导数在研究中的应用函数的单调性（1）课件-高二下学期数学人教A版选择性

5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性学习目标1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.基本初等函数的导数公式：复习回顾函数的加、减、乘、除的导数运算法则：复习回顾复习回顾问题1

在之前的学习中，我们如何判断函数的单调性？对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集.1.定义法：2.图像法：观察图像，写出单调区间.有时正负难判有时难以作图问题1

观察刚刚高台跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？提示

通过观察图象，可以发现（1）运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，

即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0；

（2）从最高点到入水，离水面的高度h随时间t的增加而减小，

即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0.问题探究问题2

观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.问题探究问题探究xyOy＝xxyO(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0；xyO

y＝x2xyOy′＝2x问题探究(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0.xyOy＝x3xyOy′＝3x2问题探究(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.

而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0；xyOxyO问题探究(4)函数y＝

的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调增减，而y′＝

，因为x≠0，所以y′<0.探究新知追问

能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系？导数f(x0)表示函数f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.f(x0)>0f(x1)<0f(x)在x1附近单调递减(x1,f(x1))(x0,f(x0))f(x)在x0附近单调递增在区间(a，b)内，

如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；

如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减.探究新知注意：(1)在某个区间上恒有f′(x)＝0，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化.例题分析例1

用导数判断下列函数的单调性:解:(1)∵f(x)=x3+3x，其定义域为R，

∴

f(x)=3x2+3=3(x2+1)＞0，

∴f(x)=x3+3x在R上单调递增，如图.例题分析例1

用导数判断下列函数的单调性:解:（2）∵

，∴所以，函数在上单调递减，如右图所示.xyO(2)π-π例题分析例1

用导数判断下列函数的单调性:归纳小结①

求出函数的定义域；②求出函数的导数f

(x)；③判定导数f

(x)的符号；④对函数f(x)的单调性下结论.判断函数单调性的步骤：f'(x)>0，解不等式⟹

f(x)的增区间，f'(x)<0，解不等式⟹

f(x)的减区间.注：单调区间不以“并集”出现.巩固练习1.

判断下列函数的单调性.解:(1)

∵f(x)=x2－2x+4，其定义域为R，

∴

f(x)=2x－2=2(x－1)，

令

f(x)=0，解得x=1.

列表如下：

x

f(x)f(x)(－∞,1)1(1,+∞)－0+单调递减f(1)=3单调递增∴f(x)=x2－2x+4在(－∞,1)上单调递减，

在

(1,+∞)上单调递增

.巩固练习解:(2)

∵f(x)=ex－x，其定义域为R，

∴

f(x)=ex－1，

令

f(x)=0，解得x=0.列表如下：

x

f(x)f(x)(－∞,0)0(0,+∞)－0+单调递减f(0)=1单调递增∴f(x)=ex－x在(－∞,0)上单调递减，

在(0,+∞)上单调递增

.1.

判断下列函数的单调性.解：巩固练习巩固练习xyOabcxyOabc1.函数单调性与导数符号的关系是：