3.(2)

同理可得，f(x)在

x＝-2时取得极小值,且极小值为f(-2)＝-10；

f(x)在

x＝2时取得极大值，且极大值为f(2)＝22.►课本P92自主练

求函数

f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.解：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调增极大值单调减极小值单调增∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；

当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.1．(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是(

)A．在(1,2)上函数f(x)是增函数B．在(3,4)上函数f(x)是减函数C．在(1,3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点解析：根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0；x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上是增函数，在(2，4)上是减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选ABC.ABC2．设函数

f(x)＝xex，则(

)A．x＝1为

f(x)的极大值点

B．x＝1为

f(x)的极小值点C．x＝－1为

f(x)的极大值点D．x＝－1为

f(x)的极小值点解析

令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.

当x＜－1时，f′(x)＜0；

当x＞－1时，f′(x)＞0.

故x＝－1为f(x)的极小值点，故选D．D3．求下列函数的极值.解